Ortogonal

Angelu zuzenari dagokiona; angelu zuzena osatzen duena. Bektoreez mintzatuz, beste bektore batekiko perpendikularra dena da ortogonala.

Matematikan, perpendikular kontzeptu geometrikoaren orokortze bat da.

Etimologikoki, greko zaharretik dator (ὀρθός orthos), hau da, "zuzena" esan nahi du, eta (γνία gonia), angelua esan nahi baitu.

Bektoreen esparruan

Bi bektore $x$ eta $y$ ortogonalak dira beren barne biderketa (biderketa eskalarra) zero bada.

Bi azpiespazio bektorial $A$ eta $B$ ortogonalak dira baldin eta $A$-ko bektore bakoitza $B$-ko bektore guztientzat ortogonala bada .

$T:V\rightarrow V$ aplikazio lineala ortogonala deritzo, eraldatutako bektoreen produktu eskalarra mantentzen badu. Hau da, bektore bikoteek haien eta bektoreen arteko angelua gordetzen badute.

Ortogonalitatea espazio bektorial euklidearretan

Bi edo hiru dimentsioko espazio euklidear batean, bi bektore ortogonalak dira euren produktu edo biderketa eskalarra nulua bada, hau da, haien artean angelu zuzena egiten badute.

Hiru dimentsiotan zuzen baten osagarri ortogonala planoa da eta alderantziz

Lau dimentsioko espazio euklidear batean zuzen baten osagarri ortogonala hiperplanoa da eta alderantziz eta plano batena beste plano bat.

Adibidea

(1, 0, 0), (0, 0, 1) eta (0, -1, 0) bektoreak elkarren artean ortogonalak dira. Bitik biren biderketa eskalarra eginez egiaztatu daiteke. Emaitza beti 0 izango da. Gainera, guztiek modulu unitarioa dutenez, bektore multzo honek oinarri ortonormala osatzen du.

Funtzio ortogonalak

f eta g bi funtzioen artean biderketa eskalarra bat defini daiteke forma honetan:

$\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.$

non $w(x)$ pisu (edo haztapen) funtzio ez-negatiboa da.

Funtzioak ortogonalak direla esaten da haien biderketa eskalarra zero bada:

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx=0.$

Adibideak

• (2 t + 3) eta (5 t ² + t - 17/9) funtzio koadratikoak ortogonalak dira -1 eta 1 arteko tarteko pisu unitarioa duen funtzio batekiko:

$\int _{-1}^{1}\left(10t^{3}+17t^{2}-{7 \over 9}t-{17 \over 3}\right)\,dt=\left[{5 \over 2}t^{4}+{17 \over 3}t^{3}-{7 \over 18}t^{2}-{17 \over 3}t\right]_{-1}^{1}$

$=\left({5 \over 2}(1)^{4}+{17 \over 3}(1)^{3}-{7 \over 18}(1)^{2}-{17 \over 3}(1)\right)-\left({5 \over 2}(-1)^{4}+{17 \over 3}(-1)^{3}-{7 \over 18}(-1)^{2}-{17 \over 3}(-1)\right)$

$={19 \over 9}-{19 \over 9}=0.$

• Funtzio hauek (1), (sin( nx)), (cos(nx)) : n = 1, 2, 3, ... ortogonalak dira Lebesgueren metrikarekiko 0 eta 2π arteko tartean. Hau da Fourier seriearen oinarri teorikoa.

• Hainbat polinomio serie polinomio ortogonalak dira. Zehazki:
  • Hermite-polinomioak ortogonalak dira 0 itxaropen matematikoko banaketa normalarekiko .
  • Legendre polinomioak ortogonalak dira −1 eta 1 arteko tarteko banaketa uniformearekiko .
  • Laguerre polinomioak ortogonalak dira banaketa esponentzialarekiko edo gamma funtzioarekiko .
  • Lehen motako Chebyshev polinomioak ortogonalak dira $1/{\sqrt {1-x^{2}}}$ funtzioarekiko
  • Bigarren motako Chebyshev polinomioak ortogonalak dira Wigner funtzio erdizirkularraren aldean.

Estatistika

Analisi estatistikoan, emaitza batean eragina duten aldagaiak ortogonalak deitzen dira independenteak badira. Hau da, haien ondorioak bereizita aurreikus daitezke haien arteko elkarrekintzarik gabe.

Bi aldagaien artean korrelazioa badago, ez dira ortogonalak. Kontuan izan bi datu-serieen korrelazioa eta bi bektoreren biderketa eskalarraren kalkuluaren artean antzekotasun handia dagoela.

Kanpo estekak

• Datuak: Q215067