Higidura harmoniko sinple

Mekanikaren arloan, higidura harmoniko sinplea (H.H.S.) deritzo puntu material jakin batek duen ezaugarri hauek dituen higidura periodiko berezi bati: lerro zuzen bateko puntu finko baten alde banatara joan-etorrian gertatzen da eta beraren ibilbidearen ekuazioa funtzio sinusoidal baten araberakoa da.

Higidura harmoniko sinplea.

Higidura harmoniko sinplea ulertzeko bideoa.

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Higidura harmoniko sinplearen puntu finkoa ibilbide zuzenaren erdian (zentroan) dago eta partikula etengabe ari da desplazatzen zentroaren alde banatara, lerroaren bi noranzkoetan, anplitudea deritzon distantzia maximora iritsi arte, bertako abiadura nulua izanik, eta jarraian beste alderantz higitzen da, horretan ere anplitude maximora iritsi arte; eta horrela etengabe, baterantz eta besterantz, ibilbidea modu berean errepikatuz. Higidura hori gerta dadin partikulari etengabe eragiten dion indarra desplazamenduaren proportzionala da, eta indarraren noranzkoa zentroranzkoa da etengabe.

Joan-etorriko ibilbide bakoitzari oszilazio deritzo. Oszilazio guztiak berdinak dira, eta bi magnitude konstantek zehazten dute oszilazio bakoitzaren ezaugarri espazio-denboralak: anplitudea (hots, zentrotik aldendutako desplazamendu maximoa), eta periodoa (oszilazio bat osatzeko behar den denbora). Bestalde, periodoaren alderantzizko magnitudeari maiztasuna edo frekuentzia deritzo, eta segungo bakoitzeko zenbat oszilazio osatzen diren adierazten du. Higidura harmoniko sinplea duen sistemari osziladore harmonikoa deritzo.

Higidura harmoniko sinplearen adibideak

Marruskaduraren eragina oso txikia edo arbuiagarria denean, zenbait sistema mekanikok higidura harmoniko sinplea dute, eta osziladore harmoniko gisa modeliza daitezke, lehenengo hurbilketa batean.

Magukitik esekitako $m$ masaren elongazioaren adierazpena denboran zehar

Masa-malgukia sistema

Pendulu sinplea.

Oso sistema sinplea da. Marruskadurarik gabeko plano horizontal batean edo norabide bertikal batean dagoela, malgukia indar eginez uzkurtu edo luzatuz oreka-posiziotik pixka bat aldendu eta hasierako abiadurarik gabe askatzen bada, $m$ masa oreka-posiziotik hasiko da oszilatzen batera eta bestera etengabe,

Penduluaren potentziala (urdinez) eta hurbilketa parabolikoa (gorriz).

Sentsore egoki baten laguntzaz egiazta daitekeenez, malgukiaren elongazioaren oszilazio txikiak sinusoidalak dira denboran zehar. Gainera, oszilazioaren periodoa beti da berbera, eta anplitudearen menpekotasunik gabea; eta periodoaren balioa masaren eta malgukiaren propietate elastikoen araberakoa da soilik, beti ere malgukiaren elastikotasunaren mugen barnean higituz gero.

Penduluaren oszilazio txikiak

Pendulu sinplearen kasuan, sistemak askatasun-gradu bakarra dauka, bertikalaren eta hariaren arteko $\theta$ angeluari dagokiona, eta $m$ masaren energia potentzial grabitatorioa $V(\theta )=mgl(1-\cos \theta )$ denez, oszilazio txikien kasuan hurbilketa egin daiteke ondoko adierazpen parabolikora: $V(\theta )\simeq {\frac {1}{2}}mgl\theta ^{2}$. Hurbilketa paraboliko horretan, penduluak ere higidura harmoniko sinplea du.

Higidura harmoniko sinplearen azterketa fisiko-matematikoa

Adibide egokia den masa-malgukia sistemaren azterketa zinematiko-dinamikoa egingo da jarraian.

a) Oreka-posizioan. b) Malgukia luzatzean. c) Malgukia uzkurtzean.

Higiduraren ekuazioa

Alboko irudiko eskeman, plano horizontalean dagoen malgukia luzatzean eta uzkurtzean masan eragiten duen indar elastikoaren noranzkoa dago adierazita. Agerikoa denez,malgukiaren elastikotasun-mugen barnean, indarraren noranzkoa elongazioaren noranzkoaren aurkakoa da, eta modulua, malgukiaren elongazioaren proportzionala:

$$F=-kx,$$

non $F$ malgukiak eginiko indar-elastikoa den, $k$ hori malgukiaren elastikotasun-konstantea eta $x$ oreka-posiziotik neurturiko elongazioa edo desplazamendua. Newtonen bigarren legea aplikatuz, erraz lortzen da higidura harmoniko sinplearen ekuazio diferentziala:

$$F=ma={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}=-kx,$$

$${\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+kx=0.$$

Higidura harmoniko sinplearen ezaugarriak

Aurreko ekuazio deferentzialean oinarrituz, erraz determina daitezke higidura hamoniko sinplearen hainbat ezaugarri eta magnitude fisiko; besteak beste, partikularen posizioa, maiztasuna, periodoa, abiadura eta azelerazioa.

Partikularen posizioa

Ekuazio hori integratuz, elongazioaren posizioa edo eboluzio denborala, $x(t)$, lortzen da:

$$x(t)=A\cos(\omega t+\phi _{0}).$$

Adierazpen horretan, magnitude hauek ageri dira:

• $x(t)$, oreka-posiziotik partikulak aldiunean duen elongazioa edo desplazamandua,
• $A$ oszilazioaren anplitudea, hots, elongazio maximoa,
• $\omega$, frekuentzia angeluarra,
• $\phi _{0}$, hasierako fasea.

Agerikoa denez, higidurak $\omega$ pultsaziozko forma sinusoidala du, eta horregatik deitzen da. "harmonikoa".

Maiztasuna eta periodoa

Bestalde, oszilazioaren maiztasun denborala (edo frekuentzia) honelaxe idatz daiteke:

$$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}.$$

Eta oszilazioen periodoa honako hau da:

$$T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}={2\pi }{\sqrt {\frac {m}{k}}}.$$

Hau da, periodoa maiztasun denboralaren alderantzizkoa da.

Agerikoa denez, bai frekuentzia ($\omega$ maiztasun angeluarra zein $f$ maiztasun denborala) baita periodoaren balioa ere, biak ala biak, sistema oszilatzailearen propietate fisikoen menpekoak dira: malgukiaren elastikotasun-konstantearen ($k$) eta oszilatzen ari den masarenak ($m$).  Ordea, osziladore harmoniko idealaren kasuan, maiztasunak ez du oszilazioaren anplitudearen menpekotasunik.

Elongazioaren ($x$), abiaduraren ($v$) eta azelerazioaren ($a$) eboluzio denboral harmonikoak.

Abiadura

Partikularen aldiuneko abiadura posizioaren denborarekiko deribatua eginez lortzen da:

$$v(t)={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=-\omega A\sin(\omega t+\phi _{0}).$$

Bistan denez, funtzio sinusoidala da, posizioa bezala, baina fasea atzeraturik dauka harekiko $90^{\circ }$-an. Bestalde, abiadura maximoaren modulua $v_{\text{m}}=\omega A$ da.

Azelerazioa

Abiaruraren ekuazioa denborarekiko deribatuz, zuzenan lortzen da partikularen aldiuneko azelerazioa:

$$a(t)={\frac {{\text{d}}v(t)}{{\text{d}}t}}=-\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi _{0})=-\omega ^{2}x(t).$$

Azelerazioa ere funtzio sinusoidala da, eta fase opodizioan dago posizioarekiko. Alboko irudi animatuan ikus daitekeenez, higidura harmoniko sinplearen posizio, abiadura eta azelerazioaren funtzio denboralak “harmonikoak” dira; alegia, hiruren eboluzio denboralak funtzio sinusoidalak dira. Halere, hiru funtzio horien faseen artean “desfase” zehatza dago. Erreferentzia modura posizioaren sinusoidea harturik, abiadura $90^{\circ }$-ko atzerapenarekin aldatzen da eta azelerazioa $180^{\circ }$-koarekin.

Higidura harmoniko sinplearen energia

H.H.S.an dabilen partikularen energia zinetikoa erraz lor daiteke abiaduraren adierazpenetik:

$$E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m[-\omega A\sin(\omega t+\phi _{0})]^{2},$$

$$E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}A^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi ).$$

Hortaz, energia zinetikoa ere denboraren funtzio sinusoidala da, abiadura bezala. Beraren nulua da abiadura nulua denean, hots, oszilazioaren bi muturretan edo, bestela esanda,anplitudeari dagozkion puntuetan; eta balio maximoa du oreka-posizioetatik pasatzean, orduan lortzen baitu abiadura maximoa:

$${E}_{\text{k}}^{\text{max}}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}.$$

H.H.S.aren energia zinetikoa, energia potentziala eta energia mekanikoa eleongazioaren funtzioan.

Marruskadurarik ezean malgukiak etengabe azeleratzen duen indarra kontserbakorra denez, energia mekanikoa kontserbatu egiten da eta, hortaz, energia energia zinetikoaren eta energia potentzialaren ($E_{\text{p}}$) batura konstantea da:

$$E_{\text{m}}=E_{\text{k}}+E_{\text{p}}={\text{kte}},$$

non konstante hori arbitrarioa den. Bestalde, energia zinetikoaren maximoa oreka-posizioaren dagoela kontuan izanik eta konstante hori balio egokia emanez, oreka-posizioko energia potentziala nulua izatea aukeratuko dugu, hau da, $E_{\text{p0}}=0$. Gauzak horrela, honako hau da higidura harmoniko sinplearen energia mekanikoaren balioa:

$$E_{\text{m}}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}.$$

H.H.S.aren irudia fase-espazioan

Marruskadurarik gabeko pendulu sinple baten fase-erretratua.

Fase-espazio deritzo higitzen ari den partikula-sistema baten egoera posible guztiak adierazirik dauden espazioari. Egoera bakoitzari espazioko puntu bat dagokio. Eta sistemaren askatasun-gradu bakoitzari ardatz bat dagokio dimentsio anitzeko fase-espazioan.

Askatasun-gradu bakarra duen higidura harmoniko sinplearen kasuan, hasierako baldintzak —posizioa eta abiadura— zein diren jakitea nahikoa da beste edozein aldiuneetako posizioak eta abiadurak kalkulatzeko. Hori dela eta, higidura harmoniko sinplearen fase-espazioa plano kartesiar batean adieraz dezakegu, bertan aldiune guztietako posizioa —$x(t)$ abzisetan— eta abiadura —$v(t)$ ordenatuetan— higiduraren egoera-puntu guztiak markatuz. Horrela eginez, denboran zehar partikulak dituen egoera guztiak adierazten dituzten kurbak lortuko ditugu, hasierako baldintzen bikote bakoitzerako kurba bat, eta higidura harmoniko sinplearen irudi osoa lortuko dugu fase-espazioan. Hain zuzen, osziladore harmoniko batek denboran zehar duen fase-erretratua da sistemak hasierako baldintza guztietatik abiatuta deskribatzen dituen ibilbideen multzoa, planoan irudikatua.

Marruskadurarik gabeko higidura harmoniko sinpleari fase-espazioan dagokion kurba elipse bat da. Bestalde, alboko irudietan pendulu sinple bati dagokion fase-erretratua ageri da.

Nola neurtu masa ingrabitate-egoeran

Ingrabitate-egoeran, gorputz baten masa ezin da beste gorputz baten pisuaren konparazioren bitartez neurtu, ez balantza batez, ezta malguki baten luzapenaz ere. Halere, masaren neurketa zeharka egin daiteke kalkulu erraz batez, higidura harmoniko sinplearen ekuazioez baliatuz.

Hain zuzen, malgukiaren elastikotasun-konstantearen balioa ezagutuz gero, eta malguki-masa sistemaren periodoaren formula erabiliz, zuzenean aska dezakegu masaren balioa:

$$T={2\pi }{\sqrt {\frac {m}{k}}}\Rightarrow m=k{\biggl (}{\frac {T}{2\pi }}{\biggr )}^{2}.$$

Praktikan, horrelako sistema bat erabili zuten Skylab espazio-estazioko astronautek, oszilazio-periodoa elektronikoki neurtzeko gai zen aulki oszilatzaile bat erabiliz (M172 esperimentua). Era horretan, aukian eseritako tripulatzaileen masa kalkulatu ahal izan zuten, espazioan zeuden bitartean, horrela beren osasun-azterketa egin ahal izateko.

Ariketak

• HHS
• Higidura harmoniko sinplea lantzeko ariketa.
• Higidura harmoniko sinplea lantzeko ariketa II.
• Higidura harmoniko sinplea lantzeko ariketa III.
• Higidura harmoniko sinplea lantzeko ariketa IV.
• Higidura harmoniko sinplea lantzeko ariketa V.
• Mugimendu harmoniko sinplea lantzeko ariketa.
• Higidura harmoniko sinple periodikoa ulertzeko bideoa.

Bibliografia

• Feynman, Leighton and Sands. Lectures on physics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9045-6.
• J.R. Etxebarria & F. Plazaola, Mekanika eta Uhinak, UEU (1992), ISBN 84-86967-42-2
• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291- 4094-8
• J.M. Agirregabiria, Mekanika klasikoa, UPV/EHU (2004), ISBN 84-8373-631-4
• Etxebarria, Jose Ramon (argitaratzailea) (2003) Fisika Orokorra (2. arg.), Udako Euskal Unibertsitatea (UEU), ISBN 84-8438-045-9
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404- 4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.

Ikus gainera

• Pendulua
• Pendulu sinplea
• Osziladore harmonikoa
• Higidura zirkular uniformea

Kanpo estekak

• Datuak: Q835975
• Multimedia: Simple harmonic motion / Q835975