Funtzioen konposaketa

Aljebra abstraktuan, funtzio konposatua bi funtzioren konposaketaren edo aplikazio jarraituaren emaitza den funtzioa da. Funtzio konposatu baten iturburu-multzoa bera eratzerakoan aplikatu den lehen funtzioaren iturburu-multzoa da eta irudi-multzoa aldiz, aplikatu den azken funtzioaren irudi-multzoa. Funtzio konposatuak, oro har, ez dira trukakorrak eta propietate jakin batzuk betetzen dituzte. Funtzio konposatuaren funtzio-mota hura eratzeko erabili diren funtzio-moten araberakoa izango da.

g o f funtzio konposatua, berez, g eta f funtzioen aplikazio jarraituaren emaitza da. Adibidean (g o f)(a) = (@).

Definizioa

Matematikoki adierazita, ondorengoa dugu:

Izan bitez $f:A\longrightarrow B$ eta $g:B\longrightarrow C$ funtzioak. f eta g-ren funtzio konposatu $g\circ f$ honela definitzen da:

$g\circ f:A\longrightarrow C$;

Non A f funtzioaren iturburu-multzoa den, B f funtzioaren irudi-multzoa eta g funtzioaren iturburu-multzoa eta C B funtzioaren iturburu-multzoa. Funtzio konposatuari g konposatu f deritzo.

Beraz, funtzio konposatu oro honela adieraz daiteke:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ , non x barne A den.

Hori horrela, ondorengo moduan interpretatu daiteke funtzio konposatu baten aplikazioa:

$g\circ f:A\longrightarrow B\longrightarrow C$

$g\circ f:x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))$

Propietateak

Ondoko funtzioak ditugularik,

$f:A\longrightarrow B$, $g:B\longrightarrow C$ eta $h:C\longrightarrow D$

• Funtzioen konposaketa elkarkorra da. Hau da: $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)=h\circ g\circ f$
• Funtzioen konposaketa ez da trukakorra. Hau da: $f\circ g\neq g\circ f$
• Identitate funtzioa eta funtzio baten arteko konposaketa funtzioa bera da. Hau da: $f\circ id_{A}=f$
• Funtzio baten eta bere alderantzizkoaren arteko konposaketa identitate funtzioa da. Hau da: $f^{-1}\circ f=id_{A}$
• Funtzio konposatu baten alderantzizkoa, funtzio konposatu hori osatzen duten funtzioen alderantzizkoen alderantzizko konposaketaren berdina da. Hau da: $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
• Funtzio konposatuaren funtzio-mota konposatu diren funtzioen motaren araberakoa izango da:
  • $f$ eta $g$ funtzioak injektiboak badira, $g\circ f$ injektiboa izango da.
  • $f$ eta $g$ funtzioak supraiektiboak badira, $g\circ f$ supraiektiboa izango da.
  • $f$ eta $g$ funtzioak bijektiboak badira, $g\circ f$ bijektiboa izango da.

Adibidea

Izan bitez 2 funtzio:

${\textstyle f(x)=x^{2}}$

$g(x)=sin(x)$

Orduan, f eta g-ren funtzio konposatua, $g\circ f(x)=g(f(x))=g((x^{2}))=sin(x^{2})$

Bestalde, $f\circ g(x)=f(g(x))=g((sin(x)))=sin^{2}(x)$

Ohartu, $g\circ f\neq f\circ g$ dela, hau da, funtzioen konposaketa ez da trukakorra.

Kanpo estekak

• Datuak: Q244761
• Multimedia: Composition (mappings) / Q244761