Faktorizazio

Matematikan, faktorizazio deritzo adierazpen matematiko bat (zenbakiak, polinomioak, matrizeak...) biderkadura gisa deskonposatzeko teknikari. Hainbat faktorizazio-metodo daude. Helburua da adierazpena sinplifikatzea edo oinarrizko bloketan (faktoretan) berridaztea, adibidez, zenbaki bat zenbaki lehenetan (15 zenbakia 3x5 da) edo polinomio bat polinomio laburtezinetan (x² − 4 polinomioa (x − 2)(x + 2) da) berridaztea.

Zenbakien faktorizazioaren aurkakoa da horien biderketa eta, polinomio baten faktorizazioarena, aldiz, hedapena. Polinomioa faktorizatutakoan sortzen diren faktoreak biderkatuz, polinomio bakar bat lortzen da, terminoen gehiketa dena. Adibidez, 4x ² termino bat da.

Zenbaki osoak faktorizatzeko, aritmetikaren oinarrizko teorema erabiltzen da eta, polinomioen faktorizaziorako, aljebraren oinarrizko teorema. Matrizeak ere faktoriza daitezke matrize berezi batzuen biderkadura gisa. Matrize-faktorizazioaren ohiko adibideek matrize ortogonalak, unitarioak eta triangularrak erabiltzen dituzte. Hainbat mota daude: QR deskonposizioa, LQ, QL, RQ edo RZ.

Zenbaki osoen faktorizazioa

Aritmetikaren oinarrizko teoremaren arabera, bat baino handiagoa den edozein zenbaki osok zenbaki lehenen bidezko faktorizazio bakarra du. Zenbaki osoak faktorizatzeko algoritmoak daude, baina oso handiak diren zenbakietarako ez dago algoritmo efiziente klasikorik.

Zenbakiak faktorizatzeko, hau da, zenbaki bat bere faktore nagusietan deskonposatzeko modu ohikoena probako zatiketa da: faktorizatu nahi den zenbaki osoa zenbaki lehen bakoitzarekin (2, 3, 5, 7, 11, ...) zatitu, eta zatigarritasuna egiaztatu behar da. Kontuan hartu behar da zenbaki lehen hori ezin dela izan faktorizatu nahi den zenbakiaren erro karratua baino handiagoa. Hau da, 100 zenbakia faktorizatzeko, 2, 3, 5, 7, 11, …, zenbakiekin zatitu behar dugu baina, ${\sqrt {100}}$=10 denez, 2, 3, 5 eta 7rekin zatitu beharko da soilik. Zatigarritasuna egiaztatzeko, ikusi behar da ia faktorizatu nahi den zenbakia zenbaki lehen batekin zaitzen denean emaitza beste zenbaki oso bat den. 100 zenbakiaren kasuan, 100/2=50 da; beraz, 100 2rekin zatigarria da. 100/3, aldiz, 33.33 da eta, hori zenbaki osoa ez denez, 100 ez da 3rekin zatigarria. Zenbaki lehen batek faktorizatu nahi den zenbakia zatitzen baldin badu, orduan egiaztatu behar da zenbaki horren berretura handiagoak faktorizatu beharreko zenbakia zatitzen duen. 100 zenbakiaren kasuan, ikusi da 2 zenbakiak 100 zatitzen duela; beraz, hurrengo urratsa da $2^{2}$rekin zatigarria den ikustea, eta 100/$2^{2}$=25; beraz, orain $2^{3}$rekin zatitu behar da: 100/$2^{3}$=12.5. Azken hori zenbaki osoa ez denez, 100 ez da $2^{3}$rekin zatigarria, eta hurrengo zenbaki lehenarekin zatitu beharko da. Alegia, 3, 5 eta 7 zenbakiekin zatitu behar da.

Zenbait irizpide daude zatigarritasuna aztertzeko:

• Zatitu nahi den zenbakiaren azken  digitua 2ren multiploa bada, orduan, zenbaki osoa 2rekin zatigarria da.
• Zatitu nahi den zenbakiaren azken  digitua 5en multiploa bada, orduan, zenbaki osoa 5ekin zatigarria da.
• Zatitu nahi den zenbakiaren digituen batuketa 3ren multiploa bada, zenbaki osoa 3rekin zatigarria da.

Adibidea

n= 1386 zenbakia faktorizatzeko:

• Hasi probako zatiketa 2 zenbakiarekin. Nabarmena da 1386 bikoitia dela; beraz, n = 2 · n', non n' = 1386 / 2 = 693 den. 693 zenbaki bakoitia da; beraz, ez dago 2ren berretura handiagorik n zatitzen duenik.
• Jarraitu probako zatiketa 3 zenbakiarekin, n' = 693 izanik. 6+9+3=18 3ren multiploa da eta, gainera, 3²=9ren multiploa ere bada; beraz, n" = 693 / 9 = 231 / 3 = 77. 7+7=14 ez da 3ren multiploa. Hortaz, joan hurrengo zenbaki lehenera.
• Hurrengo zenbaki lehena 5 da, eta 77 ez da 5en multiploa.
• Hurrengo zenbaki lehena 7 da.  n"=77 7rekin zatigarria da, eta n"' = 77/7 = 11.
• Geratzen den faktorea, n"'=11, lehena da eta, beraz, bukatu da faktorizazioa.
• 1386=2·3²·7·11.

Polinomioen faktorizazioa

Polinomioak faktorizatzeko teknika modernoak azkarrak eta efizienteak dira, baina algoritmo sofistikatuak erabiltzen dituzte (Ikusi polinomioen faktorizazioa). Teknika horiek ordenagailuek erabiltzen dituzte aljebra-sistemetan. Eskuzko faktorizazioan, polinomioak maila txikikoak edo mota jakin batekoak izan behar dira. Horregatik, eskuzko teknikak ez dira baliagarriak ordenagailuetan lan egiteko. Artikulu honetan, beraz, eskuzkoak baino ez dira azalduko.

Adierazpen bat sinpleagoak diren beste batzuen biderketa moduan idaztea da faktorizazioa. “Sinple”  hitzaren esanahia azaldu behar da. Polinomioen faktorizazioan "sinple" hitzak esan nahi du faktoreak hasierakoak baino maila txikiagoko polinomioak izan behar direla. Adibidez, ${\displaystyle x^{2}-y=(x+{\sqrt {y}})(x-{\sqrt {y}})}$ bada faktorizazioa, baina ez polinomioen bidezkoa, faktoreak ez baitira polinomioak. Halaber, termino konstante batekin faktorizatzea, ${\displaystyle 3x^{2}-6x+12=3(x^{2}-2x+4)}$ , ez da polinomioen faktorizaziotzat hartzen, faktore batek ez daukalako polinomioak baino maila txikiagoa, berdina baizik. Beste arazo bat faktoreen koefizienteetan dago; izan ere, faktorizazioa egiten dugunean, faktoreen koefizienteak eta polinomioarenak mota berekoak izatea nahi dugu, hau da, zenbaki osoen polinomio bat zenbaki osoko faktoretan deskonposatu nahi dugu, edo koefiziente errealeko polinomioa koefiziente errealetako faktoreetan. Hori ez da beti posible eta, orduan, polinomioa koefiziente horien gainean laburtezina dela esaten da. Adibidez, x² – 2 zenbaki osoen gainean laburtezina da, eta x² + 4 zenbaki errealen gainean laburtezina. Lehenengo adibidean 1 eta -2 zenbakiak zenbaki erreal modura ikus daitezke; hortaz, ${\displaystyle x^{2}-2=(x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}})}$. Horrek adierazten du polinomioa zenbaki errealen gainean faktorizatzen dela. Batzuetan polinomioa zenbaki errealetan zatitzen dela esaten da. Era berean, 1 eta 4 zenbakiak zenbaki konplexu gisa adieraz daitezkeenez, x² + 4 polinomioa zenbaki konplexuen gainean deskonposatzen da: ${\displaystyle x^{2}+4=(x+2i)(x-2i)}$.

Adibidez, 5. mailako P(x) polinomioa 3. mailako baten eta 2. mailako baten biderketa gisa faktoriza daiteke:

${\displaystyle P(x)=x^{5}-x^{3}+69x^{2}-20x+16=}{\displaystyle (x^{3}+4x^{2}-x+1)(x^{2}-4x+16)}$.

Aljebraren oinarrizko teorema modu honetan adieraz daiteke: n mailako edozein polinomio, koefiziente konplexuak baditu, erabat banatzen da n faktore linealetan. Faktore horien terminoak polinomioaren erroak dira, eta errealak edo konplexuak izan daitezke. Polinomio erreal baten erro konplexu bakoitza bere zenbaki konplexu konjugatuarekin agertzen denez, polinomio erreal guztiak koefiziente errealeko faktore koadratiko lineal eta/edo laburtezinetan banatzen dira. Zenbaki konplexu konjugatuko bi faktore biderkatzean, koefiziente errealetako faktore koadratiko bat lortzen da.

Faktorizazioaren historia

Ekuazio koadratikoak ebazteko polinomioen faktorizazio-metodoa erabiltzea gauza berria da. Vera Sanford-ek bere A Short History of Mathematics (1930) lanean dioenez, metodo hau 1631an erabili zuen lehenengoz Harriot-ek.  Nolanahi ere, Harriotek ez zituen kontuan hartu erro karratu negatiboak egon zitezkeela. Harriot 1621ean hil zen eta Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas liburua, haren beste liburu guztiak bezala, haren heriotzaren ostean argitaratu zen. Harrioten metodoa gaur egungoa ez bezalakoa da. Hasteko, Harriotek taulak marrazten zituen monomioen, binomioen eta trinomioen gehiketak, kenketak, biderketak eta zatiketak argitzeko. Ondoren, bigarren atalean faktorizazio-metodoaren oinarria ematen duen biderketa bat idazten zuen Harriotek. Berak honako ekuazio hau ezartzen zuen: aa − ba + ca = + bc, eta horrek aurreko biderketarekin bat etorri behar du:

a − b		aa − ba
	(===)		(Harriotek  Robert Recorde-ren berdintza luzea erabiltzen      du.)
a + c		ca − bc

Horrela,  aa − ba + ca − bc ekuazioaren terminoak faktorizatzen zituen.

Metodo orokorrak

Edozein polinomioren erabateko faktorizazioa egiten duten algoritmoak existitzen dira eta sistema konputazional gehienetan daude. Oso propietate konplexuak dituzte eskuz garatu ahal izateko. Eskuzko kalkuluetarako badaude metodoak, baina askotan ez dira gai laugarren maila baino gehiagoko polinomioen erabateko faktorizazioa lortzeko.

Faktore komuna

Faktorizatzeko teknikarik erabilena “faktore komuna” da eta honetan datza: polinomioaren zatitzaile komunetako handiena den monomioa aurkitu eta faktore komuna atera. Adibidez:

${\displaystyle 6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=}{\displaystyle (2x^{3}y^{2})(3)+(2x^{3}y^{2})(4xy)+(2x^{3}y^{2})(-5x^{2}y)=}{\displaystyle (2x^{3}y^{2})(3+4xy-5x^{2}y).}$

Multzokatze bidezko faktore komuna

Metodo bat erabilgarria dena baina ez duena bermatzen beti funtzionatzen duela, multzokatze bidezko faktore komunare metodoa da.

Faktorizazio mota honek polinomioaren terminoak bi talde edo gehiagotan kokatzen ditu, horietako bakoitza metodo ezagun baten bidez faktoriza daitekelarik. Faktorizazio horien guztien emaitzak elkartu daitezke jatorrizko adierazpenaren faktorizazioa lortzeko.  

Adibidez, polinomio hau faktorizatzeko ${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y}$:

1. Pareko terminoak multzokatu: ${\displaystyle (4x^{2}+20x)+(3xy+15y)}$
2. Multzo bakoitza zatitzaile komunetako handienaren bidez faktorizatu: ${\displaystyle 4x(x+5)+3y(x+5)}$
3. Binomioaren faktore komuna faktorizatu: ${\displaystyle (x+5)(4x+3y)}$.

Nahiz eta multzokatzeak ez duen erabateko faktorizazioa erakusten, lau termino izan ditzake, bi binomioen biderkadura direnak (arau banakorraren arabera). Hori gertatzekotan, taldekatzeak bai erabateko faktorizazioa izango da.

Faktorearen teorema

Artikulo nagusia: Faktorearen teorema

Aldagai bakarreko polinomio batentzat, p(x), faktorearen teoremak zera dio: a polinomioaren erro bat da ( p(a)=0, polinomioaren zeroa deritzona) baldin eta soilik baldin (x-a) p(x)-ren faktorea bada. p(x)-ren faktorizazioaren beste faktorea Zatiketa polinomikoaren edo zatiketa sintetikoaren bidez lortu daiteke.

Adibidez, polinomio hau izanda: ${\displaystyle x^{3}-3x+2}$

Aztertuz, ikusten da 1 polinomio honen erroa dela (koefizienteen gehiketa 0 da). Orduan, (x-1) polinomioaren faktore bat da. Zatiketaren bidez, honakoa geratzen da: ${\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2)}$.

Aldagai baten kasua, erroen propietateak erabiliz

Aldagai bateko polinomio bat faktore linealetan (lehenengo mailakoak) erabat faktorizatuta badago, erro guztiak ikusgai dira, eta horiek guztiak berriz ere biderkatuz, koefiziente eta erroen arteko erlazioa ikus daiteke. Formalki, erlazio hauei Viète-ren formulak deritze. Formula hauek ez dute polinomioa faktorizatzen baina erroak zeintzuk izan daitezkeen susmoa izaten laguntzen dute. Hala ere, erroei buruzko informazio gehigarria ezagutzen bada, formulekin konbinatu daiteke eta horrela, erroak lortu; beraz, faktorizazioa.

Adibidez, ${\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80}$ faktoriza daiteke jakinda bere erroen batura zero dela. Hartu ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ eta ${\displaystyle r_{3}}$ polinomioaren hiru erroak. Vièteren formulak hauek dira:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}+r_{2}+r_{3}&=5\\r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{3}r_{1}&=-16\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-80.\end{aligned}}}$

Ikusten da ${\displaystyle r_{2}+r_{3}=0}$ hartuta, ${\displaystyle r_{1}=5}$ lortzen dela, beraz, beste bi ekuazioak honetara laburtzen ditu: ${\displaystyle r_{2}^{2}=16.}$

Modu honetan erroak 5, 4 eta -4 dira eta lortzen da:  ${\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).}$

Patroi ezagunak

Bi karraturen kenketa:

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

Oinarrizko formula hori itxura konplexuagoak dituzten ekuazioetan erabili daiteke, adibidez,

$a^{2}+2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}=(a+b+x-y)(a+b-x+y).$

• Kuboen kenketa edo gehiketa modu honetan faktoriza daiteke:

1. Gehiketa: $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$.
2. Kenketa: $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.

• n. berreturen kenketa edo gehiketa modu honetan faktoriza daiteke:

Izan bedi n edozein zenbaki oso positiboa, kenketaren faktorizazio orokorra hau da:

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}+\ldots +b^{n-2}a+b^{n-1}).$

Gehiketarako bi kasu bereiz daiteke, n bakoitia edo n bikoitia.

1. n bakoitia baldin bada, $a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}-\ldots -b^{n-2}a+b^{n-1}).$
2. n bikoitia denenan, beste bi kasu berezi daitezke:

n 2ren berretura baldin bada,  ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$ ezin da faktorizatu.

$n=m\cdot 2^{k},\ k>0\ eta\ m>1\ bakoitia\$bada,

$a^{n}+b^{n}=(a^{2^{k}}+b^{2^{k}})(a^{n-2^{k}}-a^{n-2\cdot 2^{k}}b^{2^{k}}+a^{n-3\cdot 2^{k}}b^{2\cdot 2^{k}}-\ldots -a^{2^{k}}b^{n-2\cdot 2^{k}}+b^{n-2^{k}})=(a^{2^{k}}+b^{2^{k}})\sum _{i=1}^{m}a^{(m-i)2^{k}}(-b^{2^{k}})^{i-1}.$

Polinomioaren erroen formula

Aldagai bateko bigarren mailako edozein polinomio (modu honetako polinomioak: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$) zenbaki konplexuen gorputzean faktoriza daiteke formula honen bidez:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),}$

Formula honi formula koadratikoa deritzo, eta ${\displaystyle \alpha }$ eta ${\displaystyle \beta }$ polinomioaren bi erroak dira (biak errealak edo konplexuak izan daitezke).

Formula kubikoa eta kuartikoa existitzen dira, hala ere, ez dago formularik maila altuagoko polinomioen erroak lortzeko. Kasu horretan, Ruffini-ren erregela erabili behar da.

Zenbaki konplexuen gaineko faktorizazioa

Bi karratuen batura

a eta b bi zenbaki erreal badira, haien karratuen batura zenbaki konplexuen biderketa gisa idatz daiteke. Honek faktorizazioaren formula osatzen du:  ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi).}$

Adibidez, ${\displaystyle 4x^{2}+49}$ modu honetan faktoriza daiteke: ${\displaystyle (2x+7i)(2x-7i)}$.

Matrizeak

Matrize baten faktorizazioa, matrize honen deskonposaketa da, beste bi matrize edo gehiagotan, euren forma kanonikoaren arabera. Matrizeak faktorizatzeko hainbat mota daude; bakoitza problema jakin batean erabiltzen delarik.

LU Faktorizazioa

• A matrize karratu batean aplikagarria.
• Faktorizazioa: A=LU , non L matrize azpi-triangeluarra den eta U matrize goi-triangeluarra.
• Notak: LU faktorizazioak Gauss-en metodoa forma matrizialean adierazten du. Izan ere, PA = LU non P permutazio-matrize bat da non L diagonal nagusiko elementu guztiak 1en berdinak diren. Faktorizazioa egoteko baldintza nahikoa A matrizea alderanzgarria izatea da.
• Ax = b ekuazio linealen sistemaren ebazpena: lehenik, Ly = b ekuazio-sistema ebazten da, eta, ondoren, Ux = y.
• Baldintza beharrezko eta nahikoa da A-ko minore nagusi guztiak zero ez izatea.
• Kalkulu-metodoak: Crouten metodoa, U matrize bat lortzen duena, zeinaren diagonaleko elementu guztiak 1 diren.

$LDL^{T}$ Faktorizazioa

• A matrize simetriko bati aplika dakioke.
• Faktorizazioa:${\displaystyle A=LDL^{T}}$ non L diagonalean batekoak dituen matrize azpi-triangeluarra den eta ${\displaystyle L^{T}}$ bere matrize iraulia. Faktorizazioa bakarra da.
• Baldintza nahikoa da A-ren minore nagusi guztiak zero ez izatea.

QR Faktorizazioa

• Aplikagarria: n x m ordenatako edozein A matrizeetanc.
• Faktorizazioa: ${\displaystyle A=QR}$ non Q m x m matrize ortogonala den, eta R n x m matrize goi-triangeluarra den.
• Kalkulu-metodoak: QR faktorizazioa A zutabeei aplikatutako Gram-Schmidten ortogonalizazio-prozesuaren bidez, Householderren transformazioen bidez eta Givensen transformazioen bidez kalkula daiteke.
• Notak: QR faktorizazioa Ax = b ekuazio linealen sistema "ebazteko" erabil daiteke ekuazio kopurua ezezagun kopuruaren desberdina denean.

Bibliografia

• Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume on
• Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
• Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co.

Kanpo estekak

• Datuak: Q188804