Carnoten zikloa

Carnoten zikloa bi bero iturriren arteko ziklo termodinamiko itzulgarria da, non errendimendua maximoa den. Ziklo hau Sadi Carnotek aztertu zuen Reflections sur la puissance motrice de feu et sur les machines propres à developper cette puissance lanean, 1824ean argitaratua.

Carnoten makina baten eskema. T₁ iturri berotik Q₁ beroa hartzen du eta T₂ iturri hotzera Q₂ ematen du, W lana emanez

Ziklo hau egiten duen makina termikoa Carnoten makina deitzen da. Iturri berotik Q₁ beroa hartzen du eta iturri hotzera Q₂ ematen du, inguruan W lana eraginez. Errendimendua, edozein ziklotan bezala,

$\eta ={\frac {W}{Q_{1}}}={\frac {Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}}=1-{\frac {Q_{2}}{Q_{1}}}$

bezala definitua dago, eta iturri berdinen artean lanean dabilen beste edozein makina termikoren errendimendua baino altuagoa da.

Ziklo ideal hau itzulgarria denez, prozesu denak alderantzikatu daitezke, eta orduan makinak iturri hotzetik beroa hartzen du eta berora lagatzen du, lana eragin behar zaiolarik. Alderantzizko makina honi hotz-makina deitzen zaio.

Carnoten zikloa

Carnoten zikloaren diagrama presio eta bolumenaren arabera

Carnoten zikloaren diagrama tenperatura eta entropiaren arabera

Carnoten zikloa lau prozesuz osatua dago: bi isotermo (tenperatura konstantean) eta bi adiabatiko (termikoki isolatuak)

1. Espantsio isotermoa: (1 → 2 diagraman) Gasa bolumen minimoan dago eta iturri beroko T₁ tenperaturan. Iturri berotik sistemari beroa ematen zaio, espandituz. Espanditzean, gasaren joera hoztea da, baina bero transferentziari esker tenperatura konstante mantentzen da. Gas ideala denez, tenperatura konstante mantentzen denez, barne energia ere konstante mantentzen da, eta termodinamikaren lehenengo legearen arabera, trukatutako bero guztia lan bihurtzen da:
   $Q_{12}>0\ ;\ U_{12}=0\ \Longrightarrow \ 0=U_{12}=Q_{12}+W_{12}\ \Longrightarrow \ W_{12}=-Q_{12}\ \Longrightarrow \ W_{12}<0$
   Prozesuan entropia hazi egiten da: entropiaren aldaketa prozesu itzulgarri baten trukatutako beroaren eta iturriaren tenperaturaren arteko zatidura bezala definitzen da, eta prozesua itzulgarria denez, entropia handitu egingo da, trukatutako beroa positiboa baita:
   $S_{12}={\frac {Q_{12}}{T_{1}}}>0$
2. Espantsio adiabatikoa: (2 → 3) Espantsio isotermoa amaitzean, sistema termikoki isolatzen da eta T₂ tenperatura lortu arte espanditzen da. Tenperatura jeitsi denez, barne energia ere gutxitu egin da, eta sistema termikoki isolatua dagoenez bero transferentziarik ez da egongo. Jeitsitako barne energia lan bilakatu da:
   $Q_{23}=0\ ;\ U_{23}<0\ \Longrightarrow \ U_{23}=W_{23}<0$
   Bero trukaketarik ez dagoenez, entropia ez da aldatzen:
   $S_{23}=0\,$
3. Konpresio isotermoa (3 → 4) Isolamendua kenduz, sistema iturri hotzarekin kontaktuan jartzen da. Konpresioa eraginez, tenperaturak hazteko joera dauka, baina iturri hotzari beroa ematen zaio, sistemaren tenperatura konstante mantenduz. Tenperatura aldatzen ez denez, barne energia ere ez da aldatuko, eta beroa lagatzearen ondorioz sistemari lana eman behar zaio:
   $Q_{34}<0\ ;\ U_{34}=0\ \Longrightarrow \ 0=U_{34}=Q_{34}+W_{34}\ \Longrightarrow \ W_{34}=-Q_{34}\ \Longrightarrow \ W_{34}>0$
   Trukatutako beroa negatiboa denez, entropia gutxitu egiten da:
   $S_{34}={\frac {Q_{34}}{T_{2}}}<0$
4. Konpresio adiabatikoa (4 → 1) Termikoki isolatua, sistema konprimitu egiten da hasierako egoerararte. Tenperatura hazi egiten da, beraz barne energia, eta ez da berorik trukatzen, sistemari lana eman behar zaiolarik:
   $Q_{41}=0\ ;\ U_{41}>0\ \Longrightarrow \ U_{41}=W_{41}>0$
   Prozesu adiabatikoa izaki, bero transferentiarik ez dago eta entropia konstante mantentzen da:
   $S_{41}=0\,$

Zikloaren lana

Termodinamikare lehenengo legearen arabera, energia mekanikoaren aldaketak barne energiaren aldaketaren aldean arbuiagarriak direla suposatuz,

$dE=dU=\delta Q+\delta W\quad \Longrightarrow \quad \delta W=dU-\delta Q\quad \Longrightarrow \quad W=\oint dU-\delta Q$

U barne energia propietate termodinamiko bat denez, diferentzial zehatz ba da eta bere balioa hasieran eta amaieran bera da, beraz dU-ren integrala ziklo osoan 0 izango da. Ondorioz:

$W=-\oint \delta Q=-\int _{1}^{2}T_{1}dS-\int _{3}^{4}T_{2}dS=-T_{1}(S_{B}-S_{A})-T_{2}(S_{A}-S_{B})=(T_{2}-T_{1})(S_{B}-S_{A})<0$

Lana negatiboa da, sistemak inguruan lana eragin duela esan nahi duelarik.

Carnoten teoremak

1. Bi bero iturriren artean lanean dabilen makina termiko baten errendimendua Carnoten makina batena baino txikiagoa izango da.

Teorema betetzen ez dela suposatuz, termodinamikaren bigarren legea betetzen ez dela ikusten da. Demagun bi makina dauzkagula, X makina eta R Carnoten makina, iturri bereen artean lanean eta iturri berotik bero kantitate berdina hartuz. $\eta _{X}>\eta _{R}$ suposatuz, definizioz $\eta _{X}={\frac {W_{X}}{Q_{1}}}\ ;\ \eta _{R}={\frac {W_{R}}{Q_{1}}}$ eta, ondorioz, $W_{X}>W_{R}\ ,\ Q_{2X}<Q_{2R}$, non W eta Q₂ emandako lana eta iturri hotzari emandako beroa diren hurrenez hurren, eta azpindizeak zein makinakoak diren.

R itzulgarria denez, hotz-makina bezala funtziona dezake. $W_{X}>W_{R}$ denez, X makinak R makinari hotz-makina bezala funtzionatzeko behar duen $W_{R}$ lana eman diezaioke, eta X makinak $W_{X}-W_{R}$ lana eragiten du. Alderantziz ibiltzean, R makinak iturri hotzetik $Q_{2R}$ beroa hartzen du eta iturri beroari $Q_{1}$ ematen dio.

Bi makinek osatutako sistemak $W_{X}-W_{R}$ lana ematen du eta $Q_{2X}-Q_{2R}$ beroa trukatzen du iturri bakar batekin, termodinamikaren bigarren legearen Kelvinen enuntziatuaren aurka doana. Beraz:

$\eta _{X}\ \leq \ \eta _{R}$

2. Bi iturri beroren artean dabiltzan bi makina itzulgarriren errendimendua bera da.

Teorema betetzen ez dela suposatuz, termodinamikaren bigarren legea betetzen ez dela ikusten da. Demagun bi makina itzulgarri dauzkagula, R₁ eta R₂, iturri bereen artean lanean eta iturri berotik bero kantitate berdina xurgatuz, bien errendimenduak ezberdinak direlarik. R₁ errendimendu gutxienekoa bada, orduan $W_{R_{1}}<W_{R_{2}}$.

R₁ alderatzikatuz, R₂ makinak $W_{R_{1}}$ lana eman diezaioke hotz-makina bezala funtziona dezan eta R₂k $W_{R_{2}}-W_{R_{1}}$ lana eragingo du.

Bi makinek osatutako sistemak $W_{R_{2}}-W_{R_{1}}$ lana ematen du eta $Q_{2R_{2}}-Q_{2R_{1}}$ beroa trukatzen du iturri bakar batekin, termodinamikaren bigarren legearen Kelvinen enuntziatuaren aurka doana. Beraz:

$\eta _{R_{1}}\ =\ \eta _{R_{2}}\,$

Errendimendua

Bi makina itzulgarriren errendimendua bera denez, hau ez da lan-sustantzia edo propietateen menpe egongo, bero iturrien ezaugarrien menpe bakarrik egongo da. Bero iturriak beraien tenperaturagatik bereizten direnez, errendimendua tenperaturaren funtzioa izango da. Makinak T₁ eta T₂ tenperatura duten iturrien artean lan egiten badu, errendimendua tenperaturaren menpe dago:

$\eta =1-{\frac {Q_{2}}{Q_{1}}}=\phi (T_{1},T_{2})\quad \Longrightarrow \quad {\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}={\frac {1}{1-\phi (T_{1},T_{2})}}=f(T_{1},T_{2})$

Beraz, trukatutako beroen zatidura tenperaturen funtzioa da. Termodinamikaren bigarren legearen arabera errendimendua ezin da unitatea izan eta f funtzioa beti definitua dago.

Orain, jo hiru makina ditugula beste hainbeste iturriren artean lanean, non $T_{1}>T_{3}>T_{2}$. Lehenengo makina 1 eta 2 iturrien artean dabil, bigarrena 1 eta 3 artean eta hirugarrena 3 eta 2 artean, iturri bakoitzak berarengan aritzen diren makinen artean bero berdina trukatzen duelarik. Hots, lehenengoak eta bigarrenak Q₁ xurgatzen dute; bigarrenak eta hirugarrenak Q₂ eman eta xurgatzen dute, hurrenez hurren; eta lehenengoak eta hirugarrenak Q₃ lagatzen dute. Aurreko ekuaziotik, makina bakoitzari ezarria:

${\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}=f(T_{1},T_{2})\ ;\ {\frac {Q_{1}}{Q_{3}}}=f(T_{1},T_{3})\ ;\ {\frac {Q_{3}}{Q_{2}}}=f(T_{3},T_{2})$

Erlazio matematikoak erabiliz:

${\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}={\frac {Q_{1}}{Q_{3}}}{\frac {Q_{3}}{Q_{2}}}\quad \Longrightarrow \quad f(T_{1},T_{2})=f(T_{1},T_{3})f(T_{3},T_{2})$

Lehenengo atala T₁ eta T₂ren menpe soilik dagoenez, bigarren atalak ere horrela izan behar du, berdin dio zein den T₃. Hori horrela izan dadin f funtzioa hurrengo itxurakoa izan behar da:

$f(T_{i},T_{j})={\frac {\Phi (T_{i})}{\Phi (T_{j})}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}={\frac {\Phi (T_{1})}{\Phi (T_{2})}}$

Erlazio hori betetzen duten funtzioen artean errezena Kelvinek proposatutakoa da, $\Phi (T)=T$. Eskala honi tenperatura eskala absolutua edo Kelvin tenperatura eskala deritzo. Aurreko ekuazioan ordezkatuz:

${\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}={\frac {T_{1}}{T_{2}}}$

eta zatidura hau errendimenduaren definiziora eramanez:

$\eta =1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}$

Emaitza honetara heltzeko beste modu bat entropiatik da, $dS={\frac {\delta Q}{T}}{\bigg |}_{itzg}$ bezala definitua. Hortik 1 → 2 eta 3 → 4 prozesuetan trukatutako beroa atera daiteke:

$\delta Q=TdS\quad \Longrightarrow \quad Q=\int TdS$

$Q_{1}=\int _{1}^{2}T_{1}dS=T_{1}(S_{B}-S_{A})$

$Q_{2}=\int _{3}^{4}T_{2}dS=T_{2}(S_{A}-S_{B})=-T_{2}(S_{B}-S_{A})$

Iturri beroarekin trukatutako beroa positiboa da, eta hotzarekin trukatutakoa negatiboa. Errendimenduaren definizioan lanen eta beroen balio absolutuak erabiltzen direla kontuan hartuz,

${\frac {Q_{2}}{Q_{1}}}={\frac {T_{2}(S_{B}-S_{A})}{T_{1}(S_{B}-S_{A})}}={\frac {T_{2}}{T_{1}}}$

eta emaitza berdinera heltzen da:

$\eta =1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}$

Ikus, gainera

• Termodinamika
• Termodinamikaren bigarren legea

Kanpo estekak

• (Gaztelaniaz) Carnoten zikloa Java appletarekin