Azpiespazio bektorial

Azpiespazio bektoriala kontzeptu garrantzitsua da aljebran eta matematikako hainbat arlotan. Testuinguruaren arabera azpiespazio ere deitu ohi zaio beste mota batzuetako azpiespazioekin nahastu ezin denean. Orokorrean, U edo V ikurrak erabiltzen dira azpiespazio bektorialari buruz aritzeko; batzuetan A, B edota W ere ikus daitezke.

Definizioa

Suposatuz V espazio bektoriala dela, K eskalarren gorputza ($\mathbb {R}$ edo $\mathbb {C}$) eta (W,+) egitura (V,+) talde abeldarraren azpitaldea dela, W azpiespazio bektoriala izango da hurrengo baldintzak betetzen baditu:

• $\lambda \in K,w\in W\Leftrightarrow \lambda w\in W$
• $w_{1},w_{2}\in W\Rightarrow (w_{1}+w_{2})\in W$

Hau da, (1) K gorputzeko edozein eskalar eta W azpiespazio bektorialeko edozein bektoreren arteko biderketa, W-n dago eta (2) W azpiespazio bektorialeko edozein bi bektoreren arteko batura W-n dago.

Eragiketak

$U$eta $W$, $V$ espazio bektorialaren bi azpiespazio izanik,

Ebakidura

$U\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in U\ {\text{eta}}\ \mathbf {v} \in W\right\}$

Bi azpiespazioren arteko ebakidura $V$-ren azpiespazio da.

Bildura

$U\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in U\ {\text{edo}}\ \mathbf {v} \in W\right\}$

Bi azpiespazioren bildura normalean ez da $V$-ren azpiespazioa.

Batura

$U+W=\left\{u+w:u\in U{\text{ eta }}w\in W\right\}$

$U$-ren eta $W$-ren bektoreen arteko batura guztien multzoa da

Batura $V$-ren azpiespazioa da.

Batura zuzena

$U,W\leq V$ izanik, beraien arteko batura zuzena dela esango dugu eta $U\oplus W$ moduan adierazi, $U\cap W=\{0\}$ bada.

Azpiespazio osagarriak

$U$ eta $W$ osagarriak direla esaten da baldin eta beraien arteko batura zuzena $V$ bada, hau da,

$S\oplus W=\;V\;\Leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}$

Azpiespazioen dimentsioak

Izan bitez $V$ dimentsio finituko espazio bektoriala eta $W\leq V$. Orduan:

1. $dimW\leq dimV$. Gainera, $dimW=dimV$ dugu baldin eta soilik baldin $W=V$ bada.
2. $W$-ren edozein oinarri $V$-ren oinarri bateraino luza daiteke.

Grassman-en formulak bi azpiespazioren baturaren dimentsioa kalkulatzea ahalbidetzen du. Ondokoa dio:

$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$

Batura zuzen baten dimentsioa kalkulatu nahi badugu, badakigu $U\cap W=0$ dela, beraz,

$\dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)$

Ikus, gainera

• Bektore

Kanpo estekak

• Datuak: Q728435