Zatitzaile komun handiena: berrikuspenen arteko aldeak

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
t Theklan wikilariak «Zatitzaile komun handien» orria «Zatitzaile komun handiena» izenera aldatu du
Propietate eta aplikazioak gehitu
1. lerroa:
[[Aritmetika]]n, [[Zenbaki arrunt]] batzuen '''Zatitzaile komun(etako) handiena''' ('''z.k.h.''') zenbaki horien guztien [[zatitzaile]]a den zenbaki positiborik handiena da. Adibidez, 42 eta 56 zenbakien zatitzaile komun handiena 14 da, hau da, 14 da zenbakirik handiena bi zenbakiak zatidura zehatzez zatitzen dituena.
 
== Adierazpena ==
a eta b bi zenbaki oso izanik, a eta b-ren zatitzaile komun handiena, zkh(a,b) bezala adieraziko dugu.
 
== Z.K.H. kalkulatzeko metodo batzuk ==
61 ⟶ 64 lerroa:
:<math>\operatorname{z.k.h.}(a,0) = a</math>
:<math>\operatorname{z.k.h.}(a,b) = \operatorname{z.k.h.}(b,a - b \left\lfloor {a \over b} \right\rfloor).</math>
 
== Propietateak ==
 
# <math>\ \operatorname{zkh}(a,b)=d</math> bada <math>\ \operatorname{zkh} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1 </math> izango da.
# <math>\ m\in\mathbb{Z}</math> izanik <math>\ \operatorname{zkh}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{zkh}(a,b)</math>
# <math>\ p</math>https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f385a789c147f05d215d99fecd7ff19e8fd40b05  zenbaki lehena bada, orduan<math>\ \operatorname{zkh}(p,m)=p</math> edo <math>\ \operatorname{zkh}(m,p)=1</math>
# <math>d=\operatorname{zkh}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{zkh}(m'',n'')=1</math> bada, orduan<math>\ d=d' </math>
# <math>\ d'</math><math>\ m</math> eta <math>\ n</math>-ren zatitzaile komun handiena<nowiki/>https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43903a19862391d0357b3e377347a32a91f05efd bada, orduan <math>d'\mid \operatorname{zkh}(m,n)</math><math>\ d'</math>
# <math>\ m=nq+r</math> bada, orduan <math>\operatorname{zkh}(m,n)=\operatorname{zkh}(n,r)</math>
# <math>\ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\;\, \alpha_i, \beta_i\geq 0, \;\, i=1,...,k</math> izanik, <math> \operatorname{zkh}(m,n)=p_1^{\operatorname{min}(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k ^ {\operatorname{min} (\alpha_k, \beta_k)} </math>
 
== Aplikazioak ==
Alde batetik, zkh [[Zatiki (matematika)|zatikiak]] sinplifikatzeko erabiltzen da. Esaterako <math>\scriptstyle \frac {48}{60}</math> zatikia sinplifikatzeko, lehenengo zkh(60, 48) = 12 kalkulatzen da, hasieran genuen zatikiaren izendatzaile eta zenbakitzailea 12gatik zatituz eta horrela sinplifikatutako zatikia lortuz: <math>\scriptstyle \frac {4}{5} </math>.
 
Zkh bi zenbakiren [[Multiplo komun txikien|multiplo komun txikiena]] kalkulatzeko ere erabil daiteke. Bi zenbakiren [[Biderketa|biderketaren]] emaitza zatitzaile komun handienaren eta multiplo komun txikienaren arteko biderketaren emaitzaren berdina da eta. Hau baliatuz, adibidez, 48 eta 60 zenbakien multiplo komun txikiena kalkulatzeko, hasteko zkh kalkulatuko dugu: 12. Eta hori oinarritzat hartuta, badakigu mkt <math>\scriptstyle \frac {48 \cdot 60}{12} = 240 </math> dela.
 
Zkh eta [[Euklidesen algoritmo|Euklidesen algoritmoa]] bi ezezaguneko ekuazio diofantiko linealen ebazpenean erabiltzen dira.
 
Eta horrez gain, Euklidesen algoritmoa frakzio jarraituko [[zenbaki arrazional]] baten garapenean erabiltzen da.
 
== Ikus gainera ==