Irudi (matematika): berrikuspenen arteko aldeak

"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, <math>f:X\longrightarrow Y</math> funtzio bat da <math>X</math> [[Multzo|multzotik]] <math>Y</math> multzora doana.

 

Baldin eta <math>x</math> <math>X</math>-ren elementua bada, orduan <math>x</math>-ren irudia <math>f</math>-n, <math>f(x)</math> deitua, <math>x</math> ordezkatzean <math>f</math>-k hartzen duen balioa da. <math>f(x)</math> <math>x</math>-rako <math>f</math>-ren irteera gisa ezagutzen da.

 

<math>y</math> emanda, <math>f</math> funtzioak "<math>y</math>-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada <math>x</math> bat funtzioaren eremuan non <math>f(x)=y</math> den. Era berean, <math>S</math> multzo bat emanda, <math>f</math>-k "<math>S</math>-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada <math>x</math> bat funtzioaren eremuan non <math>f(x)\in S</math>. Aldiz, "<math>f</math>-k <math>S</math>-ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein <math>x</math> <math>f</math>-ren eremuan <math>f(x)\in S</math> bada.

 

<math>A \subseteq X</math> [[Azpimultzo|azpimultzoaren]] irudia <math>f</math>-n, <math>f(A)</math> deitua, <math>Y</math>-ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: <ref>{{Erreferentzia|izenburua=5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets|hizkuntza=en|data=2019-11-05|url=https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MATH_220_Discrete_Math/5%3A_Functions/5.4%3A_Onto_Functions_and_Images%2F%2FPreimages_of_Sets|aldizkaria=Mathematics LibreTexts|sartze-data=2021-12-04}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Halmos, Paul R. 1916-2006|abizena=Verfasser|izenburua=Naive Mengenlehre.|argitaletxea=Vandenhoeck u. Ruprecht|data=1968|url=http://worldcat.org/oclc/1072448936|pmc=1072448936|sartze-data=2021-12-04}}</ref>

 

Nahasteko arriskurik ez dagoenean, <math>f[A]</math> honela idazten da: <math>f(A)</math>. Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, <math>f [ \cdot ]</math> funtzio bat da zeinen eremua <math>X</math>-ren [[Potentzia-multzo|potentzia-multzoa]] den eta koeremua <math>Y</math>-ren potentzia-multzoa.

 

Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren [[Hein|heina]] ere deitua.<ref>{{Erreferentzia|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Image|hizkuntza=en|url=https://mathworld.wolfram.com/Image.html|aldizkaria=mathworld.wolfram.com|sartze-data=2021-12-04}}</ref> Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere <math>f</math>-ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

 

<math>R</math> erlazio bitar arbitrarioa bada <math>X \times Y</math>-n, orduan <math>\{ y \in Y : xRy \ non \ x \in X \}</math> multzoari <math>R</math>-ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, <math>\{ x \in X : xRy \ non \ y \in Y \}</math> multzoari <math>R</math>-ren eremua deritzo.

 

== Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa ==

Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat <ref>{{Erreferentzia|izena=T. S.|abizena=Blyth|izenburua=Lattices and ordered algebraic structures|argitaletxea=Springer|data=2005|url=https://www.worldcat.org/oclc/262677746|isbn=978-1-84628-127-3|pmc=262677746|sartze-data=2021-12-04}}</ref> irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

 

* <math>f^\rightarrow : P(X) \rightarrow P(Y)</math>, <math>f^\rightarrow = \{f(a) \mid a \in A\}</math>

* <math>f^\leftarrow : P(Y) \rightarrow P(X)</math>, <math>f^\leftarrow = \{a \in X \mid f(a) \in B\}</math>

 

* <math>f_\star : P(X) \rightarrow P(Y)</math>, <math>f^\rightarrow </math>-ren ordez

* <math>f^\star : P(Y) \rightarrow P(X)</math>, <math>f^\leftarrow </math>-ren ordez

 

* <math>f[A]</math>-ren ordez <math>f''A</math> ere erabiltzen da. <ref>{{Erreferentzia|izena=Jean E.|abizena=Rubin|izenburua=Set theory for the mathematician|argitaletxea=San Francisco, Holden-Day|data=1967|url=http://archive.org/details/settheoryformath0000rubi|sartze-data=2021-12-04}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izenburua=Wayback Machine|data=2018-02-07|url=https://web.archive.org/web/20180207010648/https://pdfs.semanticscholar.org/d8d8/5cdd3eb2fd9406d13b5c04d55708068031ef.pdf|aldizkaria=web.archive.org|sartze-data=2021-12-04}}</ref>

* Zenbait testuk <math>f</math>-ren irudia <math>f</math>-ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita <math>f</math>-ren koeremua adierazteko.

 

== Propietateak ==

 

<math>f:X\longrightarrow Y</math> edozein funtziorako eta <math>A\subseteq X</math> eta <math>B\subseteq Y</math> azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:

{| class="wikitable"

|<math>f(f^{-1}(B)) \subseteq B</math>

 

|-

|<math>f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X)</math>

|<math>(f\mid_A)^{-1}(B) = A \cap f^{-1}(B)</math>

|}