«Balio absolutu»: berrikuspenen arteko aldeak

5.314 bytes added ,  Duela 3 hilabete
«Absolute value» orriaren itzulpena eginez sortua
Absolute value» orriaren itzulpena eginez sortua)
[[Fitxategi:Complex_conjugate_picture.svg|eskuinera|thumb| &nbsp;<math>z</math> zenbaki konplexu baten balio absolutua <math>z</math>-tik jatorrira dagoen &nbsp;<math>r</math> distantzia da. Irudian, <math>z</math> eta bere [[Konjugatu (matematika)|konjugatu konplexua]]&nbsp;<math>\bar z</math> balio absolutu bera dutela ere ikus daiteke. ]]
[[Matematika]]n, [[zenbaki erreal]] baten '''balio absolutua''' bere zenbakizko balioa da, zeinua (+ edo -) kontuan hartu gabe. Zenbaki erreal batek zeroraino duen [[distantzia]] ere bada. Adibidez, 3 eta -3 zenbakien balio absolutua 3 da. Kontzeptua beste zenbaki-multzo zenbaitetara zabaldu daiteke, hala nola [[zenbaki konplexu]]etara.
[[Zenbaki konplexu|Zenbaki konplexuak]] ez daudenez ordenatuta, goian emandako zenbaki errealentzako balio absolutuaren definizioa ezin zaie zuzenean aplikatu zenbaki konplexuei. Hala ere, zenbaki erreal baten balio absolutuaren interpretazio geometrikoa 0tik bere distantziara orokor daiteke. Zenbaki konplexu baten balio absolutua [[Plano konplexu|plano konplexuan]] [[Jatorri (geometria)|dagokion puntutik jatorriraino]] dagoen distantzia euklidearrak definitzen du. Hau, [[Pitagorasen teorema]] erabiliz kalkula daiteke: edozein zenbaki konplexutarako
 
: <math>z = x + iy,</math>
== Balio absolutu funtzioa ==
 
non {{Mvar|x}} eta {{Mvar|y}} zenbaki errealak diren, &nbsp;{{Mvar|z}}-ren '''balio absolutua''' edo '''modulua''' | z | ikurraren bidez adierazten da eta honela definitzen da
[[Fitxategi:Absolute value.svg|thumb|230px|'''Balio absolutu''' funtzioaren grafika.]]
 
: <math>|z| = \sqrt{[\operatorname{Re}(z)]^2 + [\operatorname{Im}(z)]^2}=\sqrt{x^2 + y^2},</math>
'''x''' zenbaki erreal baten balio absolutua honela adierazten da: '''|x|'''. Analitikoki, honela definitzen da funtzioa:
 
non Re ''(z)'' = ''x'' eta Im ''(z)'' = ''y'' ''z'' -ren zati erreala eta irudikaria diren, hurrenez hurren. {{Mvar|y}} zati irudikaria zero denean, hau bat dator &nbsp;{{Mvar|x}} zenbaki errealaren balio absolutuaren definizioarekin.
:<math>f(x)=|x| = \begin{cases}
\;\;\;x, & x \ge 0\ \ \mbox{bada }\\
-x, & x < 0\ \ \mbox{bada }
\end{cases} </math>
 
&nbsp;{{Mvar|z}} zenbaki konplexua [[Zenbaki konplexu|bere forma polarrean]] honela adierazten da
{{zirriborro}}
 
: <math>z = r e^{i \theta},</math>
== Kanpo estekak ==
 
non <math display="inline">r = \sqrt{[\operatorname{Re}(z)]^2 + [\operatorname{Im}(z)]^2} \ge 0</math> (eta θ ∈ arg (z) z-ren [[Argumentu (analisi konplexua)|argumentua]] (edo fasea)) , bere balio absolutua honakoa da
{{wikiztegia|balio absolutu}}
{{autoritate kontrola}}
 
: <math>|z| = r .</math>
[[Kategoria:Funtzioak]]
 
Edozein &nbsp;{{Mvar|z}} zenbaki konplexuren eta balio absolutu bera duen bere [[Konjugatu (matematika)|konjugatu konplexuaren]]&nbsp;{{Nowrap|<math>\bar z = x - iy</math>,}} arteko produktua, <math>\left(x^2 + y^2\right)</math> zenbaki erreal ez-negatiboa da beti, {{Mvar|z}} zenbaki konplexu baten balio absolutua <math>z \cdot \overline{z}</math>produktuaren erro karratua da, horregatik {{Mvar|z}} karratu absolutua edo ''karratu modulua'' deritzo:
 
: <math>|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}.</math>
 
<nowiki>Honek zenbaki errealentzako definizio alternatiboa orokortzen du: {\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}</nowiki>
 
{{nowrap|<math display="inline">|x| = \sqrt{x\cdot x}</math>.}}
 
Zenbaki konplexuentzako balio absolutuak, goian aipatutako zenbaki errealen balio absolutuarentzako emandako oinarrizko lau propietateak partekatzen ditu.
 
Talde-teoriaren hikuntzan, biderkatze propietatea hurrengo moduan berridatz daiteke: balio absolutua zenbaki konplexuen biderkatze-taldetik zenbaki erreal positiboen biderkatze-taldera doan homomorfismo-talde bat da.
 
Subaditibitatearen propietatea ("desberdintza triangeluar konplexua") &nbsp;n zenbaki konplexu dituen (chorongo) edozein bilduma finitura honela hedatzen da: {{NumBlk|:|<math>\left| \sum_{k=1}^n z_k\right| \leq \sum_{k=1}^n \left|z_k\right| . </math>|{{EquationRef|⁎}}}}Desberdintasun hau familia infinituetan ere aplikatzen da, baldin eta <math display="inline">\sum_{k=1}^\infty z_k</math> serie infinitua erabat konbergentea bada . Lebesgueren integrazioa batuketaren analogia jarraitutzat hartzen bada, <math>f: \R \to \C</math> funtzio neurgarriak E azpimultzo neurgarri batean integratuta daudenean, desberdintasun hau balio konplexuaren bidez analogikoki betetzen da. Ideia honela adieraz daiteke:{{NumBlk|:|<math>\left|\int_E f\, dx\right| \leq \int_E \left|f\right| dx. </math>|{{EquationRef|⁎⁎}}}}[[Riemannen integral|(Honek Riemann-en]] funtzio integragarriak <math>[a,b]</math> tarte mugatu baten barnean sartzen ditu, kasu berezi gisa. )
 
==== Desberdintza triangeluar konplexuaren froga ====
Desberdintza triangeluarrak, ( {{EkuazioOhar|⁎}} ) -k emanda, erraz egiaztatutako zenbaki konplexuen hiru propietate aplikatuta froga daiteke. Hots, <math>z \in \Complex</math>zenbaki konplexu bakoitzerako,
[[Category:Pages that use a deprecated format of the math tags]]
 
# Existitzen da <math> c \in \Complex</math> zeinetarako <math>|c| = 1</math> eta <math>|z|= c \cdot z</math> ;
# <math>\operatorname{Re}(z)\leq |z|</math> .
 
Gainera, {{Nowrap|<math>(w_k)_{k=1}^{n}</math>,}} zenbaki konplexuen edozein familiarentzat {{Nowrap|<math display="inline">\sum_k w_k = \sum_k \operatorname{Re} (w_k) + i \sum_k \operatorname{Im} (w_k)</math>.}} betetzen da. Zehazki,
 
#
# <math display="inline">\sum_k w_k \in \R</math> bada, orduan <math display="inline">\sum_k w_k =\sum_k \operatorname{Re} (w_k)</math> .
 
( {{EkuazioOhar|⁎}} )-ren '''''froga''''' ''''':''''' aukeratu <math>c \in \C</math> zeinetarako <math>|c| = 1</math> eta <math display="inline">\left|\sum_k z_k\right| = c \left(\sum_k z_k\right)</math> (non k=1,...n ) betetzen den. Ondorengo kalkuluak bilatzen ari garen desberdintza ematen du:
 
: <math>\left|\sum_k z_k\right|\; \overset{(1)} {=}\; c\left(\sum_k z_k\right) = \sum_k cz_k\; \overset{(3)} {=}\;\sum_k\operatorname{Re}(cz_k)\; \overset{(2)} {\le}\; \sum_k |cz_k| = \sum_k \left|c\right| \left|z_k\right| = \sum_k \left| z_k \right| .</math>
 
Froga honengatik argi dago (⁎) berdintasuna betetzen dela, baldin eta <math>c z_k</math> zenbaki erreal ez-negatiboak badira, eta, aldi berean, zeroren ezberdinak diren <math>z_k</math> guztiek [[Argumentu (analisi konplexua)|argumentu]] bera badute. Hau da, <math>z_k = a_k\zeta</math> da, <math>\zeta</math> konstante konplexu baterko eta <math>a_k \geq 0</math> konstante erreal baterako, non {{Nowrap|<math>1 \le k \le n</math>.}}den .
 
<math>f</math> neurgarria izateak, <math>|f|</math> neurgarria dela inplikatzen duenez , ( {{EkuazioOhar|⁎⁎}} ) desberdintzaren froga, teknika bera erabiliz burutzen da, <math display="inline">\sum_k(\cdot)</math> adierazpena <math display="inline">\int_E (\cdot)\, dx</math> -rekin eta <math>z_k</math> adierapena {{Nowrap|<math>f(x)</math>.}} -rekin ordezkatuz.
[[Kategoria:Zenbaki errealak]]
[[Kategoria:FuntzioakFuntzio bereziak]]
19

edits