Balio absolutu: berrikuspenen arteko aldeak
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
«Absolute value» orriaren itzulpena eginez sortua |
|||
1. lerroa:
[[Fitxategi:Complex_conjugate_picture.svg|eskuinera|thumb| <math>z</math> zenbaki konplexu baten balio absolutua <math>z</math>-tik jatorrira dagoen <math>r</math> distantzia da. Irudian, <math>z</math> eta bere [[Konjugatu (matematika)|konjugatu konplexua]] <math>\bar z</math> balio absolutu bera dutela ere ikus daiteke. ]]
[[Zenbaki konplexu|Zenbaki konplexuak]] ez daudenez ordenatuta, goian emandako zenbaki errealentzako balio absolutuaren definizioa ezin zaie zuzenean aplikatu zenbaki konplexuei. Hala ere, zenbaki erreal baten balio absolutuaren interpretazio geometrikoa 0tik bere distantziara orokor daiteke. Zenbaki konplexu baten balio absolutua [[Plano konplexu|plano konplexuan]] [[Jatorri (geometria)|dagokion puntutik jatorriraino]] dagoen distantzia euklidearrak definitzen du. Hau, [[Pitagorasen teorema]] erabiliz kalkula daiteke: edozein zenbaki konplexutarako
: <math>z = x + iy,</math>
non {{Mvar|x}} eta {{Mvar|y}} zenbaki errealak diren, {{Mvar|z}}-ren '''balio absolutua''' edo '''modulua''' | z | ikurraren bidez adierazten da eta honela definitzen da
: <math>|z| = \sqrt{[\operatorname{Re}(z)]^2 + [\operatorname{Im}(z)]^2}=\sqrt{x^2 + y^2},</math>
non Re ''(z)'' = ''x'' eta Im ''(z)'' = ''y'' ''z'' -ren zati erreala eta irudikaria diren, hurrenez hurren. {{Mvar|y}} zati irudikaria zero denean, hau bat dator {{Mvar|x}} zenbaki errealaren balio absolutuaren definizioarekin.
{{Mvar|z}} zenbaki konplexua [[Zenbaki konplexu|bere forma polarrean]] honela adierazten da
: <math>z = r e^{i \theta},</math>
non <math display="inline">r = \sqrt{[\operatorname{Re}(z)]^2 + [\operatorname{Im}(z)]^2} \ge 0</math> (eta θ ∈ arg (z) z-ren [[Argumentu (analisi konplexua)|argumentua]] (edo fasea)) , bere balio absolutua honakoa da
: <math>|z| = r .</math>
[[Kategoria:Funtzioak]]▼
Edozein {{Mvar|z}} zenbaki konplexuren eta balio absolutu bera duen bere [[Konjugatu (matematika)|konjugatu konplexuaren]] {{Nowrap|<math>\bar z = x - iy</math>,}} arteko produktua, <math>\left(x^2 + y^2\right)</math> zenbaki erreal ez-negatiboa da beti, {{Mvar|z}} zenbaki konplexu baten balio absolutua <math>z \cdot \overline{z}</math>produktuaren erro karratua da, horregatik {{Mvar|z}} karratu absolutua edo ''karratu modulua'' deritzo:
: <math>|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}.</math>
<nowiki>Honek zenbaki errealentzako definizio alternatiboa orokortzen du: {\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}</nowiki>
{{nowrap|<math display="inline">|x| = \sqrt{x\cdot x}</math>.}}
Zenbaki konplexuentzako balio absolutuak, goian aipatutako zenbaki errealen balio absolutuarentzako emandako oinarrizko lau propietateak partekatzen ditu.
Talde-teoriaren hikuntzan, biderkatze propietatea hurrengo moduan berridatz daiteke: balio absolutua zenbaki konplexuen biderkatze-taldetik zenbaki erreal positiboen biderkatze-taldera doan homomorfismo-talde bat da.
Subaditibitatearen propietatea ("desberdintza triangeluar konplexua") n zenbaki konplexu dituen (chorongo) edozein bilduma finitura honela hedatzen da: {{NumBlk|:|<math>\left| \sum_{k=1}^n z_k\right| \leq \sum_{k=1}^n \left|z_k\right| . </math>|{{EquationRef|⁎}}}}Desberdintasun hau familia infinituetan ere aplikatzen da, baldin eta <math display="inline">\sum_{k=1}^\infty z_k</math> serie infinitua erabat konbergentea bada . Lebesgueren integrazioa batuketaren analogia jarraitutzat hartzen bada, <math>f: \R \to \C</math> funtzio neurgarriak E azpimultzo neurgarri batean integratuta daudenean, desberdintasun hau balio konplexuaren bidez analogikoki betetzen da. Ideia honela adieraz daiteke:{{NumBlk|:|<math>\left|\int_E f\, dx\right| \leq \int_E \left|f\right| dx. </math>|{{EquationRef|⁎⁎}}}}[[Riemannen integral|(Honek Riemann-en]] funtzio integragarriak <math>[a,b]</math> tarte mugatu baten barnean sartzen ditu, kasu berezi gisa. )
==== Desberdintza triangeluar konplexuaren froga ====
Desberdintza triangeluarrak, ( {{EkuazioOhar|⁎}} ) -k emanda, erraz egiaztatutako zenbaki konplexuen hiru propietate aplikatuta froga daiteke. Hots, <math>z \in \Complex</math>zenbaki konplexu bakoitzerako,
[[Category:Pages that use a deprecated format of the math tags]]
# Existitzen da <math> c \in \Complex</math> zeinetarako <math>|c| = 1</math> eta <math>|z|= c \cdot z</math> ;
# <math>\operatorname{Re}(z)\leq |z|</math> .
Gainera, {{Nowrap|<math>(w_k)_{k=1}^{n}</math>,}} zenbaki konplexuen edozein familiarentzat {{Nowrap|<math display="inline">\sum_k w_k = \sum_k \operatorname{Re} (w_k) + i \sum_k \operatorname{Im} (w_k)</math>.}} betetzen da. Zehazki,
#
# <math display="inline">\sum_k w_k \in \R</math> bada, orduan <math display="inline">\sum_k w_k =\sum_k \operatorname{Re} (w_k)</math> .
( {{EkuazioOhar|⁎}} )-ren '''''froga''''' ''''':''''' aukeratu <math>c \in \C</math> zeinetarako <math>|c| = 1</math> eta <math display="inline">\left|\sum_k z_k\right| = c \left(\sum_k z_k\right)</math> (non k=1,...n ) betetzen den. Ondorengo kalkuluak bilatzen ari garen desberdintza ematen du:
: <math>\left|\sum_k z_k\right|\; \overset{(1)} {=}\; c\left(\sum_k z_k\right) = \sum_k cz_k\; \overset{(3)} {=}\;\sum_k\operatorname{Re}(cz_k)\; \overset{(2)} {\le}\; \sum_k |cz_k| = \sum_k \left|c\right| \left|z_k\right| = \sum_k \left| z_k \right| .</math>
Froga honengatik argi dago (⁎) berdintasuna betetzen dela, baldin eta <math>c z_k</math> zenbaki erreal ez-negatiboak badira, eta, aldi berean, zeroren ezberdinak diren <math>z_k</math> guztiek [[Argumentu (analisi konplexua)|argumentu]] bera badute. Hau da, <math>z_k = a_k\zeta</math> da, <math>\zeta</math> konstante konplexu baterko eta <math>a_k \geq 0</math> konstante erreal baterako, non {{Nowrap|<math>1 \le k \le n</math>.}}den .
<math>f</math> neurgarria izateak, <math>|f|</math> neurgarria dela inplikatzen duenez , ( {{EkuazioOhar|⁎⁎}} ) desberdintzaren froga, teknika bera erabiliz burutzen da, <math display="inline">\sum_k(\cdot)</math> adierazpena <math display="inline">\int_E (\cdot)\, dx</math> -rekin eta <math>z_k</math> adierapena {{Nowrap|<math>f(x)</math>.}} -rekin ordezkatuz.
[[Kategoria:Zenbaki errealak]]
| |||