«Ekuazio linealetako sistema»: berrikuspenen arteko aldeak

t
Robota: Aldaketa kosmetikoak
t (Robota: Aldaketa kosmetikoak)
 
{{HezkuntzaPrograma|Matematika}} [[Matematika|Matematikan]]n eta [[Aljebraaljebra lineal|aljebra linealean]] ean '''ekuazio linealetako sistema''' bat, edo sistema lineal bat, [[Gorputz (matematika)|gorputz]] edo [[Eraztun (matematika)|eraztun]] [[Trukakortasun|trukakor]] batean definitutako [[Ekuazioekuazio lineal|ekuazio linealen]]en multzo bat da (hau da, [[ekuazio]] guztiak lehenengo mailakoak dituen ekuazio-sistema). Hona hemen ekuazio linealetako sistema baten adibidea:
 
<math> \left \{
\right .</math>
 
Ekuazio linealetako sistema hori ebaztearen helburua hiru ekuazioak betetzen dituzten <math>x_1,x_2 </math> eta <math>x_3 </math> [[Ezezagun|ezezagunenezezagun]]en edo [[Aldagai (matematika)|aldagaien]] [[Ekuazioak ebaztea|balioak aurkitzea]] da.
 
Ekuazio linealetako sistemen ebazpena [[Aljebra|aljebranaljebra]]n garrantzi handiko gaia da.
 
Ekuazio linealetako sistemen problema matematikako problema zaharrenetarikoa da, eta aplikazio ugari ditu, hala nola [[Seinaleseinale digitalen prozesaketa|seinale digitalen prozesaketan]]n, estimazioan, aurresatean, programazio linealean eta [[Zenbakizko analisia|zenbakizko analisiko]] problema ez-linealen [[Hurbilketa|hurbilketetan]].
 
== Sarrera ==
<math>{\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} } </math>
 
Adierazpen horretan, '''A''' da ''m''x''n'' dimentsioko [[matrize]] bat; '''x''', ''n'' luzerako zutabe-bektore bat, eta '''b''', ''m'' luzerako zutabe-bektore bat. Mota honetako sistemetan [[Gauss-Jordan algoritmo|Gauss-Jordan algoritmoa]] a erabiltzen da, koefizienteak edozein gorputzetakoak izanda ere. '''A''' matrizea sistema lineal horren '''koefiziente-matrizea''' da; '''b''', sistemaren gai askeen bektorea, eta '''x''', sistemaren ezezagunen bektorea.
 
== Sistema lineal errealak ==
 
=== Adierazpen grafikoa ===
[[Fitxategi:PlaneIntersection.png|link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:PlaneIntersection.png|thumb|223x223px|Paraleloak ez diren bi [[Plano|planorenplano]]ren ebakidura [[Zuzen (geometria)|zuzen]] bat da.]]
n ezezagun dituen sistema bat dagokion [[Euklidear espazio|espazio euklidearrean]] irudika daiteke.
 
Bi ezezaguneko sistemetan, sistemaren espazioa [[plano bidimentsionala]] da, eta ekuazio bakoitza [[Zuzen (geometria)|zuzen]] baten bidez adierazten da. Ekuazio horien bidez adierazitako zuzenek elkar mozten duten [[Puntu (geometria)|puntua]] (edo [[Lerro (geometria)|lerroa]]) da soluzioa. Zuzen guztiek elkar ebakitzen duten punturik existitzen ez bada, sistema bateraezina dela edo soluziorik ez duela esaten da.
 
Hiru ezezaguneko sistemen kasuan, berriz, espazio tridimentsionala da sistemaren espazioa, eta ekuazio bakoitza plano baten bidez adierazten da. Plano guztiek puntu batean elkar ebakitzen badute, puntu horren koordenatuak dira sistemaren soluzioa. Bestalde, plano guztien ebakidura zuzen bat edo plano bat bada, sistemak infinitu soluzio izaten ditu; zuzen edo plano horietako puntuen koordenatuak, hain zuzen ere.
Honela geldituko da sailkapena:
 
Sistema bateraezinak, geometrikoki, elkar ebaki gabe gurutzatzen diren (hiper)planoak edo zuzenak dira. Sistema bateragarri determinatuak, aldiz, puntu bakar batean elkar ebakitzen duten (hiper)planoen edo zuzenen multzoak dira. Azkenik, sistema bateragarri indeterminatuak zuzen batean zehar [edo orokorrean dimentsio txikiagoko (hiper)plano bat] elkar ebakitzen duten (hiper)planoak dira. Aljebraikoki, sistema bateragarri determinatuen ezaugarri nagusia koefiziente-matrizearen [[Determinante|determinanteadeterminante]]a ezberdin zero dela da:
 
<math>{\displaystyle \mathrm {Sistema\;bateragarri\;determinatua} \Longleftrightarrow \det(\mathbf {A} )\neq 0}</math>
 
==== Laburketa-metodoa ====
Metodo hau sistema linealetan erabili ohi da, eta gutxi dira sistema ez-linealetarako erabiltzen diren kasuak. Bi ekuazio edo ezezagun dituzten sistemen laburketa-metodoaren prozedura bi ekuazioetako bat aldatzean datza. Ezezagunetako batek bi ekuazioetan koefiziente bera baina aurkako zeinukoa izatea  ([[Biderketa|biderketakbiderketa]]k erabiliz, gehienetan) lortzea da lehen urratsa. Jarraian, bi ekuazioak batzen dira, eta ezezagun hori deuseztatzen; horrela, ezezagun bakarreko ekuazio bat lortzen da. Ekuazio horren ebazpen-metodoa erraza da.  
 
Adibidez, hurrengo sisteman:
<math>x=-6</math>
 
Hurrengo urratsean, <math>{\displaystyle x}</math> ezezagunaren balioa ordezkatzen da hasierako bi ekuazioetako batean, eta <math>{\displaystyle y}</math>-ren balioa lortzen da. Kasu honetan, <math>{\displaystyle x}</math>-ren balioa lehenengo ekuazioan ordezkatuz:
 
<math> \left .
* Gizonezkoen eta emakumezkoen kopuruaren batura umeen kopuruaren bikoitza da.
 
<math> {\displaystyle x+y=2z\;} </math>
 
Hiru ekuazioak elkartu eta ordenan jarri ondoren, sistema hau lortzen da:
 
===== Gauss-Jordan algoritmoa =====
Gauss-en metodoaren aldaera bat [[Gauss-Jordan algoritmo|Gauss-Jordan algoritmoa]]a izenez ezagutzen da, eta ekuazio linealetako sistemetan soilik aplika daiteke. Metodo hau sistemaren [[Matrizematrize zabaldu|matrize zabaldua]]a oinarrizko transformazioen bidez matrize triangular bihurtzean datza; horrela, ezezagun bakarreko ekuazio bat lortzen da, non haren balioa lerro bereko koefizientea den. Prozesu hau aurreko laburketa-prozesuaren antzekoa da, baina era iteratu batean exekutatuta, ordena algoritmiko bati jarraituz.{{froga|Izan bedi honako ekuazio linealetako sistema hau:
 
<math>\begin{cases}
\end{array}
 
\right|}=\frac{ed-bf}{ad-bc}</math>, <math>y=\frac{\left|
 
\begin{array}{cc}
== Ikus, gainera ==
 
* [[Ekuazio lineal|Ekuazio lineala]]a
* [[Ekuazio|Ekuazioa]]a
 
== Kanpo estekak ==