Azelerazio: berrikuspenen arteko aldeak

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
Etiketa: 2017 wikitestu editorearekin
Assar (eztabaida | ekarpenak)
t Zuzenketak estilo-gidaren arabera
4. lerroa:
{{Magnitude infotaula|izena=azelerazioa|Dagokion unitatea=metro segundo ber minus bi|ikurra='''''a'''''}}
 
[[Fisika klasiko]]an, '''a''zelerazioa''azelerazioa''' magnitude fisiko bektorial bat da, [[abiadura]]k [[denbora]]<nowiki/>ren funtzioan jasaten duen aldaketa adierazten duena; '''''azelerazio-bektorea''''' ere esaten zaio.
 
Matematikoki adierazita, azelerazio-bektorea abiadura-bektorearen denborarekiko [[Deribatu|deribatua]] da, eta <math>\boldsymbol a</math> sinboloaz adierazten da (<math>\vec a</math> sinboloa ere erabil daiteke). Azelerazioaren egitura dimentsionala <math>\text {L T}^{-2}</math>da, eta nazioarteko [[Nazioarteko Unitate Sistema|SI sistema]]<nowiki/>n beraren unitatea <math>\text {m s}^{-2}</math> da (edo <math>\text {m/s}^2</math>). Unitate hori bizpahiru eratan irakurtzen («esaten») da: «metro zati segundo karratu», «metro segundo ber minus bi» edo «metro bider segundo ber minus bi».
 
Hizkera arruntean, gorputzaren abiaduraren [[Modulu (argipena)|modulua]] handiagotzen ari denean, gorputza ''azeleratzen'' ari dela esaten da, alegia ''azelerazio positiboa'' duela; aldiz, abiaduraren modulua txikiagotzen ari denean, ''dezeleratzen'' ari dela esaten da, eta ''azelerazio negatibo'' horri ''dezelerazio'' esaten zaio, eta horrek esan nahi du gorputza balaztatzen edo frenatzen ari dela.
[[Fitxategi:Acceleration et positions successives.svg|thumb|325x325px|1) Azeleraziorik gabeko higidura <math>t= \text {0 s} \longmapsto t= \text {4 s}</math> bitartean. 2) Azelerazio konstantedun higidura zuzena. 3) Dezelerazio konstantedun higidura zuzena. 4) Azelerazio konstantedun higidura kurbatua.|alt=]]
== Hurbilketa intuitiboa ==
Abiadurak objektu batek denboran zehar duen posizio-aldaketa deskribatzen duen era berean, azelerazioak «objektuaren abiadurak denboran zehar duen aldaketa» zehazten du. Hizkera matematikoan esanda, «''azelerazioa abiaduraren denborarekiko deribatua da''». Fisikan, azelerazio kontzeptuak hizkera arrunteko hiru kasu hauek biltzen ditu:
 
* '''''Bizkorrago joatea'''''. Azelerazio-pedalari gehiago sakatzean, [[Automobil|automobila]]<nowiki/>ren abiadura-neurgailuak gero eta abiadura handiagoa adierazten du. Matematikoki, azelerazio positiboa duela esan nahi du horrek (alboko irudiko bigarren kasua).
* '''''Astiroago joatea'''''. Oinpeko [[balazta]] zapaltzean, automobilaren abiadura-neurgailuak gero eta abiadura txikiagoa adierazten du (hirugarren kasua). Azelerazio negatiboa duela esan nahi du horrek. Balaztatzen, frenatzen edo dezeleratzen ari dela esan ohi da.
* '''''Norabidea aldatzea'''''. [[Bolante]]<nowiki/>ari eskuin edo ezkerrerantz eragitean, abiadura-neurgailuak abiadura berbera adierazi arren ere, autoa azeleratzen ari da. Izatez, azelerazio bektoreak ibibidearekiko perpendikularra den osagai bat du. Horrek sorrarazten du autoaren norabide-aldaketa; autoa bira egiten ari da. Irudiko laugarren kasuan azelerazio konstanteaz (moduluz eta norabidez) sortzen den higidura parabolikoa adierazten da.
*'''''Azelerazioa nulua''''' denean, h<nowiki/>igidurahigidura zuzen eta uniformea dugu, beti ere abiadura berean (irudiko lehenengo kasua).
 
[[Fitxategi:Pierre Varignon.jpg|thumb|230x230px|Pierre Varignon (1654-1722), abiadura eta azelerazioaren definizio analitikoen sortzailea.]]
 
== Azelerazio kontzeptuaren sorreraren eta formalizazioaren historia laburra ==
Azelerazioaren izaera XVII. mendearen bigarren partean joan zen finkatzen, [[Isaac Newton|Newton]]-ek [[mekanika]]<nowiki/>ren hiru oinarrizko legeak ''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica|Philosophiæ naturalis principia mathematica]]'' liburuan 1687an argitaratu ondoren, eta bertako [[Newtonen legeak|bigarren legean]] [[Indar|indarra]]<nowiki/>ren eta azelerazioaren arteko erlazioa zehaztean. Mekanikaren ikuspegiarekin batera, funtsezkoa izan zen, aldi berean metodo desberdinez [[Leibniz]]-ek eta Newtonek berak garatutako [[Kalkulu diferentzial|kalkulu diferentziala]]<nowiki/>ren formalismo matematikoa.
 
Haien lanetan oinarriturik, [[Pierre Varignon]]-ek (1654-1722) formalizatu egin zituen '''''aldiuneko abiadura'''''renabiaduraren eta '''''aldiuneko azelerazioa'''''renazelerazioaren kontzeptuak mende berriaren atarian. Hain zuzen, partikularen ibilbidea aztertzeko Newtonek eta Leibnizek landuriko kalkulu diferentziala baliatuz, 1698ko uztailaren 5ean Parisko Zientzien Erret Akademiara ([[:fr:Académie_des_sciences_(France)|Académie Royale des Sciences]]) bidalitako komunikazio batean, ''aldiuneko abiadura'' definitu zuen esanez ezen «''posizioaren denborarekiko deribatua''» zela, eta geroago, 1700eko urtarrilaren 20an bidalitako beste komunikazio batean, ''aldiuneko azelerazioa'' ere definitu zuen, «''aldiuneko abiaduraren denborarekiko deribatua''» zela esanez.
 
Varignonen lana oso azkar onartua izan zen bere garaiko zientzialarien artean, eta berehala normaltasunez erabilia. Haren ohorez esan behar da, berak ireki ziela bidea [[Jean le Rond d'Alembert|D’Alembert]]-i eta [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]-ri gaur egun oraindik mekanika analitikoan erabiltzen diren enuntziatuak idazteko. Hortaz, nolabait esan dezakegu Varignon izan zela mekanika analitikoaren sortzaileetako bat.
29. lerroa:
== Azelerazioaren definizioa ==
[[Fitxategi:Determination graphique acceleration moyenne.svg|thumb|300x300px|Batez besteko azelerazioa ibilbideko bi punturen abiaduren kenketa bektoriala eginez lortzen da. ]]
Varignon-ek proposaturiko metodologiaz baliaturik, bi pausotan definituko dugu [https://zthiztegia.elhuyar.eus/terminoa/eu/higikari higikari] baten azelerazioa. Lehenik, ''batez besteko azelerazioa'' definituko dugu, higikariaren ibilbideko ''denbora-tarte finitu'' bati dagozkion hasierako eta bukaerako puntuetako abiaduren arteko kendura eginez; ondoren, ''denbora-tarte infinitesimala'' kontsideratuko dugu, horrela ''aldiuneko azelerazioa'' definitzeko
 
=== Batez besteko azelerazioa ===
'''''Batez besteko azelerazioa''''' esaten zaio denbora-tarte finitu batean gertatu den abiadura-bektorearen aldakuntzari. Honelaxe adierazten da era matematikoan, <math>t_1</math> aldiunetik <math>t_2</math> aldiunera bitartean, gorputzak jasan duen batez besteko azelerazioa:
 
<math qid="Q11376" display="block">\boldsymbol a_{\text {m}} = \frac {\Delta \boldsymbol v}{\Delta t}=
38. lerroa:
 
=== Aldiuneko azelerazioa ===
Bigarren pausoan kalkulu difentzialeko teknikak erabiliko ditugu, preseski deribatu kontzeptuaren definizioa. Hortaz, definizioz, '''''aldiuneko azelerazioa''''' deritzogu batez besteko azelerazioaren balio limiteari, <math>\Delta t</math> denbora-tartearen balioa zerorantz jotzean; bestelako hitzekin esanik, abiaduraren [[Deribatu|deribatua]]<nowiki/>ri. Hauxe da, beraz, aldiuneko azelerazioaren adierazpen matematikoa:<math display="block">\boldsymbol a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \boldsymbol v}{\Delta t}=
\frac {\text {d}\boldsymbol v}{\text {d}t}.</math>Hots, Varignon-ek azaldu zuen bezala, «''aldiuneko azelerazioa abiaduraren deribatua''» da, ibilbideko puntu bakoitzean. Agerikoa denez, hau ere magnitude bektoriala da; horrek esan nahi du azelerazioaren modulua eta norabidea kontsideratu behar ditugula. Gauzak horrela, gorputzaren higidura grafikoki irudikatzean, bereizi egin ahal izango ditugu ''ibilbidea'' (denboran zehar pasaturiko puntu guztiak marraztuz) eta, aldi berean, puntu bakoitzeko ''abiadura'' (zeina ibilbidearen tangentea den) eta ''azelerazioa'' (zeinak bi osagai izango dituen higidura lauaren kasuan).
 
== Azelerazioa kontzeptu erlatiboa da ==
Higidura kontzeptu erlatiboa denez, partikularen azelerazioa neurtzean, kontuan izan behar da zein [[erreferentzia-sistema]]<nowiki/>tatik neurtzen dugun, alegia, zein den neurketa egiten duen behatzailea. Horrek esan nahi du azelerazioaren balioa desberdina izan daitekeela neurtua izan den sistemaren arabera; hots, azelerazioa ''magnitude erlatiboa'' dela, neurtu duen behatzailearen araberakoa.
 
[[Fitxategi:Sistema inertzial baten eta sistema ez-inertzial baten arteko erlazioak.png|thumb|440x440px|Erreferentzia-sistema inertzial baten (SI) eta sistema ez-inertzial baten (SEI) arteko erlazio zinematikoak deskribatzeko eskema grafikoa.]]
48. lerroa:
Horretaz jabetzeko, [[erreferentzia-sistema inertzial]] batetik abiatuko gara, eta bertako behatzaileak neurturiko <math>\boldsymbol a</math> azelerazioa hartuko dugu erreferentziatzat. Beste edozein sistematan partikula berberaren azelerazioa aztertzean, kontuan izan behar da bigarren sistema hori inertziala den ala ez.
 
* Bigarren sistema ere ''inertziala bada'', higitzen ari den partikula baten kasuan balio bereko azelerazioa neurtuko dute bi sistemetako behatzaileek, <math>\boldsymbol a</math>. Emaitza hori orokortuz esan dezakegu erreferentzia inertzial guztietan azelerazio berbera neurtzen dela. Horregatik batzuetan sistema inertzialetatik neurturiko azelerazioa ''absolutua'' dela esaten da, guztietan emaitza berbera lortzen baita partikularen azelerazioa neurtzean.
 
* Baina bigarren sistema ''inertziala ez bada'', orduan sistema horretako behatzaileak azelerazio desberdina neurtuko du, <math>\boldsymbol a'</math> ikurraz adieraziko duguna.
*Kasurako, alboko irudian eskematikoki adierazita dauden bi sistemetako bat inertziala izango da (<math>SI</math>ikurraz adierazia eta <math>B</math> behatzailea duena), eta bestea [[Erreferentzia-sistema ez-inertzial|ez-inertziala]] (<math>SEI</math> eta <math>B'</math>, hurrenez hurren). Bigarren sistema honen jatorria <math>\boldsymbol A</math> azelerazioaz higitzen ari da lehenengoarekiko, eta gainera, biraka ari da <math>\boldsymbol \omega</math> [[abiadura angeluar]] aldakorraz, azelerazio angeluarra <math>\boldsymbol \dot{\omega}</math> izanik. Sistema inertzialeko behatzaileak <math>\boldsymbol a</math> azelerazioa neurtuko du partikularen higidura behatzean, eta sistema ez-inertzialekoak, <math>\boldsymbol a'</math> azelerazioa. Kalkulu matematikoak froga ikus daitekeenez, erlazio hau dago bi balio horien artean:<math display="block">\boldsymbol a =\boldsymbol A + \boldsymbol a' + \boldsymbol \dot{\omega}\times \boldsymbol r'+ \boldsymbol \omega \times
(\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r') + 2 \boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'.
56. lerroa:
</math> behatzaileak neurtuko duen azelerazioa honako hau izango da<math display="block">\boldsymbol a' =\boldsymbol a - \boldsymbol A - \boldsymbol \dot{\omega}\times \boldsymbol r'- \boldsymbol \omega \times
(\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r') - 2 \boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'.
</math>Horrek esan nahi du <math>B</math> eta <math>B'</math> behatzaileek azelerazio desberdinak lortuko dituztela gorputz berberaren azelerazioa neurtzean, hau da: <math>\boldsymbol a \neq \boldsymbol a'</math> izango dela. Labur esanda, ''azelerazioa erlatiboa'' da, erreferentzia-sistema ez-inertziala nolakoa den araberakoa.<br />
 
== Azelerazioaren kausak ==
Azelerazioaren kausak aztertzen dituen mekanikaren arloari [[dinamika]] deritzo. Labur esanda, azelerazioaren kausak abiadura-bektorea aldarazten duten fenomenoak dira. Oro har, fenomeno horiei '''''[[Indar|indarrak]]''''' deritze, eta mekanika newtondarrean [[Newtonen legeak|Newtonen bigarren legea]]<nowiki/>ren bidez definitzen dira,<math display="block">\boldsymbol F = m \boldsymbol a.</math>Lege hori da dinamikaren oinarrizko printzipioa. Bertan hiru elementu ageri dira: <math>\boldsymbol F</math> indarra, magnitude bektoriala, objektuaren azelerazioaren kasua dena; <math>m</math> masa, magnitude eskalarra, objektuaren materiaren ezaugarri mekanikoak biltzen dituena; eta azelerazioa, magnitude bektoriala, aurreko bi magnitudeen bidez definiturik geratzen dena:<math display="block">\boldsymbol a = \frac {\boldsymbol F}{m}.</math>Nolanahi ere, bi motatako indarrak bereizi behar dira: ''elkarrekintzak'' eta ''inertzia-indarrak''.<br />
 
=== Elkarrekintzak ===
Objektuen artean gertatzen diren ''interakzioak'' dira, hala nola [[Presio|presioa]], [[Indar elektromagnetiko|indar elektromagnetikoa]], [[Grabitazio|grabitazioa]]... Indar hauek dira Newtonen lehenengo legea ([[Inertzia|inertziaren printzipioa]]) hausten dutenak; alegia, elkarrekintzaren ondoriozko indar horiek dira erreferentzia-sistema inertzial batean ageri diren azelerazioen sortzaileak.
====Newton-en lehenengo eta bigarren legeak====
[[Isaac Newton]]ek proposatutako mekanikaren lehenengo bi legeetan presentzia zehatza du azelerazioak. Hain zuzen ere, lehenengo legeak dioenez —inertziaren printzipioari dagokiona—, indarren eraginik jasaten ez duen partikulak abiadura konstantea du —azelerazio nulua du— sistema inertzial batean, hots, ez du azeleraziorik jasango:<math display="block">\boldsymbol F = 0 \rightarrow \boldsymbol v= \text {kte} \rightarrow \boldsymbol a=0.</math>Bestetik, bigarren legeak zehazki adierazten du partikulan eragiten duen <math>\boldsymbol F</math> indarraren, partikularen <math>m</math> masaren, eta indarraren eraginaren ondorioz partikularen <math>\boldsymbol a</math> azelerazioaren arteko erlazioa, betiere kontuan izanik indarra eta azelerazioa magnitude bektorialak direla; eta masa, eskalarra:<math display="block">\boldsymbol F = m \boldsymbol a.</math>Baina lege hori, izatez, erreferentzia-sistema inertzialetan betetzen da, eta ''elkarrekintzei dagozkien indarrekin'' betetzen da sistema horietan. Beraz, interakzioan egindako indarra eta interakzioaren ondorioz sorturiko azelerazioa elkarren proportzionalak dira, proportzionaltasun konstantea partikularen masa izanik. Baina beste objektu batekiko elkarrekintzarik ez badago, azeleraziorik ez dago.<math display="block">\boldsymbol F = 0 \rightarrow \boldsymbol a=0.</math>Bestela esanda, erreferentzia-sistema inertzial batean elkarrekintza-indarrik egon ezean, partikula higidura zuen uniformean higituko da, inertzia printzipioa betez, Newtonen lehenengo legea, alegia.<br />
 
==== Grabitazio unibertsalaren legea ====
Newtonen [[grabitazio unibertsalaren legea]] ere erlazionaturik dago azelerazio kontzeptuarekin, eta horrek garrantzi berezia du gu bizi garen Lurraren grabitatearen koasuan. Hain zuzen ere, Lurrak egiten digun <math>\boldsymbol F_\text {g}</math> ''grabitate-indarra''renindarraren balioa honako hau dela kontuan izanik:<math display="block">\boldsymbol F_\text {g} = -G \frac{m M_\text {L}} {R^2} \boldsymbol u_\text {r}, </math>non <math>G</math> [[grabitazio unibertsalaren konstantea]] den, <math>m</math> lurrazalean dagoen edozein gorputzen masa, <math>M_\text {L}</math> Lur planetaren masa, <math>R</math> Lurraren erradioa eta <math>\boldsymbol u_\text {r}</math> Lurraren erradioaren norabideko bektore unitarioa. Horretan oinarriturik, Lurraren gainazalean dauden gorputz guztiok jasaten dugun <math>\boldsymbol g </math> azelerazio grabitatorioa defini dezakegu, honelaxe:<math display="block">\boldsymbol g = \frac {\boldsymbol F_{\text {g}}} {m}= -G \frac {M_\text {L}} {R^2} \boldsymbol u_\text {r}. </math>Bistan denez, Lurreko ''azelerazio grabitatorioa'' magnitude bektoriala da, eta beraren moduluak <math>g = 9,8 \text { m·s}^{-2} </math> balio du lurrazalean, gutxi gorabehera. Azelerazio hori dute lurrazaletik hurbil jausten ari diren gorputz guztiek (hutsean erorizgero, noski).
 
=== Inertzia-indarrak ===
Aurreko atalean ("''Azelerazioa kontzeptu erlatiboa da''" izenekoan) azaldu denez, ''erreferentzia-sistema ez-inertzial''etakoinertzialetako <math>B'
</math> behatzaileak <math>\boldsymbol a'
</math> azelerazioa neurtzean, interakzioei dagokien <math>\boldsymbol a </math> azelerazioaz gain, kontuan hartu behar ditu sistema ez-inertzialaren higiduren kausaz ageri diren gainerako osagaiak; alegia, beraren neurketan balio hau lortuko du:
76. lerroa:
<math display="block">\boldsymbol a' =\boldsymbol a + (- \boldsymbol A - \boldsymbol \dot{\omega}\times \boldsymbol r'- \boldsymbol \omega \times
(\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r') - 2 \boldsymbol \omega \times \boldsymbol v').
</math> Dakigunez, erreferentzia-sistema inertzialetan eta elkarrekintza-indarrekin baino ezin dugu aplikatu Newtonen bigarren legea. Zer egin dezakegu lege hori modu berean aplikatzeko sistema ez-inertzialetan? Horretarako, fisikariek trikimailu praktiko bat asmatu zuten, esanez sistema horietan '''''inertzia-indarrak''''' deritzen irudizko indarrek ere eragiten dutela, elkarrekintza-indarrez gain. Horretarako, arrazonamendu hau egiten da. Sistema ez-inertzialean ere Newtonen bigarren legea aplikatzeko,
 
<math display="block">\boldsymbol F' = m\boldsymbol a'</math>
85. lerroa:
- 2 m\boldsymbol \omega \times \boldsymbol v').
</math>Horrek esan nahi du, ezen objektuan eragiten diharduen elkarrekintza-indarraz gain —<math>\boldsymbol F = m \boldsymbol a
</math> indarra, zeinari "''indar erreala''" ere esaten zaio batzuetan—, parentesiaren barneko azelerazioak sortzen dituzten "indarrak" ere sumatzen direla sistema ez-inertzialean; eta bakarrik sistema ez-inertzialean. Horregatik, indar horiei ''inertzia-indar'' edo "''indar fiktizioak''" ere esaten zaie. Indar horiek erreferentzia-sistema ez-inertzialaren higiduraren kausaz sumatzen dira, eta bakoitza higiduraren ezaugarri bati dagokio. Hauexek dira:
 
*<math>- m \boldsymbol A
</math> : Aurreko irudiko <math>SEI
</math> erreferentzia-sistema ez-inetzialaren ''jatorriaren azelerazioari'' dagokion inertzia-indarra.
*<math>- m \boldsymbol \dot{\omega}\times \boldsymbol r'
 
</math> : <math>SEI
</math> erreferentzia-sistemaren ''azelerazio angeluarrari'' dagokion inertzia-indarra.
*<math>- m \boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r')
</math> : <math>SEI
</math> erreferentzia-sistemaren ''abiadura angeluarrari'' eta ''biraketa-ardatzarekiko posizioari'' dagokien inertzia-indar berezia, zeinari [[Indar zentrifugo|indar zentrifugoa]] deritzon.
*<math>- 2 m\boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'
</math> : <math>SEI
</math> erreferentzia-sistemaren ''abiadura angeluarraren'' eta ''abiadura erlatiboaren'' efektu konbinatuari dagokion inertzia-indar berezia, zeinari [[Coriolis efektua|Coriolis-en indarra]] deritzon.
 
Bestela esanda, inertzia-indarrak sistema ez-inertzialetan Newtonen legea kalkuluetan egokiro erabiltzeko trikumailu bat dira.
 
== Azelerazioaren osagaiak koordenatu-sistema desberdinetan ==
Objektuen higidura aztertzeko erabiltzen diren posizioaren eta abiaduraren bektoreak bezala, abiadura-bektoreak modu desberdinetan adierazten dira erreferentzia-sistema deskribatzeko aukeratu den koordenatu-sistemaren arabera, alegia, [[Kartesiar koordenatu|koordenatu kartesiar]]<nowiki/>rak, zilindrikoak, esferikoak edo bestelakoak aukeratu diren arabera. Horretaz, garrantzizkoa da azpimarratzea, erreferentzia-sistema berean, edozein koordenatu-sistema aukera daitekeela; baina aukeratutako koordenatuen arabera, posizio-, abiadura- eta azelerazio-bektorearen osagaiak modu desberdinean adieraziko direla, jarraian ikus daitekeen bezala.
[[Fitxategi:ES-kartesiarra.png|thumb|Kordenatu-sistema kartesiarra.]]
 
156. lerroa:
== Koordenatu intrintsekoak. Frenet eta Serrat-en formulak ==
[[Fitxategi:Frenet-en erreferentzia-sistema.png|thumb|350x350px|Frenet eta Serrat-en erreferentzia-sistemako hiru bektore unitarioen irudia.]]
Aurreko hiru koordenatu-sistemak erreferentzia-sistemari lotuak izan dira, eta ez dute zerikusirik partikularen higidurarekin; alegia, bertako bektore unitarioak berberak dira partikularen ibilbidea edozein izanik ere. Baina batzuetan komeni izaten da higidura bera higitzen ari den partikularekin batera doan koordenatu-sistema berezi batetik aztertzea, eta orduan bektore unitarioak ibilbidearen izaeraren bitartez definitzen dira; horrela egitean, ''ibilbideko puntu bakoitzean'' hiru bektore unitario definituz, eta ''koordenatu intrintsekoak'' dauzkan Frenet-en erreferentzia-sistema osatuz. [[Freneten formulak|Frenet eta Serrat-en formulak]] ere esaten zaie [[:fr:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]]-ek 1847an eman baitzituen eta [[:fr:Jean_Frédéric_Frenet|Joseph Alfred Serret]]-ek 1851n, bakoitzak bere aldetik eman ere.
 
Hain zuzen, espazio tridimentsionalean partikularen <math>\boldsymbol r</math> posizio-bektorea hasierako puntutik <math>s</math> distantziaren funtzioan definiturik badugu, hau da, <math>\boldsymbol r = \boldsymbol r (s)</math> eran, edozein ibilbide kurbatutan, honelaxe defini ditzakegu edozein <math>P</math> puntuko bektore unitarioak:
 
* '''''Bektore unitario tangentea''''' honelaxe definitzen da:<math display="block">\boldsymbol u_\text {t} \equiv \frac {\text {d}\boldsymbol r} {\text {d}t}.</math>Agerikoa denez, bektore unitario tangentea ibilbideko puntu bakoitzean definitzen da; hots, posizioaren funtzioa da: <math>\boldsymbol u_t = \boldsymbol u_t (s) </math>
 
* '''''Bektore unitario normala''''' definitzeko, lehenik kurbaren ''plano oskulatzailea'' zehaztu behar dugu. Puntu bakoitzean, plano oskulatzailea da bere barnean bektore unitarioa edukirik kurbaren tangentea den planoa. Behin plano oskulatzailea definiturik, bektore unitario normala plano horretakoa izanik bektore tangentearen perpendikularra duena, eta noranzkoa kurbaren barrualderanzkoa izanik. Matematikoki idatzita, erlazio hau du bektore unitario tangentearekin:<math display="block">\frac {\text {d}\boldsymbol u} {\text {d} s} = \frac {1}{\rho} \boldsymbol u_\text {n},</math>non <math>\rho</math>'' ''ibilbideak puntu horretan daukan ''kurbadura-erradioa'' den.
 
[[Fitxategi:Frenetframehelix.gif|thumb|Triedro intrintsekoaren eboluzioa ibilbidean zehar]]
 
* Triedro intrintsekoa osatzeko, definizioz, '''''bektore unitario binormala''''' aurreko bien biderkadura bektoriala da:<math display="block">\boldsymbol u_b \equiv \boldsymbol u_\text {t} \times \boldsymbol u_\text {n}.</math>Hortaz, bektore binormala plano oskulatzailearen perpendikularra da ibibideko puntu bakoitzean. Alboko irudi animatuan ikus daiteke triedroaren eboluzioa ibilbidean zehar.
 
Frenet eta Serraten sisteman honelaxe adierazten dira abiadura eta azelerazioa:
 
* '''''abiadura''''': <math>\boldsymbol v = v \boldsymbol u_\text {t}.</math> Alegia, abiadurak osagai bakarra du, ibibidearen tangentearen norabidean.
* '''''azelerazioa''''': <math>\boldsymbol a = \ddot s \boldsymbol u_\text {t} + \frac {\dot s}{\rho} \boldsymbol u_\text {n}.</math> Azelerazioak, ostera, bi osagai ditu: bata tangentearen norabidean, <math>\ddot s \boldsymbol u_\text {t}</math>, eta bestea normalarenean, <math>\frac {\dot s}{\rho} \boldsymbol u_\text {n}</math>.
 
== Higidura lauaren kasuko azelerazioaren bi osagaiak ==
Partikularen higidura plano batean gauzatzen denean, ibilbidearen kurbatu denean, azelerazioak bi osagai ditu: ''azelerazio tangentziala'' eta ''azelerazio normala''. Lehenengoak ibilbidearen norabide tangentziala du puntu bakoitzean, eta abiaduraren [[modulu]]aren aldaketa adierazten du; bigarrena ibilbidearen norabide perpendikularra du, eta abiadurak denborarekiko pairatzen duen norabide-aldaketa azaltzen du.[[Fitxategi:Abiadura eta azelerazioaren norabideak.png|alt=Ibilbideko hiru puntuetako abiadura eta azelerazioak.|thumb|440x440px|Partikularen abiadura eta azelerazioa ibilbideko hiru puntutan. Higidura laua eta kurbatua denean, azelerazioaren noranzkoa kurbaren barrualderanzkoa da (''A'' eta ''C'')'';'' higidura zuzena denean (''B'' puntuan), abiadurak eta azelerazioak ibilbidearen norabide berbera dute, eta osagai normala nulua da. ]]
 
=== Azelerazio tangentziala ===
Azelerazioaren osagai tangentzialaren modulua <math>(a_\text{t}) </math>abiaduraren moduluak denbora-unitateko pairatzen duen aldaketa da; matematikoki esanez, abiaduraren moduluaren denborarekiko deribatua da:<math display="block">a_\text{t} = \frac {\text {d}v} {\text {d}t}, </math>Bektore modura harturik, azelerazio tangentzial hori ibilbidearen bektore tangentzial unitarioaren <math>(\boldsymbol u_\text {t}) </math> bidez adieraz daiteke:<math display="block">\boldsymbol a_\text {t} = \frac {\text {d}v} {\text{d}t} \boldsymbol u_\text{t}. </math>Agerikoa denez, abiaduraren modulua konstante denean, azelerazio tangentziala nulua izango da.<br />
183 ⟶ 184 lerroa:
 
== Higiduraren legeak zenbait kasu berezitan ==
Objektu baten higiduraren legeek determinatu egiten dute objektuaren posizioa, aldiuneko abiadura eta aldiuneko azelerazioa denboraren funtzio modura. [[Zinematika]]<nowiki/>ko hiru magnitude horiek bektorialak dira, eta gorago emandako definizioetan ikusi dugunez, magnitude batetik besterako transformazioa deribazio edo integrazio baten bidez egiten da, edota higidurari dagokion ekuazio diferentziala ebatziz. Jarraian, zenbait adibide aztertuko ditugu.
 
===Higidura Zuzena===
198 ⟶ 199 lerroa:
 
 
Azelerazioa konstantea den kasuan, <math>a =\text {kte}</math> , [[Higidura zuzen eta uniformeki azeleratu|higidura zuzen uniformeki azeleratua]] dugula esango dugu. Kasu horretan, edozein aldiunetako abiadura honako hau izango da:<math display="block">v(t) = v_0 + \int_0^t a \text {d}t = v_0 + at</math>Horretaz baliatuz, edozein aldiunetako posizioa, <math>s(t)</math>, ere kalkula dezakegu, hasierako posizioa, <math>s_0</math>, zein izan den jakinez gero:<br /><math display="block">s(t)= s_0 + \int_{0}^{t} (v_0 +at)\text {d}t = s_0 + v_0 t + \frac {1}{2} a t^2.</math>Demagun objetu bat grabitatearen eraginez erortzen utzi dugula altuera batetik, hasierako abiadura nuluz; higidura horri ''[[Erorketa aske|erorketa askea]]'' deritzo, eta<math>a=g =9,81 \text {m/s}^2</math> azelerazio konstanteaz gertatzen da. Hasierako posiziotik neurtzen hasiz gero, <math>s_0 = 0</math> eta <math>v_0 = 0</math> izango dira. Beraz, erortzean ibilitako distantzia honako hau izango da:<math display="block">s(t)= \frac {1}{2} g t^2.</math>Alegia, ibilitako distantzia pasaturiko denboraren karratuaren proportzionala izango da, alboko irudian adierazita dagoenez. <br />[[Fitxategi:HZU-indar zentripetua.png|thumb|Higidura zirkular uniformeko azelerazio zentripetua.|alt=|ezkerrera|180x180px]]
 
=== Higidura zirkular uniformea ===
[[Higidura zirkular]] uniformean, ibilbidea zirkularra izan arren, partikularen abiaduraren modulua konstantea da. Hortaz, azelerazio tangentziala nulua da:<math display="block">v= \text {kte} \rightarrow a_\text {t} = \frac {\text {d}v} {\text {d}t} =0.</math>Ostera, azelerazio normalak modulu konstantea du:<math display="block">a_\text {n} = \frac {v^2} {R} = \text {kte},</math>eta ibilbideko puntu guztietan zentroranzko norabide eta noranzkoa duenez, ohitura dago ''azelerazio zentripetua'' deitzeko.
 
== Azelerazioaren unitateak ==
 
209 ⟶ 211 lerroa:
== Bibliografia ==
 
* Aguirregabiria, Juan María.. (2004). ''Mekanika klasikoa.''. Universidad del País Vasco [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Berezi:BookSources/84-8373-631-4|84-8373-631-4]] [[PubMed Central|PMC]] 932541663
* Fishbane, Paul (2008) ''Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak)'' Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea [[International Standard Book Number|ISBN]][[Berezi:BookSources/9788490820308|9788490820308]][[PubMed Central|PMC]]932800438.
* Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) ''Fisika orokorra (2. argitalpena)'' UEU, Bilbo (2003) [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Berezi:BookSources/9788484380450|9788484380450]].
217 ⟶ 219 lerroa:
== Ikus, gainera ==
 
*[[abiaduraAbiadura]]
*[[azelerazioAzelerazio angeluar]]ra
*[[indarIndar]]ra
*[[Indar zentripetu|indar zentripetua]]
*[[Indar zentrifugo|indar zentrifugoa]]
*[[bektore (argipena)|bektoreaBektorea]]
*[[deribatuDeribatu]]a
*[[erreferentziaErreferentzia-sistema]]
 
== Kanpo estekak ==