Wikipedia

Radian: berrikuspenen arteko aldeak

Nabigazio historia interaktiboa
← Aurreko ezberdintasunaHurrengo ezberdintasuna →
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
IkusizkoaWikitestua
t Autoritate kontrola jartzea
No edit summary
1. lerroa:
{{HezkuntzaPrograma|Matematika}}
[[Fitxategi:Circle_radians.gif|link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Circle_radians.gif|thumb|Radianaren definizio grafikoa.]]
'''Radian'''a (ikurra: ''rad'') [[angelu lau]]a neurtzeko [[Nazioarteko Unitate Sistema]]ren [[unitate (argipena)|unitatea]] da. Askotan ([[estereorradian]]arekin gertatzen den bezala), [[unitate osagarri]]en artean sailkatzen da, beste batzuetan, aldiz, [[unitate eratorri]]en artean.
'''Radiana'''<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Radian|hizkuntza=en|data=2019-11-03|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Radian&oldid=924298374|sartze-data=2019-12-04|encyclopedia=Wikipedia}}</ref> <ref>{{Erreferentzia|izenburua=Radián|hizkuntza=es|data=2019-11-06|url=https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Radi%C3%A1n&oldid=121109919|sartze-data=2019-12-04|encyclopedia=Wikipedia, la enciclopedia libre}}</ref>planoan [[Angelu (geometria)|angeluak]] neurtzeko unitatea da [[Nazioarteko Unitate Sistema]]<nowiki/>n (frantsesezko ''Système international d'unités''-tik '''SI''' laburtuta). Radianaren sinboloa '''rad''' da.
 
[[Zirkunferentzia|Zirkunferentzi]]<nowiki/>a unitario baten (hau da, erradio gisa 1 duen zirkunferentziaren) arku-luzeraren zenbakizko neurria eta radianetan neurtutako angelu subtenditua berdinak dira.
Egia esan, unitate hau informazio osagarritzat hartzen da, dimentsiorik ez baitauka. Gero azaltzen den bezala, [[luzera]]/luzera [[zatiketa (argipena)|zatiketaren]] ondorioa da.
 
Unitatea, hasiera batean, SIko unitate betegarria zen, baina 1995ean, kategoria hori aldatu, eta unitate deribatu bihurtu zuten.
== Definizioa ==
 
Unitate hau, gehienbat, [[Fisikaren historia|fisika]]<nowiki/>n, [[kalkulu infinitesimal]]<nowiki/>ean, [[trigonometria]]<nowiki/>n... erabiltzen da.
[[Fitxategi:Radian measure-def1.svg|thumb|120px|erradioa 1ekoa bada eta ''α'' radian batekoa bada ''b'' 1ekoa izango da ere]]
Radian bat, [[zirkunferentzia]] baten, [[arku (geometria)|arkua]] eta [[erradio]]a berdinak dituen angelua da. Zirkunferentzia baten arkua erradioaren menpekoa denez, angelu hori ez da erradioaren menpekoa. Hau da, radiana berdina da erradioa edozein izanda.
 
<math>\alpha=\frac {L}{r}</math>
::<math>\alpha \,</math>: Angelua
::<math>L \,</math>: Arku-luzera
::<math>r \,</math>: Erradioa
 
== Definizioa ==
Ondorioz, zirkunferentzia osoaren angelua honela kalkulatzen da radianetan:
Angeluak neurtzeko unitatea da; zirkunferentziaren erradioaren luzera bera duen zirkunferentzia-arku batek mugatzen duen angeluaren baliokidea da (rad).<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R)|url=http://jeff560.tripod.com/r.html|aldizkaria=jeff560.tripod.com|sartze-data=2019-12-04}}</ref>
 
'''Radian segundo karratuko''': azelerazio angeluarra neurtzeko unitatea.
<math>\alpha_{{zirkunferentzia\ osoa}}=\frac {L_{perimetroa}}{r} =\frac {2 \cdot \pi \cdot r}{r}=2 \cdot \pi \ rad</math>
 
'''Radian segundoko''': [[abiadura angeluar]]<nowiki/>ra neurtzeko unitatea.
== Graduekin erlazioa ==
 
Aurretik esandakoaren arabera, zirkunferentziaren angelua 2 \pi da; eta [[gradu hirurogeitar]]etan 360º dela jakinik:
 
== Historia ==
<math>1 rad=\frac {360^o}{2\times \pi}=\frac{180^o}{\pi}\approx { 57^o\ 17' \ 45''} </math>
[[Fitxategi:Roger_Cotes.png|link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Roger_Cotes.png|thumb|Roger Cotes matematikaria.]]
Roger Cotes <ref>{{Erreferentzia|izenburua=Roger Cotes (1682 - 1716)|url=http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cotes.html|aldizkaria=mathshistory.st-andrews.ac.uk|sartze-data=2019-12-04}}</ref>matematikari eta fisikariak erabili zuen lehenbizikoz, 1714an, radiana angeluak neurtzeko unitate gisa. Unitate hau Radian izendatu baino lehen, angelu baten neurri zirkular modura ezagutzen zen.
 
Angeluak arkuaren luzerarekin neurtzeko ideia beste matematikari batzuek ere erabiltzen zuten garai hartan. Adibidez, al-Kashi-k (Kristo aurreko 1400. urtean) diametro zatiak erabili zituen unitate gisa; [[diametro]]<nowiki/>aren zati bat 1/60 radian balio zuen.
Kontuan hartu behar da, orokorrean ez direla [[zenbaki-sistema hamartar|hamartarrak]] erabiltzen graduetan, [[minutu]]ak (<math>\, '</math>) eta [[segundo]]ak (<math>\, ''</math>) baizik. Gradu bat 60 minutu dira eta minutuak 60 segundo.
 
1873. urteko ekainaren 5ean agertu zen ''radian'' terminoa lehenengo aldiz prentsan, James Thomson-ek (Lord Kelvin-en anaia) ezarritako azterketaren galderetan, alegia. 1874an, ''radian'' izena hartu zuen nazioarteko mailan magnitude horrek. 1890ean Longmans-en eskolan Trigonometria irakasgaian radiana erabiltzen zen angeluak neurtzeko unitate gisa.<ref>{{Erreferentzia|abizena=Cajori, Florian, 1859-1930.|izenburua=A history of mathematical notations|argitaletxea=Dover Publications|data=1993|url=https://www.worldcat.org/oclc/28889042|isbn=0-486-67766-4|pmc=28889042|sartze-data=2019-12-04}}</ref>
<math>1^0=\frac {2 \times \pi}{360}=\frac {\pi}{180}\approx 0,01745 \ rad</math>
 
== Analisi dimentsionala ==
<br clear="all"/>
Radiana neurketa-unitatea izan arren, magnitude adimentsionala da. Sarrerako definiziotik ikus dezakegu: zirkunferentziaren erdiko angelu subtenditua, radianetan neurtua, arku itxiaren luzeraren eta zirkuluaren erradioaren luzeraren arteko erlazioaren berdina da.
 
Nahiz eta [[koordenatu polar]]<nowiki/>rek eta esferikoek radianak erabiltzen dituzten koordenatuak bi eta hiru [[dimentsio]]<nowiki/>tan deskribatzeko, unitatea [[Erradio (geometria)|erradio]]<nowiki/>aren koordenatutik dator; orduan,adimentsionala izaten jarraituko du.
[[Fitxategi:Arco1.png|ezkerrera|200px]]
 
 
<center>
== Graduen eta radianen arteko konbertsioa ==
{| border=1
{| class="wikitable"
|+
|'''Radianak'''
! Radianetan !! Gradutan
|'''Graduak'''
| rowspan="15" |[[Fitxategi:Degree-Radian_Conversion.svg|link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Degree-Radian_Conversion.svg|alt=|thumb|380x380px|Radianen eta graduen arteko erlazioa]]
|-
|0
| <math>\, 0 \ rad</math> || <math>0^\circ</math>
|<math>0^\circ </math>
|-
| <math>\frac {\pi}{212} \ rad </math> |
|<math>9015^\circ </math>
|-
| <math>\, frac{\pi}{6} \ rad</math>
|| <math>18030^\circ </math>
|-
| <math>\frac {3 \pi}{25} \ rad </math>
|| <math>27036^\circ </math>
|-
| <math>\, 2 frac{\pi}{4} \ rad</math>
|| <math>36045^\circ </math>
|-
|1
|<math>57,3^\circ </math>
|-
|<math>\frac{\pi}{3} </math>
|<math>60^\circ </math>
|-
|<math>\frac{2\pi}{5} </math>
|<math>72^\circ </math>
|-
|<math>\frac{\pi}{2} </math>
|<math>90^\circ </math>
|-
|<math>\frac{2\pi}{3} </math>
|<math>120^\circ </math>
|-
|<math>\frac{4\pi}{5} </math>
|<math>144^\circ </math>
|-
|<math>{\pi} </math>
|<math>180^\circ </math>
|-
|<math>\frac{3\pi}{2} </math>
|<math>270^\circ </math>
|-
|<math>{2\pi} </math>
|<math>360^\circ </math>
|}
</center>
 
 
[[Gradu ehundar|Gradu]]<nowiki/>ak eta radianak angeluak neurtzeko erabiltzen dira. Graduen eta radianen arteko baliokidetasuna jarraian ikusiko dugu. 360 gradu eta 2π radian baliokideak izango dira . (Gogora dezagun π-ren hurbilketa gisa 3,14 zenbakia erabiltzen dugula.)
 
Konbertsioa egiteko, kontuan hartu behar dugu 180 gradu π radianen baliokidea dela. Hurrengo pausoa hiruko erregela bat planteatzea eta ebaztea da. Konbertsioa nola egiten den hobeto ulertzeko, hona adibide batzuk:
 
==== 1. adibidea ====
38 gradu radian bihurtuko ditugu.
 
Lehenik, hiruko erregela planteatuko dugu; <math>x</math>, radianen posizioan kokatuko dugu.
 
<math>\frac{\pi}{180} = \frac{x}{38} </math>
 
Ondoren, <math>x</math> bakanduko dugu, eta zatikia sinplifikatuko.
 
<math>x= \frac{38 \pi}{180} =\frac{19 \pi}{90} </math>
 
Bukatzeko, <math>x</math>-ren balio hamartarra lortuko dugu:
 
<math>x=0,6632</math> radian.
 
==== 2. adibidea ====
2,4 radian gradu bihurtuko ditugu.
 
Lehenik, hiruko erregela planteatuko dugu; eta <math>x</math>, graduen posizioan kokatuko.
 
<math>\frac{\pi}{180} = \frac{2,4}{x} </math>
 
Ondoren, <math>x</math> bakanduko dugu, eta zatikia sinplifikatuko.
 
<math>x= \frac{180 \times 2,4}{\pi} </math>
 
Azkenik, <math>x</math>-ren balio hamartarra lortuko dugu:
 
<math>x=137,50987 </math>gradu. Hori adierazteko beste era bat hau da: <math>x= 137^\circ 30' 36'' </math>.
 
== Radianetan neurtzearen abantailak ==
Kalkuluan eta geometriaz besteko matematika arloetan radianak erabiltzen dira graduak erabili beharrean. Izan ere, unitate honek formulak modu dotoreagoan idaztea ahalbidetzen du.
 
Funtzio trigonometrikoak erabiltzen dituzten emaitzak sinpleak eta dotoreak dira argumentu gisa radianak erabiltzen direnean. Horren adibide bat serieak dira. Funtzio trigonometrikoen Taylor-en garapenetan radianak erabiltzen dira argumentu moduan; izan ere, graduak erabiliko balira, emaitza askoz nahasiagoak lortuko lirateke. Adibidez:
 
<math>\sin{x_{rad}}=x- \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+... </math>
 
<math>\sin{x_{deg}}=\frac{\pi}{180} x- (\frac{\pi}{180})^{3}\frac{x^{3}}{3!}+(\frac{\pi}{180})^{5}\frac{x^{5}}{5!}-(\frac{\pi}{180})^{7}\frac{x^{7}}{7!}+... </math>
 
Sinu- eta kosinu- funtzioen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio garrantzitsuak radianetan adierazten dira eleganteak izan daitezen; adibidez [[Eulerren formula|Euler-en formula]].
 
Dena kontuan hartuta, radiana oso erabilgarria da angeluak neurtzeko; izan ere, kalkuluak asko errazten ditu. Radianen balio erabilienak [[Pi (zenbakia)|π]]-ren zatitzaile edo multiplo gisa adieraz daitezke, eta, horri esker, kalkuluak errazten dira.
 
== Erabilera fisikan ==
Radiana, fisikan, asko erabiltzen da angeluak neurtzeko. Adibidez, [[abiadura angeluar]]<nowiki/>raren unitatea radian zati segundo da: <math> {rad}/{s}</math>.
 
Biraren eta radianaren arteko erlazioa abiadura angeluarraren kasuan: <math>{bira}/{s}= 2\pi {rad}/{s}</math>.
 
Modu berean, azelerazio angeluarraren unitatea radian zati segundo karratu da: <math> {rad}/{s^{2}}</math>.
 
Bi uhinen arteko fase-diferentzia adierazteko ere erabiltzen dira radianak. Adibidez, bi [[Uhin|uhinen]] arteko fase-diferentzia <math>k\times2\pi</math> bada, non eskalar bat den k, uhin horiek fasean daudela jotzen da. Aldiz, fase-diferentzia <math>k\times2\pi+\pi</math> bada, non eskalar bat den k, aurkako fasean daudela jotzen da.
 
== Estereorradiana ==
Estereorradiana [[Angelu solido|angelu solidoak]] neurtzeko [[Nazioarteko Unitate Sistema|unitatea da Nazioarteko Unitate Sisteman]]. Angelu solidoa jatorri berean hasten diren eta gainzal kurbatu mugatu batetik iragaten diren zuzenerdi guztiek osatutako hiru dimentsioko espazio zatia da. Estereorradianaren sinboloa '''sr''' da.
 
Askotan (radianarekin gertatzen den bezala), unitate osagarrien artean sailkatzen da, beste batzuetan, aldiz, unitate eratorrien artean.
[[Fitxategi:Steradian.svg|link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Steradian.svg|ezkerrera|thumb|242x242px|Estereorradianaren definizio grafikoa.]]
<br />
[[Fitxategi:Steradian_anim.gif|link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Steradian_anim.gif|thumb|Hainbat angelu solidoren radian kopurua.]]
Estereorradian bat, [[zirkunferentzia]] baten, [[Erradio|erradioaren]] karratuko azaleradun gainazala definitzen duen angelu solidoa da.
 
<math>\Omega=\frac{S}{r^2}</math>
 
<math>\Omega: \text{Angelu solidoa}
</math>
 
<math>S: \text{Gainazalaren azalera}
</math>
 
<math>\Omega: \text{Erradioa}
</math>
 
Ondorioz, zirkunferentzia osoaren angelu solidoa honela kalkulatzen da radianetan:
 
<math display="inline">\Omega_{\text{gainazal osoa}}=\frac{S_{\text{gainazala}}}{r^2}=\frac{4 \pi r^2}{r^2}=4 \pi \quad
sr</math>
<br />
 
== Erreferentziak ==
<references />
 
 
"https://eu.wikipedia.org/wiki/Radian"(e)tik eskuratuta