Wikipedia

Osziladore harmoniko: berrikuspenen arteko aldeak

Nabigazio historia interaktiboa
← Aurreko ezberdintasunaHurrengo ezberdintasuna →
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
IkusizkoaWikitestua
Artikulua osatzen ari naiz. Oraindik amaitu gabe dago osaketa.
Oraindik testua orrazten eta estekak jartzen ari naiz.
1. lerroa:
'''Osziladore harmonikoa''' deritzo [[Osziladore (argipena)|osziladore]] ideal bati, zeinean [[magnitude fisiko]] baten balioaren eboluzio denboral periodikoa [[Sinusoide|funtzio sinusoidal]] batez adierazten den, zeinaren maiztasunak[[maiztasun]]<nowiki/>ak (edo frekuentziak) sistema fisikoaren ezaugarrien menpekotasuna duen soilik, eta zeinaren anplitudea konstantea den. Eredu teoriko bat da, sistema fisiko batek oreka-posizioaren inguruan duen eboluzioa erakusten duena, eta fisikaren hainbat arlotan agertzen dena, hala nola [[mekanika]], elektrikan, elektronikan[[elektronika]]<nowiki/>n eta optikan[[optika]]<nowiki/>n.
 
Praktikan, osziladore harmonikoa fenomeno fisiko batzuen azalpenerako hurbilketa da, indar disipatiboak oso txikiak direnean erabiltzen dena; horregatikpraktikan, indar disipatiboen eraginari aurre eginez oszilazioen anplitudea konstantea izan dadin, energiaz hornitu behar izaten da sistema oszilakorra, marruskaduraren[[Marruskadura-indar|marruskadura]]<nowiki/>ren eragina moteltzailea deusezteko.
[[Fitxategi:HarmOsc1.png|thumb|270x270px|Malguki batetik zintzilikaturiko masaren oszilazio harmonikoen eskema.]]
Osziladore harmonikoen adibide sinple bat da, adibidez, [[malguki]] batetik esekitako masa batek duen higidura oszilakorra. Masa hori norabide bertikaleko oreka-posiziotik aldenduz gero (gorantz zein beherantz izan, berdin dio), malgukiak indar bat egingo dio masari oreka-posiziorantz eramateko, eta askatzean, masa oszilatzen hasiko da oreka-posizioaren inguruan, higidura harmonikoa osatuz.
 
Horrela, eredu teorikoan, malgukiaren [[Energia potentzial|energia potentziala]] masaren [[energia zinetiko]] bihurtzen da, eta alderantziz, etengabe. Dena den, esperimentu erreala egitean, energiaren parte bat disipatu egiten da higidurarekin, dela airearen[[aire]]<nowiki/>aren biskoitateak[[biskositate]]<nowiki/>ak sorturiko marruskaduraren kausaz, dela malgukia guztiz elastikoa ez delako, eta higidura harmonikoaren anplitudea txikiagotuz joango da denbora pasatu ahala; orduan, ''oszilazio harmoniko indargetua'' izango duguda. Kasu horretan, oszilazioaren anplitudea konstante iraunarazteko, kanpotik eginiko indar bat egin beharko da, ''oszilazio harmonio bortxatuak'' egitera behartuz.
[[Fitxategi:Osziladore harmonikoa-1.png|thumb|243x243px|''a.'' Oreka-posizioan. ''b.'' Malgukia luzatzean. ''c''. Malgukia uzkurtzean.|alt=]]
 
== Energiaren galerarik gabeko osziladore harmonikoa ==
Marruskadurarik gabeko osziladore harmoniko bat aipatuko dugu lehenik. Horretarako, alboko irudiko malguki baten mutur batean <math>m</math> masadun objektua duen sistema mekanikoren azterketa dinamikoa egingo dugu. Objektua oreka-egoeratik <math>x</math> distantzia batera aldentzean, malgukiak ''indar elastiko'' bat egingo dio oreka-posiziorantz. Malgukiaren muga elastikoaren barnean arituz gero, ''HookerenHooke-ren legea''ren arabera, indar elastiko (<math>F_\text {e}</math>) horrek balio hau du:<math display="block">F_\text {e} = - kx, </math>non <math>k </math> elastikotasun-konstantea den, eta minus zeinuak luzapenaren edo uzkurduaren aurkako noranzkoa adierazten duen, beti ere oreka-posizioranzkoa dena.<br />
 
=== Oszilazioaren ekuazioa ===
[[Fitxategi:HarmOsc2.png|thumb|Oszilazio harmonikoen posizioa, abiadura eta energiaren grafikoa denboraren funtzioan.]]
Indar horren eraginez masak izango duen higidura lortzeko, [[Newtonen legeak|Newtonen bigarren legea]] aplikatuko dugu:<math display="block">F=ma\longrightarrow -kx = m \frac {\text {d}^2 x} {\text {d}t^2}. </math>Bestela idatzita, ekuazio diferentzial hau dugu:<math display="block">\frac {\text {d}^2 x}{\text {d}t^2} + \frac {k}{m} x(t) = 0.</math>Bigarren mailako ekuazio diferentzial horren soluzioa honako hau da:<math display="block">x(t) = A\sin (\omega t + \varphi), </math>non <math>x(t) </math> ''elongazioa'' (aldiune bakoitzean partikulak duen posizioa) den, <math>A </math> oszilazioaren ''anplitudea'' (elongazio maximoa), <math>\omega = 2 \pi f </math> ''pultsazioa'' (edo ''maiztasun angeluarra''), <math>f </math> ''maiztasuna'' (''frekuentzia''), <math>t </math> denbora (edozein alidune adierazten duena) eta <math>\varphi </math> ''hasierako fasea'' (<math>t =0 </math> aldiuneari dagokiona). Ohar modura diogun ezen hemen ''[[sinu]]'' funtzioa erabili dugula soluzioa adierazteko, baina berdin izango litzatekeela ''[[kosinu]]'' funtzioa erabiltzea. Hortaz, sinu (edo kosinu) funtzioa periodikoa denez, oszilazio harmonikoa eperiodikoaere periodikoa da.<br /><br />▼
Indar horren eraginez masak izango duen higidura lortzeko, Newtonen bigarren legea aplikatuko dugu:<math display="block">F=ma\longrightarrow -kx = m \frac {\text {d}^2 x} {\text {d}t^2}. </math>Bestala idatzita, ekuazio diferentzial hau dugu:
<math display="block">\frac {\text {d}^2 x}{\text {d}t^2} + \frac {k}{m} x(t) = 0.</math>
 
▲Bigarren mailako ekuazio diferentzial horren soluzioa honako hau da:<math display="block">x(t) = A\sin (\omega t + \varphi), </math>non <math>x(t) </math> elongazioa (aldiune bakoitzean partikulak duen posizioa) den, <math>A </math> oszilazioaren ''anplitudea'' (elongazio maximoa), <math>\omega = 2 \pi f </math> ''pultsazioa'' (edo ''maiztasun angeluarra''), <math>f </math> ''maiztasuna'' (''frekuentzia''), <math>t </math> denbora eta <math>\varphi </math> ''hasierako fasea'' (<math>t =0 </math> aldiuneari dagokiona). Ohar modura diogun ezen hemen ''sinu'' funtzioa erabili dugula soluzioa adierazteko, baina berdin izango litzatekeela ''kosinu'' funtzioa erabiltzea. Hortaz, sinu (edo kosinu) funtzioa periodikoa denez, oszilazio harmonikoa eperiodikoa da.<br />
 
=== Partikularen abiadura eta azelerazioa ===
Elongazioaren ekuazioa deribatuz zuzenean lor ditzakegu abiaduraren eta azelerazioaren balioak denboraren funtzioan:<math display="block">v(t) = \frac {\text {d}x} {\text {d}t} = A \omega \cos (\omega t + \varphi), </math><math display="block">a(t) = \frac {\text {d}v} {\text {d}t} = - A \omega^2 \sin (\omega t + \varphi)
=- \omega^2 A. </math>Ikus daitekeenez, formula horiek erakusten dutenez, bai abiaduraren eta bai azelerazioaren balioekbalioak etengabe ari dira aldatzen, betiere oszilazio harmonikoak osatuz.<br /><br />
 
=== Pultsazioa, periodoa eta frekuentzia ===
Oszilazio harmonikoen kasuan, pultsazioa, periodoa eta frekuentzia oszilatzen ari den sistema fisikoaren konstanteak dira, beti ere sistema oszilakorraren parametroen araberakoak.
 
Zehazki esanda, pultsazioak partikularen masaren eta malgukiaren-elastikotasun elastikotasun-konstantearen menpekotasuna du, era honetan adierazia:<math display="block">\omega = 2 \pi f = \sqrt{\frac {k} {m}} = \text {kte}. </math>Ondorioz, malgukiak masan eragindako higidura periodikoa da, oszilazio bakoitzarenoszilazioen periodoa honako hau izanik:<math display="block">T = \frac {1} {f}= 2 \pi \sqrt {\frac {m}{k}}. </math><br />[[Fitxategi:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|thumb|Osziladore harmonikoaren higidura espazio errealean eta higiduraren orbita fase-espazioan.]]
[[Fitxategi:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|thumb|Osziladore harmonikoaren higidura espazio errealean eta higiduraren orbita fase-espazioan.]]
 
=== Oszilazio harmonikoaren adierazpen grafikoa fase-espazioan ===
Osziladore harmonikoak aldiune jakin batean duen egoera erabat definiturik geratzen da partikularen posizioa eta abiadura ezagutuz gero. Aurreko adibideko osziladoreak askatasun-gradu bakarra duenez, posizioa parametro bakarraz adierazten da, <math>x(t)</math> balioaz; bestalde, eta abiadura, posizioaren deribatuarenderibatua balioazda, hau da, <math>v= \text {d}x/\text {d}t</math> balioaz.
 
Bi parametro horien planoko sistema kartesiar baten bi koordenatu modurara hartuz, osziladorearen ''fase-espazioa'' defini dezakegu. Gorago adierazitako posizioa eta abiadura kontsideratuz, <math display="block">x = A\sin (\omega t + \varphi), </math> <math display="block">v = A \omega \cos (\omega t + \varphi), </math>
 
aldiune bakoitzean osziladoreari fase espazioan dagokio dagokion puntu bat zehaztuko da, eta puntu horrek ibilbide bat osatuko du denboran zehar. Ibilbide horren ekuazio kartesiarra lortzeko, bi ekuazio horietatik <math>t </math> aldagaia eliminatuz, ibilbidearen (edo orbita) ekuazioa lor dezakegu; kalkuluak eginez, hauxe da osziladore hamonikoari dagokion ibilbidearen ekuazioa:
 
<math display="block">\frac {x^2} {A^2} + \frac {v^2} {A^2 \omega^2} = 1. </math>Hain zuzen, ''elipse'' baten ekuazioa da, alegia, osziladore harmonikoak orbita eliptikoa dela fase-espazioan. Nolabait esateko, hori da osziladorearen ''fase-argazkia.''
 
<br />▼
 
Bi parametro horiek planoko [[Kartesiar koordenatu|koordenatu kartesiar]] gisa hartuz, osziladorearen ''fase-espazioa'' defini dezakegu. Horretarako, oszilazio harmonikoaren kasuan gorago adierazitako posizioa eta abiadura kontsideratuz, hau da,<math display="block">x = A\sin (\omega t + \varphi), </math> <math display="block">v = A \omega \cos (\omega t + \varphi), </math>aldiune bakoitzean osziladoreari fase espazioan dagokion puntu bat zehaztuko da, eta puntu horrek [[Ibilbide (fisika)|ibilbide]] bat osatuko du denboran zehar. Ibilbide horren ekuazio kartesiarra lortzeko, bi ekuazio horietatik <math>t </math> aldagaia eliminatuz, ibilbidearen (edo [[orbita]]<nowiki/>ren) ekuazioa lor dezakegu. Kalkuluak eginez, hauxe da osziladore hamonikoari dagokion ibilbidearen ekuazioa:<math display="block">\frac {x^2} {A^2} + \frac {v^2} {A^2 \omega^2} = 1. </math>Hain zuzen, hori ''[[elipse]]'' baten ekuazioa da; alegia, osziladore harmonikoak orbita eliptikoa osatzen du fase-espazioan. Nolabait esateko, hori da osziladorearen ''fase-argazkia.'' <br />
== Osziladore harmonikoaren energia ==
[[Fitxategi:Energia MAS.svg|thumb|270x270px300x300px|Malgukiko sistemako energia zinetikoa (kolore berdez), energia potentziala (kolore urdinez) eta energia mekanikoa (kolore gorriz) elongazioaren funtzioan.|alt=]]
OsoOszilazio harmonikoaren kasuan, oso interesgarria da oszilaziosistema harmonikoaoszilakorra energiaren aldaketaren arabera aztertzea. Izatez, oreka-posiziotik aldentzean, hau dindarindar batez luzatu edo uzkurtzean, malgukiak [[Energia potentzial elastiko|energia potentzial elastikoa]] pilatzen du, eta orduan masa aske uztean, indar elastikoak higidura harmonioaharmonikoa sorrarazten du, lehenik energia potentzial elastikoa energia zinetiko bihurtuz eta ondoren alderantziz.    
 
Erraz kalkula daitezke energia zinetiko, <math>E_\text {k}</math>, eta energia potentzialaren, <math>E_\text{p}</math>, balioak elongazioaren funtzioan:<math display="block">E_\text {k} = \frac {1}{2} mv^2 =
\frac {1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2 (\omega t + \varphi) =
\frac {1}{2} k A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi). </math><math display="block">E_\text {p} = \frac {1}{2} k x^2 = \frac {1}{2} k A^2 \sin^2 (\omega t + \varphi). </math>Eta biak batera harturik, baita [[energia mekaniko]] osoaren, <math>E_\text {m}</math>, balioa ere:<math display="block">E_\text {m}=E_\text {k} + E_\text {p} =\frac {1}{2} kA^2. </math>Beraz, argi ikusten da osziladoren harmonikoaren kasuan energia mekanikoa kontserbatu egiten dela higiduran zehar. Alboko irudian, hiru energia horien balioa erakusten da elongazioaren funtzioan, aldi berean energia zinetikoaren eta potentzialaren arteko transformazioa azalduz, beti erebetiere energia mekaniko osoa konstante mantenduz.<br />[[Fitxategi:HarmOsc2b.png|thumb|Osziladore indargetua.]]
[[Fitxategi:HarmOsc2b.png|thumb|Osziladore indargetua.]]
 
== Osziladore harmoniko indargetua ==
Izatez, aurreko bi ataletan azterturiko osziladore harmonikoa eredu teorikoa da. Praktikan sistema oszilakorretan energia-galerak egoten dira mota desberdinetako marruskaduren kausaz. Kasu horretan osziladore indargetua dela esaten da. Indargetzea zein neurritakoa den arabera, era desberdinetako eboluzio denborala izango du sistemak.
 
Jarraian, osziladore harmoniko indargetu sinpleena aztertuko dugu, osziladore mekaniko indargetua bat, zeinean [[marruskadura-indarraindar]]<nowiki/>ra abiaduraren proportzionala den. Kasu horretan marruskadura-indarra honakohonelaxe hauadieraz izango dadaiteke:<math display="block">F_\text {m}=-bv=-b\frac {\text {d}x} {\text {d}t},</math>non <math>b</math> indargetzaileko fluidoaren[[fluido]]<nowiki/>aren biskositateari[[biskositate]]<nowiki/>ari dagokion koefizientea den, sistema motelki indargeturik dagoen kasuan; zeinu negatiboa marruskadura-indarraren noranzkoari dagokio. Hortaz, osziladorearen higidurari dagokion ekuazioa honako hau izango da:<br />[[Fitxategi:HarmOsc4.png|thumb|270x270px300x300px|Indargetze azpikritikoan, oszilazioen anplitudea txikiagotuz doa denbora pasatu ahala, gelditu arte.|alt=]]<math display="block">m \frac {\text {d}^2 x} {\text {d}t^2} = -kx -b \frac {\text {d} x} {\text {d}t}. </math>
Bigarren ordenako ekuazio diferentzial honek hiru motatako soluzioak ditu <math>b^2-4km</math> konstantearen balioaren arabera:
 
* <math>b^2-4km = 0</math> bada, sistema mekanikoak ''indargetze kritikoa'' du, oszilazioak osatu edo ez osatzeko mugan.▼
* <math>b^2-4km <0</math> bada, indargetzea txikia da eta oszilazioen anplitudea txikiagotuz doa poliki, erabat gelditu arte: sistemak ''indargetze ahula'' edo ''azpikritikoa'' duela esaten da.
* <math>b^2-4km >0</math> bada, indargetzea handia da, eta osziladorearen higidura moteldu egiten da azkar, oszilazioa osatu aurretik: ''indargetze bortitza'' edo ''gainkritikoa''.
▲* <math>b^2-4km = 0</math> bada, sistema mekanikoak ''indargetze kritikoa'' du, oszilazioak osatu edo ez osatzeko mugan.
 
▲<br />
=== Osziladore behartuak ===
<br />
 
== Adibideak ==
Nahiz eta osziladore harmonikoa errealitatearen eredu teorikoa den —idealizazio bat, beraz—, garrantzi handia du praktikan, fisikako arlo askotan agertzenerabiltzen baita hurbilketa teoriko gisa. Bereziki interesgarriak dira osziladore mekanikoak, osziladore elektrikoak eta [[:es:Oscilador_electrónico|osziladore elektrikoakelektronikoak]]; hona hemen horrelako batzuk:
 
=== Osziladore mekanikoak ===
Mota desberdinetako higidura oszilakorrak gertatzen dira higidura nolakoa den arabera, halanolahala translaziozkoanola translaziozko oszilazioa, biraketazkoapendularra, pendularra…biraketazkoa…
 
==== Translazio-osziladoreak ====
"https://eu.wikipedia.org/wiki/Osziladore_harmoniko"(e)tik eskuratuta