Taylor serie: berrikuspenen arteko aldeak
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
tNo edit summary |
No edit summary |
||
1. lerroa:
[[Fitxategi:Sintay.svg|thumb|<small>Seriearen elementu kopurua igo ahala, jatorrizko funtzioari hurbiltzen zaio Taylorren seriea. Irudian, x=0 puntuan zentraturiko Taylor seriea dugu, f(x)=<span style="color:#333333">sin(x) funtzioarentzat ('''beltzez'''). Polinomioaren graduak edo (n) kolorez adieraziak dira</span> <span style="color:red">1</span>, <span style="color:orange">3</span>, <span style="color:yellow">5</span>, <span style="color:green">7</span>, <span style="color:blue">9</span>, <span style="color:indigo">11</span> eta <span style="color:violet">13</span> balioentzat.</small>]]
[[Matematika]]n, '''Taylor seriea''' funtzio baten [[serie (argipena)|serie]] bidezko garapen bat da. Taylorren serieak berretura-serie bat erabiltzen du funtzio baten baliokide bat lortzeko, a puntuaren ingurunean. Honako itxura du:
<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n},</math>
non
''f(x)'' hurbilpena lortu nahi den jatorrizko funtzioa den,
<math>a=0\,</math> balioetarako, garapenari '''MacLaurinen serie''' deritzo.▼
''a'' hurbilpen hori lortu nahi deneko ingurunea den,
Taylorren seriea funtzio baten ''x'' puntuan hartzen duen balioa hurbiltzeko erabil daiteke, seriearen batugai zenbait bakarrik erabiltzen direnean. Era honetan, errore bat sortzen da, funtzioaren balioarekin bat datorren seriea ez baita modu osotuan garatzen:▼
''f<sup>(n)</sup>(a)'' jatorrizko funtzioaren deribatuaren balioa den, a puntuan.
▲<math>a=0\,</math> balioetarako, garapenari '''MacLaurinen serie''' deritzo.
== Taylor serie bidezko hurbilpena ==
▲
:<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x), </math>
Orokorrean, zenbat eta batugai gehiago, hobea izango da Taylor seriearen bidezko hurbilketa, eta txikiagoa ''R<sub>n</sub>(x),'' edo sortuko den errorea.
<math>R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x^*)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}</math>, sortzen den errore edo hondarra
== Funtzio analitikoak ==
▲<math>R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x^*)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}</math>, sortzen den errore edo hondarra izanik <math>a<x^*<x\,</math> betetzen bada<ref>{{en}} [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html Taylor series], ''mathworld.wolfram.com'' webgunean. 2010-04-08an kontsultatua.</ref>, [[Lagrangeren hondar]]ra alegia.
Funtzio bat eta dagokion Taylor seriea [[Serie konbergente|konbergenteak]] direnean, jatorrizko funtzioa [[Funtzio analitiko|funtzio analitikoa]] dela esaten da. Beste hitz batzuetan, funtzio analitiko bat eta bere Taylor serieak balio berak emango lituzke funtzio hori definitua den tartean.
== Serie
=== Funtzio esponentzialaren
<math>e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots= \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}. </math>
<math>\ln(x) = 2\sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1} </math>
=== Funtzio trigonometrikoen serieak ===
<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x</math>
<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x</math>
<math>\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ non } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>
Non ''B<sub>s</sub>'' [[Bernoulliren zenbaki|Bernouilliren zenbakiak]] diren.
== Erabilerak ==
Taylor serieak erabiltzeak abantaila edo erraztasun batzuk eskein ditzake. Alde batetik, Taylor seriea [[Funtzio polinomiko|funtzio polinomikoa]] izanik, honen [[Deribatu|deribatze]] eta [[Integral|integratzea]] askoz errazagoa da. Horrek, gainera, [[Optimizazio (matematika)|optimizazio problemak]] ebaztea ere errazten du. Bestetik, askotan Taylor seriearen balioa bera kalkulatzea azkarragoa da eta hurbilpen onak kalkulatzeko bidea ematen du. Eta orokorrean, limiteen, konbergentziaren, integralen eta abarren estimazioak egiteko bide azkar bat ematen dute Taylor serieek.
== Erreferentziak ==
| |||