Logika lauso: berrikuspenen arteko aldeak

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
t Robota: Aldaketa kosmetikoak
t Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap
10. lerroa:
Bi egia-balioko logika klasikoa era ezberdinetan zabaldu ahal da hiru egia-balioko logika ezberdinetara. Gaur egun ondo finkatutako hainbat hiru egia-balioko logikak daude. Logika hauetan normalean proposizioen egiazkotasuna, faltsutasuna eta zehaztugabetasuna urrenez urren 1, 0 eta ½ egia-balioekin adierazten dira, eta <math>p</math> proposizio baten ezeztapena <math>\bar{p} = 1-p</math> eran definitzea ere arrunta da; <math>\bar{1} = 0</math>, <math>\bar{0} =1</math> eta <math>\bar{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{1}{2}</math> izanik. Hiru balioko logika ezberdinen beste funtzio primitiboak, aldiz, ez dira berdinak logika guztietan.
 
Hurrengo taulan ezagunenak diren hiru egia-balioko lau logiken <math>\andland </math>, <math>\orlor </math> , <math>\to </math> eta <math>\leftrightarrow </math> lau funtzio primitiboak agertzen dira, logika horiek asmatu zituzten pertsonen izenez identifikatuta.
 
 
{| class="wikitable"
!p q
!Łukasiewicz<br/><math>\andland \quad \orlor \quad \to \quad \leftrightarrow </math>
!Bochvar<br/><math>\andland \quad \orlor \quad \to \quad \leftrightarrow </math>
!Kleene<br/><math>\andland \quad \orlor \quad \to \quad \leftrightarrow </math>
!Heyting<br/><math>\andland \quad \orlor \quad \to \quad \leftrightarrow </math>
|- align="center"
| 0 0<br/>0 ½<br/>0 1<br/>
41. lerroa:
Taulan ikus daiteke hiru egia-balioko logika guzti horien funtzioen emaitzak eta bi egia-balioko logika klasikoarenak berberak direla eragigaien egia-balioak 0 eta 1 direnean.
 
Hala baina, aurkeztutako bost logiketan ez dira betetzen beti logika klasikoaren propietate guztiak; adibidez, goiko taula aztertuz ikus daiteke [[kontraesanaren legea]] <math>(a\andland \bar{a}=0) </math> ez dela betetzen a aldagaiaren balioa ½ denean.
 
Bi egia-balioko logika klasikoan [[tautologia]] deitzen zaie euretan agertzen diren aldagai logikoek edozein egia-balioa badute ere beti egiazko emaitza (1 egia-balioa) ematen duten formula logikoei, eta kontraesana beti emaitza faltsua (0 egia-balioa) ematen dutenei.
 
Esate baterako, bi egia-balioko logika klasikoan <math>(p\andland (p\to q))\to q</math> tautologia bat da, ''modus ponens'' izenekoa; hurrengo taulan ikusi ahal den legez bere emaitza beti 1 delako.
 
{| class="wikitable"
!p q
!<math>(p\to q)</math>
!<math>(p\andland (p\to q))</math>
!<math>(p\andland (p\to q))\to q</math>
|- align="center"
| 0 0<br/>0 1<br/>1 0<br/>1 1
61. lerroa:
Hona hemen, berarekin batera, bi egia-balioko logika klasikoaren beste tautologia ezagun pare bat:
 
<math>(p\andland (p \to q)) \to q\;\;\;\;\;\;\;</math> ([[modus ponendo ponens|modus ponens]])
 
<math>(\bar{q} \andland (p\to q )) \to \bar{p}\;\;\;\;\;\;\;</math> ([[modus tollendo tollens|modus tollens]])
 
<math>((p \to q) \andland (q \to r)) \to (p \to r)\;\;\;\;\;\;\;</math> ([[silogismo|silogismo hipotetikoa]])
 
 
94. lerroa:
<math> \bar{a} = 1 -a</math>
 
<math> a \andland b = min(a,b)</math>
 
<math> a \orlor b = max(a,b)</math>
 
<math> a \to b = min(1,1+b-a)</math>
104. lerroa:
Berez, Łukasiewicz-ek ukazioa eta inplikazioa bakarrik hartu zituen oinarrikotzat, beste hirurak haren bidez definituz; honela:
 
<math> a \orlor b = (a \to b) \to b</math>
 
<math> a \andland b = \overline{\bar{a} \orlor \bar{b}}</math>
 
<math> a \leftrightarrow b = ( a \to b) \andland ( b \to a)</math>
 
Erraz ikus daiteke <math>n</math> 2 denean formula hauen bidez lortzen diren balioak bi egia-balioko logika arruntaren balioak direla, eta 3 denean ''Łukasiewicz-en hiru egia-balioko logika''renak.
131. lerroa:
|- align="center"
| <math>\mathcal{P}(X)</math><br/> <math>\cup</math><br/> <math>\cap</math><br/> <math>-</math><br/> <math>X</math><br/> <math>\varnothing</math><br/> <math>\subseteq</math><br/>
| <math>\mathcal{F}(V)</math><br/> <math>\orlor</math><br/> <math>\andland</math><br/> <math>\lnot</math><br/> <math>1</math><br/> <math>0</math><br/> <math>\to</math><br/>
|}