Koaternioi: berrikuspenen arteko aldeak

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
Xabi22 (eztabaida | ekarpenak)
No edit summary
t Robota: Aldaketa kosmetikoak
1. lerroa:
{{Zenbakiak}}
'''Koaternioiak''' [[Zenbakizenbaki konplexu|zenbaki konplexuen]]en hedadura dira. Koaternioien multzoak, <math>\mathbf{H}</math> multzoak, lau dimentsioetako [[Bektorebektore espazio|bektore espazioa]]a osatzen du, multzo hau <math>\mathbf{R}^4</math> multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako [[Bektorebektore espazio|bektore espazioa]]a osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa <math>\mathbf{R}^4</math> espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere <math>\mathbf{R}^4</math> espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko [[Oinarri|oinarriaoinarri]]a behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, ''i'', ''j'', eta ''k'' izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta <math>\mathbf{R}^4</math>, hau da, edozein koaternioi ''a''1 + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta '''1, i''', '''j''' eta '''''k''''' oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, '''1''' elementua, [[Elementu neutro|elementu neutroaneutro]]a da eta edozein elementuri '''1''' elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen.
 
Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte:
6. lerroa:
<math>\mathbf{i i = j j = k k = i j k = -1}</math>.
 
Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, '''ijk=-1''' ekuazioari bi aldeetan '''''k''''' biderkatuz '''ijkk =-1k''' lortuko genuke, baina '''kk =-1''' denez, '''-ij =-k''' bezala adieraz genezake, edo beste era batera, '''ij = k'''.
 
Laburbilduta, [[biderketa]]-taula hau betetzen dute:
35. lerroa:
Aipatzekoa da biderketa ez dela [[Trukakortasun|trukakorra]]. [[Banakortasun|Banakortasun legeari]] esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu:
 
''(a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>''i'' + ''c''<sub>1</sub>''j'' + ''d''<sub>1</sub>''k'' ).(''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>''i'' + ''c''<sub>2</sub>''j'' + ''d''<sub>2</sub>''k'') =
 
''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> + ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub>''i'' + ''a''<sub>1</sub>''c''<sub>2</sub>''j'' + ''a''<sub>1</sub> ''d''<sub>2</sub>''k + b<sub>1</sub>a<sub>2</sub>i + b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>ii + b<sub>1</sub>c<sub>2</sub>ij + b<sub>1</sub>d<sub>2</sub>ik + ''c<sub>1</sub>a<sub>2</sub>j + c<sub>1</sub>b<sub>2</sub>ji + c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>jj + c<sub>1</sub>d<sub>2</sub>jk + d<sub>1</sub>a<sub>2</sub>k + d<sub>1</sub>b<sub>2</sub>ki + d<sub>1</sub>c<sub>2</sub>kj + d<sub>1</sub>d<sub>2</sub>kk
 
Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz,
 
''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> - ''b<sub>1</sub>b<sub>2</sub> - c<sub>1</sub>c<sub>2</sub> - d<sub>1</sub>d<sub>2</sub> +'' ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub>''i'' + ''b<sub>1</sub>a<sub>2</sub>i +'' c<sub>1</sub>d<sub>2</sub>i - ''d<sub>1</sub>c<sub>2</sub>i '' + ''a''<sub>1</sub>''c''<sub>2</sub>''j'' ''+ ''c<sub>1</sub>a<sub>2</sub>j ''- b<sub>1</sub>d<sub>2</sub>''j + d<sub>1</sub>b<sub>2</sub>j + ''a''<sub>1</sub> ''d''<sub>2</sub>''k + d<sub>1</sub>a<sub>2</sub>k + b<sub>1</sub>c<sub>2</sub>k ''- c<sub>1</sub>b<sub>2</sub>k
 
azkenik, [[elkartze-lege|elkartze-legeari]]ari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du:
 
''(a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> - ''(b<sub>1</sub>b<sub>2</sub> + c<sub>1</sub>c<sub>2</sub> + d<sub>1</sub>d<sub>2</sub>)) '''1''' +'' (''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> + ''b<sub>1</sub>a<sub>2</sub> +'' c<sub>1</sub>d<sub>2</sub> - ''d<sub>1</sub>c<sub>2</sub>) '''i''' '' + (''a''<sub>1</sub>''c''<sub>2</sub> ''+ ''c<sub>1</sub>a<sub>2</sub> ''- b<sub>1</sub>d<sub>2</sub>'' + d<sub>1</sub>b<sub>2</sub>) '''j''' + (''a''<sub>1</sub> ''d''<sub>2</sub> ''+ d<sub>1</sub>a<sub>2</sub> + b<sub>1</sub>c<sub>2</sub> ''- c<sub>1</sub>b<sub>2</sub>) '''k'''
 
Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia,
59. lerroa:
<math>(r_1,\ \vec{v}_1) (r_2,\ \vec{v}_2) = (r_1 r_2 - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2, r_1\vec{v}_2+r_2\vec{v}_1 + \vec{v}_1\times\vec{v}_2)</math>
 
non "'''·'''" biderketa eskalarra den eta and "'''×'''" bektore biderketa den.
 
q koaternioiaren norma honela definitzen da:
68. lerroa:
 
{{Zenbakien sailkapena aurkibidea}}
 
[[Kategoria:Zenbakiak]]