«Funtzio harmoniko»: berrikuspenen arteko aldeak

t
Robota: Aldaketa kosmetikoak
Etiketa: 2017 wikitestu editorearekin
t (Robota: Aldaketa kosmetikoak)
[[Fitxategi:Laplace's equation on an annulus.svg|thumb|357x357px]]
[[Matematika|Matematikan]]n, n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio baldin eta bi baldintza hauek betetzen baditu:
 
# D-ren gainean lehenengo eta bigarren ordenako [[Deribatu|deribatuakderibatu]]ak jarraituak izatea .
# [[Laplace-ren ekuazioa]] betetzea.
 
Hau da,
 
 
''Harmoniko'' terminoa [[Mugimendu harmonikoa|mugimendu harmoniko]]<nowiki/>tik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioei deritze. Mugimendu harmonikoaren ekuazio diferentzialaren soluzioa [[sinu]]<nowiki/>en eta [[kosinu]]<nowiki/>en funtzioekin idatz daiteke; horren ondorioz, [[funtzio trigonometriko]] horiei harmonikoak deitzen zaie. Modu berdintsuan, baina dimentsio handiagoetan (hau da, 2 dimentsiotan ez baizik 3tan), uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak [[harmoniko esferiko]]<nowiki/>en funtzioak izango dira. Harmoniko esferikoak funtzio harmonikoek definitzen dituzten bi baldintzak betetzen dituztenez, baldintza horiek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.
[[Fitxategi:Rotating spherical harmonics.gif|thumb|Harmoniko esferikoen irudikapena.]]
 
=== Bi aldagaiko funtzio harmonikoak ===
 
* Edozein [[Funtziofuntzio holomorfo|funtzio holomorforen]]ren parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira.
* <math>R^2-{0}</math> eremuan definituta dagoen <math>f(x,y)=ln(x^2 + y^2)^{1/2}</math> funtzioa harmonikoa da.
 
== Analisi konplexuarekiko loturak ==
(ikusi: [[analisi konplexua]])
 
Edozein funtzio holomorforen parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira. Horren ondorio zuzena da edozein funtzio holomorfok [[Cauchy-Riemann-en ekuazioak]] betetzen dituela. Egoera horretan, harmoniko konjokatuak direla esaten da.
 
== Funtzio harmonikoen propietateak ==
Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondoriozta daitezke.
 
=== Funtzio harmonikoen erregulartasunaren teorema ===
Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:
 
Izan bitez <math>K</math> <math>D</math>-ren edozein azpimultzo trinko eta <math>f</math> edozein funtzio harmoniko. Orduan, <math>f</math> funtzioak bere maximo eta minimoak <math>K</math>-ren mugan izango ditu.
 
Gainera, <math>D</math> konexua bada, <math>f</math>-k ezin du maximo edo minimo lokalik eduki, <math>f</math> funtzio konstantea ez den bitartean.
 
=== Batezbesteko aritmetikoaren teorema ===
Izan bitez <math>B(x,r)\subset D</math> (zentroa <math>x</math>puntuan eta erradioa <math>r</math>luzerakoa dituen eta <math>D</math>-n sartuta dagoen bola) eta f funtzio harmonikoa. Orduan, f(x) funtzioak bolaren zentroan hartzen duen balioa, f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen batezbestekotik abiatuta zehaztu daiteke:
<math>
non <math>\omega_n</math>aldagaia unitate bateko erradioa daukan bolaren azalera den.
=== Liouville-ren teorema ===
Baldin eta f funtzio harmonikoa '''R'''<sup>''n''</sup> osoan definituta eta bornatua badago, orduan funtzio konstantea da f.
 
== Orokortzeak ==
Funtzio harmonikoak zorizko [[Riemannen gainazala|Riemann-en gainazal]] batean defini daitezke, [[Laplace-Beltrami-ren eragilea]] Δ erabiliz. Testuinguru horretan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu: <math>\ \Delta f = 0.</math>
== Ikus, gainera ==
* [[Laplace-ren ekuazioa|'''Laplace-ren ekuazioa''']]
* [[Beroaren ekuazioa|'''Beroaren ekuazioa''']]
 
== Erreferentziak ==
* L.C. Evans, 1998. ''Partial Differential Equations''. American Mathematical Society.
* D. Gilbarg, N. Trudinger ''Elliptic Partial Differential Equations of Second Order''. ISBN 3-540-41160-7.
* Q. Han, F. Lin, 2000, ''Elliptic Partial Differential Equations'', American Mathematical Society