Fermaten azken teorema: berrikuspenen arteko aldeak

'''Fermaten azken teorema''' [[zenbakien teoria]]ren [[teorema]]rik ospetsuenetako bat da. Era honetan adierazi zuen [[Pierre de Fermat]] [[XVII. mende]]ko [[frantziar]] matematikariak:<ref name="elhuyar2">{{erreferentzia|izena= |abizena= | url= http://aldizkaria.elhuyar.eus/albisteak/fermat-enak-berea-egin-du/ |izenburua= Fermat-enak berea egin du |argitaletxea= ''elhuyar zientzia eta teknologia'', CC-BY-SA 3.0 lizentzia, aldizkaria.elhuyar.eus | sartze-data=2018-3-6}}</ref>

Aurreko hau Fermatek [[Diofanto]] greziarraren ''Arithmetica'' liburuaren ertz batean idatzi zuen eta, aldi berean, frogapena bertan kabitzen ez zitzaiola ere esan zuen. Hirurehun urte luzez matematikari asko saiatu zen baieztapen hori frogatzen. Nahiz eta teoria matematiko ederrak eraiki, ez zen erabateko frogapenik lortu, emaitza partzialak baizik. Azkenik, [[1994]]an, [[Andrew Wiles]] matematikari ingelesak erakutsi zuen teoremaren frogapena, eta [[1995]]ean argitaratu zuen. Wilesek ez zuen zuzenean Fermaten teorema frogatu, [[Taniyama-Shimura-Weilen aierua]] baizik; duela urte batzuk Fermaten teorema aieru horren ondorio zela ikusi baitzen. Emaitza denbora luzez gorde zuen isilpean, ongi egiaztatu gabe kaleratu nahi izan ez zuelako.<ref name="elhuyar2"></ref>

[[III. mende]]an [[Alexandria]]n bizi zen [[Diofanto]] matematikariak idatzi zituen liburu batzuetan biltzen zen grekoek aritmetikaz zuten ezagutza. Liburu horiek [[arabiera]]ra itzuli ziren eta arabiarren matematikan nabaria izan zen beren eragina. [[Erdi Aroa]]n, [[mendebaldeko Europa]]ra heldu zirenean, jatorrizko hamalautik sei besterik ez ziren gelditzen. Galduta zeuden zazpi liburuetatik lau [[Iran]]go [[Maxhad]]en aurkitu dituzte oraintsu, [[1971]]. urtean, arabierazko itzulpenean.<ref name="elhuyar">{{erreferentzia|izena= Javier |abizena= Duoandikoetxea Zuazo | url= http://aldizkaria.elhuyar.eus/erreportajeak/fermat-en-azken-teoremaren-inguruan/ |izenburua= Fermat-en azken teoremaren inguruan |argitaletxea= ''elhuyar zientzia eta teknologia'', CC-BY-SA 3.0 lizentzia, aldizkaria.elhuyar.eus | sartze-data=2018-3-5}}</ref>

[[Fitxategi:Pierre de Fermat.jpg|thumb|200px|leftezkerrera|[[Pierre de Fermat]].]]

Aspaldiko sei haiek [[1621]]. urtean eman zituen argitara [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet de MéziriacMéziriacek]]ek, grekoari [[latin]]ezko itzulpena eta iruzkinak erantsiz. Hauxe izan zen Fermatentzat [[zenbakien teoria]]ko emaitzen iturri nagusia. Hain zuzen, liburuan bertan idazten zituen Fermatek bere ohar eta iruzkinak eta hil eta gero semeak hartu zuen Diofantoren ''Arithmetica'' aitak eginiko oharrekin argitaratzeko ardura.<ref name="elhuyar"></ref>

Dagokigun problemari lehen aztarnak [[hiruko pitagoriko]]etan aurkituko dizkiogu, hau da, <math> a^2+b^2 = c^2 </math> ekuazioa betetzen duten zenbaki osoen kalkuluan. Adibidez, (3, 4, 5) edo (5, 12, 13). Lan pixka batekin, denak ematen dituen formula bat ere lor daiteke. Fermatek galdera orokortu eta karratuen lekuan beste edozein berretzaile erabiltzea proposatu zuen. Eta aipatu dugun ''Arithmetica'' liburuaren ertz batean hauxe idatzi zuen: ''“Ezinezkoa da kubo bat bi kubotan banatzea, eta bikoadratu bat bi bikoadratutan edo, oro har, karratua ez den beste edozein berredura, berretzaile bereko bi berreduratan. Honen frogapen benetan zoragarria aurkitu dut, baina orrialde-ertz hau txikiegia da bertan sartzeko”''. Hau da, <math> x^n + y^n = z^n</math> ekuazioak ez duela ebazpen oso positiborik, n bi baino handiagoa denean, aldarrikatu zuen Fermatek.<ref name="elhuyar"></ref>

Frogapenik gabe utzi zizkigun beste emaitza batzuetan hauxe bakarrik gelditu zen frogatu ezinik handik urte batzuetara, eta horrexegatik esaten zaio Fermaten azken teorema , berez frogatu gabeko emaitzak teorema izena merezi ez badu ere. Gaur egun ez du inork sinesten Fermaten emaitza honek frogapena zuenik. Eskutitzetan n = 3 kasua bakarrik aipatu zuen, eta n = 4 kasua beste problema baterako erabili zuen metodoak ebazten du. Baliteke bi hauetatik orokortzea posible zela uste izatea edo beste akatsen bat egitea, baina ez dago hori zehazteko modurik.<ref name="elhuyar"></ref>

[[XIX. mende]]aren hasieran n = 3 eta n = 4 kasuak bakarrik ziren ezagunak. [[Adrien-Marie Legendre|Legendrek]] [[1825]]ean lortu zuen n = 5erako erantzuna, eta [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichletek]], kasu horretarako beste frogapen bat eman ondoren, n = 7 kasua aztertu zuen. Hau frogatu ezinik, n = 14 ebatzi zuen [[1832]]an eta, zazpi urte geroago, [[Gabriel Lamé|Laméren]] eskutik etorri zen n = 7rentzako erantzuna. Bitartean, Frantziako Akademiak sari bat eskaini zuen frogapen osoa ematearen truke.<ref name="elhuyar"></ref>

[[Fitxategi:Ernst_Eduard_Kummer.jpg|thumb|180px|righteskuinera|[[Ernst Kummer]].]]

Benetako aurrerapena [[1844]]-47 bitartean heldu zen [[Ernst Kummer]]ren lanarekin. Honek zenbaki oso ziklotomikoak estudiatu zituen. Zenbaki hauek, ohiko [[zenbaki oso|osoak]] bezala, [[zenbaki lehen]]etan faktoriza daitezke baina, ohikoekin ez bezala, kasu batzuetan faktorizazio bat baino gehiago egon daiteke zenbaki berarentzat. Ez zen hasieran arazo honetaz konturatu eta oker batzuk egin zituen, baina gero konpontzeko zenbaki idealen teoria sortu zuen alde batetik, eta klase gorputzak bestetik. Faktorizazioa zein ''txarra'' izan daitekeen neurtzeko, klase-kopurua delako kontzeptua sartu zuen.<ref name="elhuyar"></ref>

Honekin lotuta, zenbaki lehen erregularrak definitu zituen eta hauentzat Fermaten azken teorema egia dela frogatu ere egin zuen. Zenbaki hauek ezagutzeko irizpide bat erakutsi zuen eta 100dik beherako zenbaki lehenetatik 37, 59 eta 67 bakarrik dira irregularrak. Bat-batean ikaragarrizko aurrerapena eragin zuen Kummerren berrikuntzak. [[1850]]ean Frantziako Akademiak bigarrenez saria eskaini zuen arren, handik urte batzuetara kendu eta sari nagusiko urrezko domina Kummerri ematea erabaki zuten, [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchyk]] proposatu bezala. Ehunen azpitik falta ziren kasuak aztertzeko metodoak garatu zituen gero Kummerrek, baina XX. mendearen hasieran [[Harry Vandiver]]rek bete zituen hark utzitako zuloak.<ref name="elhuyar"></ref>

[[XX. mende]]aren hasieran, [[1905]]ean, [[Göttingen]]go Zientzi Elkarteko [[Paul Wolfskehl]]ek ehun mila marko eskaini zituen frogapena emango zuen lehenengoarentzat. Diruaren hotsak matematikari profesionalak ezezik, zaleak ere atera zituen plazara eta ehundaka ustezko ebazpen heldu zitzaizkien. Denak alferrik, ordea. Sariaren balioa oso murriztuta gelditu zen markoaren debaluazioak medio, baina badaude diru-saririk gabe ere bitarteko erabat elementalekin frogapena egin dutela uste dutenak.<ref name="elhuyar"></ref>

[[Ordenadore]]en kalkulu-ahalmena handiagotu zen neurrian n-ren balio berezientzat egiaztapenak egitea posible izan zen. Horrek ezin du inola ere teorema osoa frogatu, baina n = 4.000.000ren azpitik egia dela jakiteak (horretara heldu ziren [[1993]]an) nekez utz zezakeen aurkakoa sinesteko zirrikiturik. Hala ere, matematikan frogapenak behar dira. Geometria algebraikoaren garapenak ekarri zuen estrategia aldaketa Fermaten azken teoremari dagokionez. Kurba eta gainazalen estudioetan agertu ziren problema batzuk Fermaten teoremarekin erlaziona zitezkeen. Hiru alorretan (geometria diofantikoan, gainazal aritmetikoetan eta kurba eliptikoetan) proposatu ziren [[aieru (zientzia)|aieruetako]] batzuetatik berehala ondorioztatzen zen Fermatena.<ref name="elhuyar"></ref>

[[1983]]. urtean, [[Gerd Faltings]] alemaniarrak, [[Louis J. Mordell|Mordellek]] hirurogei urte lehenago proposatutako aieru bat frogatu zuen eta, ondorioz, <math> x^n + y^n = z^n</math> ekuazioak n bakoitzeko “benetan” desberdin diren soluzioen kopurua finitua dela, n Ž 3 denean. Hona zer esan nahi dugun “benetan” desberdinak horrekin. (3, 4, 5) hirukoteak <math>x^2 + y^2 = z^2</math> ekuazioa betetzen badu, bistan da (6, 8, 10), (9, 12, 15) eta, oro har, edozein multiplok ere betetzen duela. Horiek denak ebazpen berdintzat jo ditzakegu. Baina (5, 12, 13) eta (7, 24, 25) hirukoteak ere ebazpenak dira eta ez dira berdinak. Eta erraz ikus daiteke n = 2 kasuan ebazpen desberdinak infinitu direla. [[Faltingsen teorema]]ren arabera ez da hori gertatzen n Ž 3 denean. Bat ere ez dagoela frogatzea da helburua, baina bitartean aurrerapauso sakona izan zen hura. Mordellena ezezik, beste bi aieru nagusi ebatzi zituen Faltingsek, eta [[Fields domina]] irabazi zuen [[1986]]an horiei esker. Bestetik, [[Yoichi Miyaoka]]k gainazal aritmetikoekin erlazioa duen desberdintza bat aldarrikatu zuen (Bogomolov-Miyaoka-Yau esaten zaio desberdintzari). Egia izan balitz, n-ren balio finko batetik gorakoentzat bederen Fermaten azken teorema betetzen dela ondorioztatuko zatekeen, baina akats bat aurkitu zioten frogapenari eta bere horretan gelditu zen.<ref name="elhuyar"></ref>

[[Fitxategi:Andrew wiles1-3.jpg|thumb|righteskuinera|200px|[[Andrew Wiles]].]]

[[1955]]ean, [[Yukata Taniyama]] japoniar matematikariak aieru bat proposatu eta hurrengo hamarkadan [[Goro Shimura]]k zehaztu zuen. Algebrarien terminologian hauxe dio: ''“Zenbaki razionalen gaineko edozein kurba eliptiko, modularra da”''. Urte askotan inori ez zitzaion bururatu aieru horrek Fermaten teoremarekin zerikusia izan zezakeenik, harik eta [[Gerhard Frey]] alemaniarrak [[1985]]ean Taniyama-Shimura aierua Fermaten teorema baino gogorragoa zela esan zuen arte, hau da, lehenengoaren frogapenak bigarrena zekarrela berarekin adierazi arte. Ez zen zehazteko gauza izan, baina hurrengo urteetan [[Jean Pierre Serre]]k bideratu eta [[Kenneth Ribet]]ek bukatu zuen lanarekin Frey zuzen zegoela argi gelditu zen.<ref name="elhuyar"></ref>

10 urte zituenean aurkitu zuen [[Andrew Wiles]]ek Fermaten azken teoremari buruzko liburu bat herriko liburutegian. Harriturik geratu omen zen, 300 urte pasata, artean ebatzi gabe zegoelako. Haren esanetan, une hartatik jakin zuen ez ziola ihes egiten utziko, eta ebatzi egin behar zuela. Urte luzez aritu behar izan zuen, ordea, teorema ebazten.<ref name="elhuyar3">{{erreferentzia|izena= Aitziber |abizena= Agirre Ruiz de Arkaute | url= http://aldizkaria.elhuyar.eus/albisteak/andrew-j-wiles-matematikariak-2016ko-abel-saria-ja/ |izenburua= Andrew J. Wiles matematikariak 2016ko Abel Saria jaso du Norvegian |argitaletxea= ''elhuyar zientzia eta teknologia'', CC-BY-SA 3.0 lizentzia, aldizkaria.elhuyar.eus | sartze-data=2018-3-7}}</ref> [[1987]]tik aurrera, Taniyama-Shimuraren aierua izan zen Wilesen lanaren helburua. Kasurik orokorrena frogatu ez arren, kurba askotarako egiaztatzea lortu omen zuen, eta horietan zeuden Fermaten teorema erabakita uzten zutenak. Adituen esanetan, frogapenak sinesgarritasun handia zuen eta horregatik zabaldu zen berria munduan zehar. Ohi den bezala, argitaratu aurretik lana aditu batzuen esku gelditu zen hauek onespena eman zezaten. Handik hilabete batzuetara, zerbait oker zegoela hasi zen entzuten. Gauzak argitu nahian, Wilesek berak ohar bat kaleratu zuen [[1993]]ko abenduan, eta honakoa aitortu zuen: bere eskuizkribuan berrikuste-lanetan osatu beharreko puntu batzuk aurkitu zituztela eta gehienak konpondu zituela ere bai; bakar batek, hala ere, ihes egin ziola, eta horrek eskatzen zuen kalkulua menperatu arte bere lana amaitutzat ezin eman zezakeela. Hilabete batzuk geroago, azken arazo hori ere konpondu zuten.<ref name="elhuyar"></ref>