Aritmetikaren oinarrizko teorema: berrikuspenen arteko aldeak

Ez da existitzen 1200en zenbaki lehenen bitarteko beste faktorizaziorik. Biderkaketa [[Trukakortasun|trukakorra]] denez, faktoreen ordena garrantzirik gabekoa da, hau da, berdin dio eragiketa zer ordenetan egiten den, emaitza beti berbera izango delada.

P1 p2... PkaPk lehenak dira eta αi positibo osoak dira.

Zenbaki baten faktorizazioa ezagutzeak zenbaki horren zatitzaile guztiak erakusten dizkigu, lehenak eta konposatuak. Adibidez, 6936 =23⋅ <math> 2^3 ⋅\cdot 1723 \cdot {17}^2 </math> kontuan izanik, badakigu, 6936 en edozein zatitzaile positibok honako forma izan behar duela: <math> 2^a \cdot 3^b \cdot {17}^c </math> non 0 ≤ a ≤ 3 (4 balio posible), 0 ≤ b ≤ 1 (2 balio posible) eta 0 ≤ c ≤ 2 (3 balio posible). Balio posibleen arteko biderketa eginez zatitzaile posibleen kopurua lor dezakegu.: 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 zatitzaile posible. Azkeneko hori aintzat hartuz, [[Multiplo komun txikien|mkt]] multiplo komunetan txikiena eta [[Zatitzaile komun handien|zkh]] zatitzaile komun handiena lortzea erreza da. Adibidez, lehengo faktorizazioak hartuz gero, 1200 eta 6936, jakin daiteke beraien arteko zkh 23⋅ 3=24dela. Dena dela, ez badakigu zein den zenbakien faktorizazioa, [[Euklidesen algoritmo]]a erabiltzea errazagoa da bi zenbakiak faktorizatzea baino.

Demagun, zenbaki oso bat (gutxienez) bi modu ezberdinetan faktoriza daitekeela. Beraz, zenbaki oso minimo batek existitu behar du S propietate hori duena. Izan bitez P1..PM eta Q1..QN S-ren bi faktorizazio ezberdin. Pi (non 1 ≤ i ≤ m) balioek ezin dute Qj (connon 1 ≤ j ≤ n)-ren berdinak izan, bestela S bainabaino txikiagoa den zenbaki bat existituko litzateke eta zenbaki hori bi modutara faktorizatuko litzateke, lehen egindako suposaketarekin kontraesan batera iritxiz.

Azken adierazpeneko bigarren terminoaterminoak zenbaki oso baten berdina izan behar du (beste terminoak ere osoak baitira), non k izena hartuko duen ; hau da,

Ekuazioko bi aldeetako balioak S bainabaino txikiagoak dira, baina oraindik ez da lehena, hau da, faktorizatu daiteke. R p1 bainabaino txikiagoa denez bi aldeetan lortutako faktorizazioak k eta r zenbaki lehenen produktu gisa ezberdinak izan behar dute. Honek kontraesan batera eramaten gaitu, s ez da zenbaki oso txikiena modu bat bainabaino gehiagotan faktoriza daitekeena. Hori dela eta, hasierako suposizioa gezurra da

Izan bedi n zenbaki osoa, non Zn [[Talde (matematika)|talde]] mugatu bat den eta osaketa serie bat duen. Definizioz, osaketa serie batean faktoreak sinpleak dira ; hortaz, Zn-ren seriean hauek ZP formakoak izan behar dute p lehen batentzat. Zn-ren ordena osaketa serieko faktoreen ordenen biderkadura den bezala, honek n-ren faktorizazio bat ematen du zenbaki lehenetan. Baina Jordan-hölderren teoremak baieztatzen du osaketarenosaketa serie bat bakarra dela, eta hortaz n-ren faktorizazioafaktorizazioak bakarra izan behar du.