17:59, 3 urtarrila 2019ko berrikusketa aldatu TheklanBot (eztabaida \| ekarpenak) Bot-ak, Administratzaileak 2.164.308 edits t Robota: Testu aldaketa automatikoa (-{{HezkuntzaPrograma}} +{{HezkuntzaPrograma\|Matematika}}) ← Aurreko ezberdintasuna		07:24, 18 otsaila 2019ko berrikusketa aldatu desegin TheklanBot (eztabaida \| ekarpenak) Bot-ak, Administratzaileak 2.164.308 edits t Robota: Aldaketa kosmetikoak Hurrengo ezberdintasuna →
1. lerroa: {{HezkuntzaPrograma\|Matematika}} [[~~File~~Fitxategi:Linear_Function_Graph.svg\|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Linear_Function_Graph.svg\|thumb\|220x220px\|Bi ekuazio linealen adierazpen geometrikoa]] '''Ekuazio lineala''' lehen mailako [[Ekuazio\|ekuazio aljebraiko]] bat da non [[~~Ezezagun\|ezezagunen~~ezezagun]]en [[Berreketa\|berretura]]<nowiki/>k bat diren[[Aldagai (matematika)\|. Aldag]]<nowiki/>ai bateko ekuazio linealen adibide sinpleena hau da: <math>ax+b=0</math>, non <math>a</math> eta <math>b</math> konstanteak diren, eta <math>a</math> zeroren desberdina. [[Konstante (matematika)\|Konstante]] horiek hainbat motatakoak izan daitezke: [[~~Zenbaki\|zenbakiak~~zenbaki]]ak, [[Parametro (estatistika)\|parametro]]<nowiki/>ak… Ekuazio linealek aldagai bat baino gehiago izan ditzakete. Adibidez, hiru aldagaiko (<math>x, y</math> eta <math>z</math>) ekuazio lineala honela idatz daiteke: <math>ax+by+cz+d=0</math>, non <math>a, b, c</math> eta <math>d</math> konstanteak diren, eta <math>a, b</math> eta <math>c</math> ez-nuluak. Ekuazio linealak maiz erabiltzen dira Matematikaren hainbat arlotan, bereziki, [[Matematika Aplikatua]]<nowiki/>n. Gainera, [[:en:Category:Physical_phenomena\|fenomeno fisiko]]<nowiki/>ak modelizatzeko erabil daitezke. Izan ere, ekuazio ez-linealak ekuazio linealen bidez hurbil daitezke. Ekuazioa lineala izango da gai bakoitzeko aldagaien berreturen batura 1 bada. Berretura 1 baino handiagoa duten ekuazioei ez-lineal deritze. Adibidez, <math>axy+b=0</math> ekuazioa ez-lineala izango da lehenengo gaiko aldagaien berreturen batura 2 delako ( <math>ax^1y^1 \Rightarrow 1+1=2</math>). Gainera, [[funtzio polinomiko]]<nowiki/>ak ez diren funtzioak <math>(sin(x),cos(x),ln(x),e^x...) </math>dituzten ekuazioak ez-linealak dira. 12. lerroa: Aldagai bakarreko ekuazio linealen forma orokorra hau da: <math>ax+b=0</math>, non <math>a</math> eta <math>b</math> [[~~Zenbaki~~zenbaki erreal~~\|zenbaki errealak~~]]ak diren eta <math>a</math> zeroren desberdina den. Ekuazio lineal orokorraren soluzioa hau da: 20. lerroa: <math>x = \frac{-b}{a}</math>. Edozein beste ekuazio lineal bakandu daiteke aurreko formara, [[~~Aljebra\|aljebraren~~aljebra]]ren oinarrizko legeak aplikatuz. Adibidez, <math>7x + 8 - 3x = -4x + 3</math> ekuazioa oso erraz bakanduko dugu <math>8x + 5 = 0</math> itxurara, eta azken hori forma orokorra da. == Bi aldagaiko ekuazio linealak == 27. lerroa: <math>y = mx + b,\,</math> non <math>m</math> eta <math>b</math> konstanteak diren, eta <math>m</math> zeroren desberdina. Mota honetako ekuazioen soluzioak planoan zuzen baten bidez irudika daitezkeelako esaten zaie ''lineal''. Horregatik, <math>y = mx + b</math> ekuazioan <math>m</math> konstanteak zuzenaren [[Malda (geometria)\|malda]] adierazten du eta, <math>b</math> konstanteak, [[Zuzen (geometria)\|zuzena]]<nowiki/>k <math>y</math> [[Ardatz kartesiar\|ardatz]]<nowiki/>a zein puntutan mozten duen. === Bi aldagaiko ekuazio linealen adierazpen motak === Ekuazio linealak hainbat modutara berridatz daitezke oinarrizko aljebra erabiliz. ==== Forma orokorra (estandarra) ==== 41. lerroa: <math>Ax + By = C, \,</math> non <math>A</math> eta <math>B </math> zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren grafikoa zuzen bat da, eta edozein zuzen aurreko ekuazioaren bidez adieraz daiteke. <math>A</math> zeroren desberdina denean, zuzenak <math>C/A</math> puntuan ebakiko du <math>x</math> ardatza; <math>B </math> zeroren desberdina bada, zuzenak <math>C/B</math> puntuan ebakiko du <math>y</math> ardatza, eta zuzenaren malda <math>-A/B</math> izango da. Batzuetan, ekuazio linealaren forma orokorra honela idazten da: <math>ax + by +c= 0, \,</math> non <math>a</math> eta <math>b </math> zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren adierazpen batetik bestea lor daiteke konstantea mugituz. ==== Malda-intersekzio forma ==== <math>y = mx + b,\,</math> non <math>m</math> konstantea zuzenaren malda den eta <math>b</math> <math>y</math> ardatzaren [[ebaki-puntu]]<nowiki/>a. Hori erraz ikus daiteke: <math>x</math>-ri zero balioa emanez, <math>y=b</math> lortzen da, eta horrek esan nahi du zuzenak <math>y</math> ardatza <math>b</math> puntuan ebakitzen duela. Forma horren bidez, erraz ikus daiteke zuzena gorakorra edo beherakorra den. Zuzena beherakorra da <math>m<0</math> denean, eta gorakorra <math>m>0</math> denean. 59. lerroa: <math>y - y_1 = m( x - x_1 ),\,</math> non <math>m</math> konstantea zuzenaren malda den eta <math>(x_1,y_1)</math> zuzeneko edozein puntu. [[~~File~~Fitxategi:Wiki_slope_in_2d.svg\|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wiki_slope_in_2d.svg\|eskuinera\|thumb\|Zuzen baten malda]] Forma honek erakusten du <math>x</math> ardatzeko bi punturen arteko distantzia <math>(x-x_1)</math> <math>y</math> ardatzeko bi punturen arteko distantziarekiko <math>(y-y_1)</math> [[Proportzionaltasun (matematika)\|proportzional]]<nowiki/>a dela. Porportzionaltasun-konstantea <math>m</math> da (zuzenaren malda). ==== Puntu bikoitzeko forma ==== <math>y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1),\,</math> non <math>(x_1,y_1)</math> eta <math>(x_2,y_2)</math>, <math>x_1 \neq x_2 </math> baldintza betetzen duten zuzeneko bi puntu diren. Puntu bikoitzeko forma puntu-malda formaren baliokidea da, zuzenaren malda <math>\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \,</math>eran emanda baitago. 90. lerroa: <math>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1,\,</math> non <math>a</math> eta <math>b</math> zeroren desberdinak diren. Adierazpen honetatik erraz ondoriozta daiteke zuzenak <math>y</math> ardatza <math>b</math> puntuan ebakiko duela eta <math>x</math> ardatza <math>a</math> puntuan. [[Zuzen ebakitzaile\|Intersekzio]]-forma forma orokor bezala idatz daiteke <math>A/C=1/a</math> eta <math>B/C=1/b</math> aldaketak eginez. [[Jatorri (geometria)\|Jatorri]]<nowiki/>tik igarotzen diren zuzenak, zuzen bertikalak eta zuzen horizontalak ezin dira modu horretan adierazi. ==== Forma matriziala ==== 97. lerroa: <math>\begin{pmatrix} A&B \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}C\end{pmatrix}.</math> Gainera, adierazpen hori ekuazio linealen sistemetara heda daiteke. Adibidez, <math>A_1x + B_1y = C_1,\,</math> <math>A_2x + B_2y = C_2,\,</math> ekuazio-sistema honela laburtu daiteke: <math> 118. lerroa: C_1\\ C_2 \end{pmatrix}.</math> Adierazpen horren bidez erraz alda daiteke dimentsio handiagoetara; horregatik, aljebra linealean eta programazio matematikoan oso ohiko adierazpena da. Ekuazio linealen sistemak ebazteko metodoak, adibidez, [[Gauss-Jordan algoritmo\|Gauss-Jordan metodoa]], matrizeko ilaren arteko eragiketak eginez adieraz daitezke. ==== Forma parametrikoa ==== 127. lerroa: <math>y = V t + W.\,</math> Aldibereko bi ekuazio horiek <math>t</math> parametroaren arabera idatzita daude. Zuzenaren malda <math>V/T</math> izango da, <math>x</math> ardatza <math>(VU-WT)/V</math> puntuan ebakiko du eta <math>y</math> ardatza <math>(WT-VU)/T</math> puntuan. ==== 2 dimentsioko bektorearen determinante-forma ==== 147. lerroa: <math>( x - x_1 )( y_2 - y_1 ) = ( y - y_1 )( x_2 - x_1 ).</math> [[~~File~~Fitxategi:Y_is_b.svg\|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Y_is_b.svg\|thumb\|150x150px\|''Zuzen horizontala, y=b'']] Ekuazioaren bi aldeetan <math>( x_2 - x_1 )</math> gaia biderkatuz puntu bikoitzeko forma lortzen da. ==== Kasu bereziak ==== * <math>y = b\,</math>. Ekuazio hau <math>A=0 </math> eta <math>B=1 </math> direneko forma orokorraren kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda 0 dela esan daiteke; zuzena horizontala izango da eta, ekuazioak dioen bezala, <math>y</math> ardatza <math>b</math> puntuan ebakiko du. <math>b \neq 0 </math> den kasuetan esango dugu zuzenak ez duela <math>x</math> ardatza ebakiko. <math>b=0</math> denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak <math>x</math> ardatzean egongo dira. [[~~File~~Fitxategi:X_is_a.svg\|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:X_is_a.svg\|thumb\|150x150px\|Zuzen bertikala x=a]] * <math>x = a\,</math>.Ekuazio hau <math>A=1 </math> eta <math>B=0 </math> direneko forma orokorraren beste kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda definitu gabea dela esan daiteke; zuzena bertikala izango da eta, <math>a \neq 0 </math> den kasuetan, esan daiteke zuzenak ez duela <math>y</math> ardatza ebakiko. <math>a=0</math> denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak <math>y</math> ardatzean egongo dira. === Funtzio linealekin duten lotura === 171. lerroa: Ekuazio linealek bi aldagai baino gehiago izan ditzakete, eta <math>n</math> aldagaiko edozein ekuazio lineal modu honetan berridatz daiteke: <math>a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b</math>, non <math>a_1,a_2,...,a_n</math>[[Koefiziente (matematika)\|koefiziente]]<nowiki/>ak zenbaki ez-nuluak diren. <math>x_1,x_2,...,x_n</math>aldagaiei [[ezezagun]] deritze eta, b koefizienteari, gai aske. Oro har, hiru aldagai edo gutxiago dituzten ekuazio linealak adierazteko, <math>x</math>, <math>y</math> eta <math>z</math> erabiltzen dira, <math>x_1,x_2</math> eta <math>x_3</math> erabili beharrean. 179. lerroa: Aldagairen baten koefizientea zeroren desberdina izanez gero, posible da aldagai hori bakantzea. Esaterako, <math>i</math>.koefizientea ez-nulua bada, <math>a_i\neq0</math>, ekuazio lineala modu honetan berridatz daiteke: <math>x_i=-\frac{a_1x_1}{ai}-\frac{a_2x_2}{ai}-...-\frac{a_nx_n}{ai}</math>. Hots, koefiziente ez-nulua duen aldagaia ekuazio linealeko beste aldagaien menpe adieraz daiteke. Aldai anitzeko ekuazio linealak [[Geometria\|geometrikoki]] adieraz daitezke, aldagai bakarreko eta bi aldagaiko ekuazioen antzera. <math>n=3</math> denean, soluzio multzoa plano bat da hiru dimentsioko [[espazio bektorial]]<nowiki/>ean; <math>n</math> aldagai daudenean, soluzio multzoa <math>n-1</math> dimentsioko [[hiperplano]]<nowiki/>a da <math>n</math> dimentsioko [[espazio euklidear]]<nowiki/>rean (edo [[espazio afin]]<nowiki/>ean, [[Zenbaki konplexu\|zenbakiak konplexu]]<nowiki/>ak direnean, esaterako).

Ekuazio lineal: berrikuspenen arteko aldeak