Aritmetikaren oinarrizko teorema: berrikuspenen arteko aldeak
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
t Robota: Aldaketa kosmetikoak |
|||
1. lerroa:
[[Matematika]]n, eta bereziki [[zenbakien teoria]]n, '''[[aritmetika]]ren funtsezko teoremak''' esaten du, edozein zenbaki natural hartuz, zenbaki hori zenbaki lehen bat dela edo, bestalde, zenbaki konposatua dela, hau da, [[
▲[[Matematika]]n, eta bereziki [[zenbakien teoria]]n, '''[[aritmetika]]ren funtsezko teoremak''' esaten du, edozein zenbaki natural hartuz, zenbaki hori zenbaki lehen bat dela edo, bestalde, zenbaki konposatua dela, hau da, [[Zenbaki lehen|zenbaki lehenen]] arteko biderkaduraz osatutako zenbakia. Adibidez:
: <math> 6936 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2 \, </math>
25 ⟶ 24 lerroa:
Teoremak zenbaki lehenen garrantzia ezartzen du. Edozein oso positibo adieraz daiteke zenbaki lehenen arteko produktu bezala modu edo adierazpen bakar batean.
Zenbaki baten faktorizazioa ezagutzeak zenbaki horren zatitzaile guztiak erakusten dizkigu, lehenak eta konposatuak. Adibidez, 6936=23⋅ 3 ⋅ 172 kontuan izanik, badakigu, 6936 en edozein zatitzaile positibok honako forma izan behar duela: <math> 2^a \cdot 3^b \cdot {17}^c </math> non
Azkeneko hori aintzat hartuz, [[Multiplo komun txikien|mkt]] multiplo komunetan txikiena eta [[Zatitzaile komun handien|zkh]] zatitzaile komun handiena lortzea erreza da. Adibidez, lehengo faktorizazioak hartuz gero, 1200 eta 6936, jakin daiteke beraien arteko zkh 23⋅ 3=24dela. Dena dela, ez badakigu zein den zenbakien faktorizazioa, [[Euklidesen algoritmo
== Frogapena ==
Teorema hau, lehen aldiz Euklidesek frogatu zuen, nahiz eta lehen frogapen osatua [[Carl Friedrich Gauss]]<nowiki/>en-en [[:es:Disquisitiones_arithmeticae|Disquisitiones Arithmeticae]]-n agertu zen.
42 ⟶ 41 lerroa:
Emaitza bereko zenbaki lehenen bi produktu izanik, lehen produktuko p lehena hartuko dugu.
P-k lehen produktua zatitzen du, eta beraz, bigarrena ere zatitzen du. P-k gutxienez bigarren produktuko faktore bat zatitu behar du; baina faktore guztiak lehenak dira, beraz p bigarren produktuko faktore baten berdina izan behar du. Ondorioz, p kendu daiteke bi produktuetatik. Sistema hau segiz bi produktuetako faktore guztiak kenduko dira.
=== Jaitsiera infinitu bidezko demostrazioa ===
Demagun, zenbaki oso bat (gutxienez) bi modu ezberdinetan faktoriza daitekeela. Beraz, zenbaki oso minimo batek existitu behar du S propietate hori duena. Izan bitez P1..PM eta Q1..QN S-ren bi faktorizazio ezberdin. Pi (non 1 ≤ i ≤ m) balioek ezin
Hori kontuan izanda, suposa daiteke orokortasun galera gabe, p1 faktore lehena dela eta qj (non 1 ≤ j ≤ n) guztiak baina txikiagoa. Beraz, existitzen dira d eta r zenbaki osoak non:
51 ⟶ 50 lerroa:
:</math>
Eta 0<r<p1<q1 (r-k ezin du 0 izan, bestela q1 p1 en multiploa izango litzatekeelako, konposatua izanik). Alde biak S/q1-rekin biderkatuz gero:
:<math>
69 ⟶ 68 lerroa:
:</math>
Ekuazioko bi aldeetako balioak S baina txikiagoak dira, baina oraindik ez da lehena, hau da, faktorizatu daiteke. R p1 baina txikiagoa denez bi aldeetan lortutako faktorizazioak k eta r zenbaki lehenen produktu gisa ezberdinak izan behar dute. Honek kontraesan batera eramaten gaitu, s ez da zenbaki oso txikiena modu bat baina gehiagotan faktoriza daitekeena. Hori dela eta, hasierako suposizioa gezurra da
=== Aljebra abstraktuaren bidezko frogapena ===
96 ⟶ 95 lerroa:
== Ikus, gainera ==
* [[Aljebra|Aljebra funtsezko teorema]]
* [[Kalkuluaren oinarrizko teorema|Kalkuluko funtsezko teorema]]
* [[Zenbaki osoen faktorizazio|Puntuetako faktorizazioa]]
| |||