Aritmetikaren oinarrizko teorema: berrikuspenen arteko aldeak
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
No edit summary |
No edit summary |
||
1. lerroa:
[[Matematika]]n, eta bereziki [[zenbakien teoria]]n, '''[[aritmetika]]ren funtsezko teoremak''' esaten du, edozein zenbaki natural hartuz, zenbaki hori zenbaki lehen bat dela edo, bestalde, zenbaki konposatua dela, hau da, [[Zenbaki lehen|zenbaki lehenen]] arteko biderkaduraz osatutako zenbakia. Adibidez:
: <math> 6936 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2 \, </math>
Ez da existitzen 1200en zenbaki lehenen bitarteko beste faktorizaziorik. Ugalketa [[Trukakortasun|trukakorra]] denez, faktoreen ordena garrantzirik gabekoa da, hau da, berdin dio eragiketa zer ordenetan egiten den, erantzuna beti berbera izango dela.▼
: <math> 1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \, </math>
▲Ez da existitzen 1200en zenbaki lehenen bitarteko beste faktorizaziorik.
== Aplikazioak ==
=== Oso positibo baten ordezkaritza kanonikoa ===
Zenbaki oso positibo guztiak n>1 zenbaki lehenen potentzien arteko produktu bezala adieraz
:<math>
16 ⟶ 21 lerroa:
P1 p2... Pka lehenak dira eta αi positibo osoak dira.
=== Garrantzia ===
Teoremak zenbaki lehenen
Zenbaki baten faktorizazioa ezagutzeak zenbaki horren zatitzaile guztiak erakusten dizkigu, lehenak eta konposatuak. Adibidez, 6936=23⋅ 3 ⋅ 172 kontuan izanik, badakigu, 6936 en edozein zatitzaile positibok honako forma izan behar duela:
Azkeneko hori aintzat hartuz, [[Multiplo komun txikien|mkt]] multiplo komunetan txikiena eta [[Zatitzaile komun handien|zkh]] zatitzaile komun handiena lortzea erreza da. Adibidez, lehengo faktorizazioak hartuz gero, 1200 eta 6936, jakin daiteke beraien arteko zkh 23⋅ 3=24dela. Dena dela, ez badakigu zein den zenbakien faktorizazioa, [[Euklidesen algoritmo|Euklidesen algoritmoa]] erabiltzea errazagoa da bi zenbakiak faktorizatzea baino.
== Frogapena ==
Teorema hau, lehen aldiz Euklidesek frogatu zuen, nahiz eta lehen frogapen osatua [[Carl Friedrich Gauss]]<nowiki/>en-en [[:es:Disquisitiones_arithmeticae|Disquisitiones Arithmeticae]]-n agertu zen.
28 ⟶ 33 lerroa:
==== Lehenetan deskonposatu ====
Kontsideratuko dugu existitzen dela zenbaki oso positibo bat ezin
Zenbaki lehena ez denez, definizioz existitzen da beste zenbaki bat, aurreko zenbakia zatituko duena, eta ez
Beraz, n=ab non a eta b zenbaki oso positiboak diren (n
==== Bakartasuna ====
Bakartasunaren frogapena ondorengo kasuan bermatzen da: p zenbaki lehen batek ab produktu bat zatitzen badu, orduan p-k, a edo b zatitzen du(Euklidesen lema). [[Goiburu|Lema]] hau frogatzeko, suposatzen badugu p-k a ez duela zatitzen,orduan , p eta a lehen erlatiboak dira eta [[Bézouten identitate]]<nowiki/>agatik x eta y osoak existitzen dira non px+ay=1. B-z biderkatuz bpx+aby=b lortzen dugu, eta ezkerreko aldeko bi batugaiak p-z zatitu daitezkeenez eskuineko zatia ere p-z zatitu daiteke.
P-k lehen produktua zatitzen du, eta beraz, bigarrena ere zatitzen du. P-k gutxienez bigarren produktuko faktore bat zatitu behar du; baina faktore guztiak lehenak dira, beraz p bigarren produktuko faktore baten berdina izan behar du. Ondorioz, p kendu daiteke bi produktuetatik. Sistema hau segiz bi produktuetako faktore guztiak kenduko dira.
=== Jaitsiera infinitu bidezko demostrazioa ===
Demagun, zenbaki oso bat (gutxienez) bi modu ezberdinetan faktoriza daitekeela. Beraz, zenbaki oso minimo batek existitu behar du S propietate hori duena. Izan bitez P1..PM eta Q1..QN S-ren bi faktorizazio ezberdin. Pi (non 1 ≤ i ≤ m) balioek ezin dute Qj (con 1 ≤ j ≤ n)-ren berdinak izan, bestela S baina txikiagoa den zenbaki bat existituko litzateke eta zenbaki hori bi modutara faktorizatuko litzateke, lehen egindako suposaketarekin kontraesan batera iritxiz.
Hori kontuan izanda, suposa daiteke orokortasun galera gabe, p1 faktore lehena dela eta qj (non 1 ≤ j ≤ n) guztiak baina txikiagoa. Beraz, existitzen dira d eta r zenbaki osoak non:
46 ⟶ 51 lerroa:
:</math>
Eta 0<r<p1<q1 (r-k ezin du 0 izan, bestela q1 p1 en multiploa izango litzatekeelako, konposatua izanik). Alde biak S/q1-rekin biderkatuz gero:
:<math>
58 ⟶ 63 lerroa:
:</math>
Hau lortzen da,
:<math>
64 ⟶ 69 lerroa:
:</math>
Ekuazioko bi aldeetako balioak S baina txikiagoak dira, baina oraindik ez da lehena, hau da, faktorizatu daiteke. R p1 baina txikiagoa denez bi aldeetan lortutako faktorizazioak k eta r zenbaki lehenen produktu gisa ezberdinak izan behar dute. Honek kontraesan batera eramaten gaitu, s ez da zenbaki oso txikiena modu bat baina gehiagotan faktoriza daitekeena. Hori dela eta, hasierako suposizioa gezurra da
===
Izan bedi n zenbaki osoa, non Zn [[Talde (matematika)|talde]] mugatu bat den eta
== Erreferentziak ==
|