Aritmetikaren oinarrizko teorema: berrikuspenen arteko aldeak

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
No edit summary
No edit summary
1. lerroa:
 
[[Matematika]]n, eta bereziki [[zenbakien teoria]]n, '''[[aritmetika]]ren funtsezko teoremak''' esaten du, edozein zenbaki natural hartuz, zenbaki hori zenbaki lehen bat dela edo, bestalde, zenbaki konposatua dela, hau da, [[Zenbaki lehen|zenbaki lehenen]] arteko biderkaduraz osatutako zenbakia. Adibidez:
 
: <math> 6936 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2 \, </math>
Ez da existitzen 1200en zenbaki lehenen bitarteko beste faktorizaziorik. Ugalketa [[Trukakortasun|trukakorra]] denez, faktoreen ordena garrantzirik gabekoa da, hau da, berdin dio eragiketa zer ordenetan egiten den, erantzuna beti berbera izango dela.
 
: <math> 1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \, </math>
 
Ez da existitzen 1200en zenbaki lehenen bitarteko beste faktorizaziorik. UgalketaBiderkaketa [[Trukakortasun|trukakorra]] denez, faktoreen ordena garrantzirik gabekoa da, hau da, berdin dio eragiketa zer ordenetan egiten den, erantzunaemaitza beti berbera izango dela.
 
== Aplikazioak ==
 
=== Oso positibo baten ordezkaritza kanonikoa ===
Zenbaki oso positibo guztiak n>1 zenbaki lehenen potentzien arteko produktu bezala adieraz daitekedaitezke, eta, adierazpen hori, bat eta bakarra izango da
 
:<math>
16 ⟶ 21 lerroa:
P1 p2... Pka lehenak dira eta αi positibo osoak dira.
 
  Adierazpen honi, adierazpen kanonikoa deritzo 
=== Garrantzia ===
Teoremak zenbaki lehenen arteko garrantzia ezartzen du. Edozein oso positibo adieraz daiteke zenbaki lehenen arteko produktu bezala modu edo adierazpen bakar batean.
 
Zenbaki baten faktorizazioa ezagutzeak zenbaki horren zatitzaile guztiak erakusten dizkigu, lehenak eta konposatuak. Adibidez, 6936=23⋅ 3 ⋅ 172 kontuan izanik, badakigu, 6936 en edozein zatitzaile positibok honako forma izan behar duela: 2a⋅<math> 3b⋅2^a 17c\cdot 3^b \cdot {17}^c </math> non 0 ≤ a ≤ 3 (4 balio posible), 0 ≤ b ≤ 1 (2 balio posible) eta 0 ≤ c ≤ 2 (3 balio posible). Balio posibleen arteko biderketa eginez zatitzaile posibleen kopurua lor dezakegu. 4 ⋅ 2 ⋅ 3=24 zatitzaile posible.
Azkeneko hori aintzat hartuz, [[Multiplo komun txikien|mkt]] multiplo komunetan txikiena eta [[Zatitzaile komun handien|zkh]] zatitzaile komun handiena lortzea erreza da. Adibidez, lehengo faktorizazioak hartuz gero, 1200 eta 6936, jakin daiteke beraien arteko zkh 23⋅ 3=24dela. Dena dela, ez badakigu zein den zenbakien faktorizazioa, [[Euklidesen algoritmo|Euklidesen algoritmoa]] erabiltzea errazagoa da bi zenbakiak faktorizatzea baino.  
== Frogapena ==
Teorema hau, lehen aldiz Euklidesek frogatu zuen, nahiz eta lehen frogapen osatua [[Carl Friedrich Gauss]]<nowiki/>en-en [[:es:Disquisitiones_arithmeticae|Disquisitiones Arithmeticae]]-n agertu zen.
28 ⟶ 33 lerroa:
 
==== Lehenetan deskonposatu ====
Kontsideratuko dugu existitzen dela zenbaki oso positibo bat ezin deladena zenbaki lehenen arteko produktu bezala adierazi. Orduan, n zenbaki minimo bat egon behar du propietate horrekin. N zenbaki hau ezin daiteke 1 izan, lehen aipatutakoagatik. Eta n ezin daiteke zenbaki lehena izan, zenbaki lehenak beraien buruen produktu direlako.
 
Zenbaki lehena ez denez, definizioz existitzen da beste zenbaki bat, aurreko zenbakia zatituko duena, eta ez deladena 1 edo zenbakiaren berdina. Zenbaki horri a deituko diogu. Beraz, definizioz existituko da b zenbaki bat non n=ab
 
Beraz, n=ab non a eta b zenbaki oso positiboak diren (n bainabaino txikiagoak). N zenbakia zenbaki lehenen arteko produktu bezala ezin daitekeela adierazi kontsideratu dugu, baina badakigu a eta b zenbaki lehenen arteko produktu gisa adieraz daitezkeela. Beraz n=ab ere zenbaki lehenen arteko produktu gisa adierazteko ahalmena izan beharko luke. Ondorioz, kontraesan batera iristen gara.
==== Bakartasuna ====
Bakartasunaren frogapena ondorengo kasuan bermatzen da: p zenbaki lehen batek ab produktu bat zatitzen badu, orduan p-k, a edo b zatitzen du(Euklidesen lema). [[Goiburu|Lema]] hau frogatzeko, suposatzen badugu p-k a ez duela zatitzen,orduan , p eta a lehen erlatiboak dira eta [[Bézouten identitate]]<nowiki/>agatik x eta y osoak existitzen dira non px+ay=1. B-z biderkatuz bpx+aby=b lortzen dugu, eta ezkerreko aldeko bi batugaiak p-z zatitu daitezkeenez eskuineko zatia ere p-z zatitu daiteke.
 
ErantzunEmaitza bereko zenbaki lehenen bi produktu izanik, lehen produktuko p lehena hartuko dugu.
P-k lehen produktua zatitzen du, eta beraz, bigarrena ere zatitzen du. P-k gutxienez bigarren produktuko faktore bat zatitu behar du; baina faktore guztiak lehenak dira, beraz p bigarren produktuko faktore baten berdina izan behar du. Ondorioz, p kendu daiteke bi produktuetatik. Sistema hau segiz bi produktuetako faktore guztiak kenduko dira. 
=== Jaitsiera infinitu bidezko demostrazioa ===
Demagun, zenbaki oso bat (gutxienez) bi modu ezberdinetan faktoriza daitekeela. Beraz, zenbaki oso minimo batek existitu behar du S propietate hori duena. Izan bitez P1..PM eta Q1..QN S-ren bi faktorizazio ezberdin. Pi (non 1 ≤ i ≤ m) balioek ezin dute Qj (con 1 ≤ j ≤ n)-ren berdinak izan, bestela S baina txikiagoa den zenbaki bat existituko litzateke eta zenbaki hori bi modutara faktorizatuko litzateke, lehen egindako suposaketarekin kontraesan batera iritxiz.
Hori kontuan izanda, suposa daiteke orokortasun galera gabe, p1 faktore lehena dela eta qj (non 1 ≤ j ≤ n) guztiak baina txikiagoa. Beraz, existitzen dira d eta r zenbaki osoak non:
 
46 ⟶ 51 lerroa:
:</math>
 
Eta 0<r<p1<q1 (r-k ezin du 0 izan, bestela q1 p1 en multiploa izango litzatekeelako, konposatua izanik). Alde biak S/q1-rekin biderkatuz gero:  
 
:<math>
58 ⟶ 63 lerroa:
:</math>
 
Hau lortzen da,
Lortzen den lekua,
 
:<math>
64 ⟶ 69 lerroa:
:</math>
 
Ekuazioko bi aldeetako balioak S baina txikiagoak dira, baina oraindik ez da lehena, hau da, faktorizatu daiteke. R p1 baina txikiagoa denez bi aldeetan lortutako faktorizazioak k eta r zenbaki lehenen produktu gisa ezberdinak izan behar dute. Honek kontraesan batera eramaten gaitu, s ez da zenbaki oso txikiena modu bat baina gehiagotan faktoriza daitekeena. Hori dela eta, hasierako suposizioa gezurra da 
 
=== AlgebraAljebra abstraktuaren bidezko frogapena ===
Izan bedi n zenbaki osoa, non Zn [[Talde (matematika)|talde]] mugatu bat den eta osaketarenosaketa serie bat duen. Definizioz, osaketarenosaketa serie batean faktoreak sinpleak dira ; hortaz, Zn-ren seriean hauek ZP formakoaformakoak izan behar dute p lehen batentzat. Zn-ren ordena ordenenosaketa faktoreetakoserieko harenfaktoreen seriearen osaketarenordenen produktuabiderkadura den bezala, honek n-ren faktorizazio bat ematen du zenbaki lehenetan. Baina Jordan-hölderren teoremak baieztatzen du osaketaren serie bat bakarra dela, eta hortaz n-ren faktorizazioa bakarra izan behar du.
 
== Erreferentziak ==