Lankide:Gotzon Elorriaga/Proba orria: berrikuspenen arteko aldeak

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
No edit summary
No edit summary
1. lerroa:
= Malda (geometria) =
[[Matematika]] eta zientzia aplikatuetan, [[Zuzen (geometria)|zuzen]] baten malda, zuzen horren inklinazioa eta norabidea deskribatzen duen zenbaki bat da<ref>Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). [https://web.archive.org/web/20131029203826/http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient"] (PDF). Addison-Wesley. p. 348. Archived from the original (PDF) on 29 October 2013. Retrieved 1 September 2013.</ref>. Orokorrean, zuzen baten malda <math>''m</math>'' letraz izendatzen da. Malda kalkulatzeko, zuzen baten edozein bi punturen arteko aldaketa bertikala eta aldaketa horizontalaren proportzioa kontuan hartu behar da.
 
Zuzen baten inklinazioa maldaren balio absolutuarekin neurtzen da. Zenbat eta handiagoa izan maldaren balio absolutua, zuzenak orduan eta inklinazio handiagoa izango du. Bestalde, zuzenaren norabidea goranzkoa, beheranzkoa, horizontala edo bertikala izan daiteke.
 
* Zuzen batek goranzko norabidea izango du, ezkerretik hasita, eskuinera gorantzgorantza badoa. Kasu honetan, maldak balio positiboa du.
* Zuzen batek beheranzko norabidea izango du, ezkerretik hasita, eskuinera beherantz badoa. Kasu honetan, maldak balio negatiboa du.
* Zuzen bat horizontala bada, maldak 0 balio du.
* Zuzen bat bertikala bada, maldak balio indeterminatua du.
15. lerroa:
non Δy zuzenaren aldaketa bertikala den eta Δx zuzenaren aldaketa horizontala.
 
[[Geometria|Geometria analitikoan]], malda, zuzen baten ekuazioan azaltzen da;, kasu partikular honetan, malda, kurba baten [[Zuzen ukitzaile|zuzen ukitzailea]] da. Zuzen ukitzaile hori [[Funtzio (matematika)|funtzioaren]] [[Deribatu|deribatua]] da kontsideratutako puntuan eta parametro garrantzitsua da, adibidez, errepideen, burdinbide edo kanalen trazaketa altimetrikoetan.
== Inklinazio angelua ==
α angelua, zuzenak OX ardatzarekiko duen inklinazio angelua da. Inklinazio angeluaren tangentea (trigonometrikoa) zuzenaren koefiziente angeluarra da eta normalean k letrarekin izendatzen da. Beraz :
 
<math>k = \tan(\alpha
)</math>
 
Koefiziente angeluarrak eta maldak esanahi geometriko berbera dute. Koefiziente angeluarra eta jatorrizko ordenatua agertzen diren ekuazioan, <math>y = kx +b</math>, <math>''k</math>'' koefiziente angeluarra da eta <math>''b</math>'', jatorrizko ordenatua<ref>D. Kleténik. ''Problemas de geometría analítica''. Ediorial Mir, Moscú (1968)</ref>.
 
== Zuzen baten malda ==
Irudikapen angeluzuzena (koordenatu kartesiarra) duen sistema baten azaltzen den zuzenaren malda <math>''m</math>'' letraz adierazten da. Malda hori, zuzen baten bi puntu ezberdinetako Y ardatzeko kendura zati X ardatzeko kendura bezala definitzen da. Ekuazioa hauhonela deskribatzen da:
 
<math>m = {\Delta y \over \Delta x}={y_2-y_1 \over x_2-x_1}</math>
 
=== Adibideak ===
Demagun bi puntu hauetatik pasatzen den zuzena: ''P'' = (1,2) eta ''Q ='' (13,8). Aurreko formula kontuan hartuta, Y ardatzeko puntuen koordenatuen kendura zati X ardatzeko puntuenpunten koordenatuen kendura eginez, malda kalkula dezakegu:
 
<math>m = {\Delta y \over \Delta x}={y_2-y_1 \over x_2-x_1}={8-2 \over 13-1}={6 \over 12}={1 \over 2}</math>
45. lerroa:
Zuzen horizontal baten malda 0 (zero) da. Zenbat eta txikiagoa izan maldaren balioa, orduan eta inklinazio txikiagoa izango du zuzenak; adibidez, X ardatzarekiko 45º goratzen den kurbak <math>m = +1</math> malda bat dauka. Bestalde, 30º beheratzen den kurba batek <math>m = -0,5</math> malda dauka. Zuzen bertikal baten malda ez dago definituta edo infinitua dela esaten da.
 
Zuzen batek horizontalarekin osatzen duen ''θ'' angelua maldarekin, ''m,'' lotutaerlazionatuta dago erlazio trigonometriko honen bidez:
 
<math>m=\tan(\theta)</math>
53. lerroa:
<math>\theta=\arctan(m)</math>
 
Bi zuzen edo gehiago [[Paralelo (geometria)|paraleloak]] dira malda berdina badute; era berean, biak bertikalak badira, malda berdina ere badute baina haien malda ez dago definituta. Bi zuzen edo gehiago [[perpendikular|perpendikularrak]] dira (angeluzuzena osatzen dute bien artean), haien malden arteko biderkadura -1 bada.
=== Puntu-malda ekuazioa ===
y, x-en funtzio lineal bat bada, x koefizientea zuzenaren malda da. Beraz, ekuazioa modu honetan definitzen bada:
59. lerroa:
<math>y = mx +b</math>
 
''m'' malda da. Ekuazio honetan ''b''-ren balioa, zuzenak Y ardatza ebakitzen duen puntu modura uler daiteke. ''b'' balio honi jatorrizko ordenatua ere deitzen zaio.
 
Zuzen baten malda eta zuzenaren puntu bat ezagunak badira, zuzenaren puntu-malda ekuazioa honela definitzen da:
90. lerroa:
<math>\theta=\arctan(12)\approx</math>85,2º.
 
Kontsidera ditzagun bi zuzen hauek: <math>''y ='' -3x +1</math> eta <math>''y'' = -3x - 2</math>. Bi zuzenek <math>''m'' = -3</math> malda dute. Ez dira zuzen berdinak. Beraz, zuzen paraleloak dira.
 
Kontsidera ditzagun beste bi zuzen hauek: <math>''y ='' -3x +1</math> eta <math>''y'' ={x \over x/3} - 2</math>. Lehenengo zuzenaren malda ''m<mathsub>m_1=-31</mathsub>'' = -3 da. Bigarren zuzenaren malda ''m<mathsub>m_2={1 \over 3}2</mathsub>'' = 1/3 da. Bi malda hauen arteko biderkadura -1 da. Beraz, zuzenak perpendikularrak dira.
 
=== Propietateak ===
112. lerroa:
== Kalkulua ==
[[File:Tangent function animation.gif|thumb|Puntu bakoitzean, deribatua, zuzen ukitzailearen malda da kontsideratutako puntu horretan.|alt=|232x232px]]
Maldaren kontzeptua ezinbestekoazentrala da kalkulu diferentzialean. Linealak ez diren funtzioetan kurbaren norabidea aldakorra da. Funtzio baten [[Deribatu|deribatua]] puntu batean, [[zuzen ukitzaile|zuzen ukitzailearen]] malda da kontsideratutako puntuan eta malda honek kurbaren norabide-aldakuntza adierazten du.
 
Δx eta Δy bi punturen arteko distantziak badira, (x eta y ardatzean zehar hurrenez hurren) malda, aurreko definizioa ikusita, honela lortzen da:
118. lerroa:
<math>m = {\Delta y \over \Delta x}={y_2-y_1 \over x_2-x_1}</math>
 
Malda hau kurbaren [[Zuzen ebakitzaile|zuzen ebakitzailearena]] ([[zuzen sekantea]]) da kontsideratutako puntuetan. Zuzen batean edozein bi punturen zuzen ebakitzailea zuzena bera da, baina hori ez da betetzen beste edozein kurba kontuan hartuta.
 
Kontsideratutako bi puntuak hurbiltzen baditugu haien arteko Δx eta Δy distantziak murriztuz, ikusi daiteke zuzen ebakitzailea zuzen ukitzailea ([[Zuzen ukitzaile|zuzen tangentea]]) izatera hurbiltzen dela eta aldi berean ebakitzailearen maldak, ukitzailearen maldaren balioa hartzeko joera duela. Kalkulu diferentziala erabiliz, limitea determinatu dezakegu, edo Δy/Δx erlazioak hartzen duen balioa, Δy eta Δx zerora hurbiltzen direnean. Limite honen emaitza zuzen ukitzailearen malda da. Gainera, y, x-ekiko independentea bada, nahikoa da Δx zerora hurbiltzen den limitea hartzea. Beraz, zuzen ukitzaile baten malda Δy/Δx-ren limitea da Δx zerora hurbiltzen denean. Limite honi deribatua deitzen zaio.
124. lerroa:
<math>{dy \over dx}=\lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x}</math>
 
Deribatuaren bidez, zuzen ukitzailearen malda lortu dezakegu kontsideratutako puntuan. Adibidez, demagun <math>y=x^<sup>2</mathsup> funtzioa eta funtzio honen puntu bat (-2,4) da. Funtzio horren deribatua <math>{dy \over /dx}=2x</math> da. Beraz, zuzen ukitzailearen malda (-2,4) puntuan -4 da. Aldi berea, zuzen ukitzaile honen ekuazioa hau da: <math>y-4=-4(x+2)</math>.
 
== Erreferentziak ==