Aritmetikaren oinarrizko teorema: berrikuspenen arteko aldeak

Zenbaki oso positibo guztiak n>1 zenbaki lehenen potentzien arteko produktu bezala adieraz daiteke, eta, adierazpen hori, bat eta bakarra izango da

 

n

= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}

= \prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}

 

P1 p2... Pka lehenak dira eta αi positibo osoak dira.

Hori kontuan izanda, suposa daiteke orokortasun galera gabe, p1 faktore lehena dela eta qj (non 1 ≤ j ≤ n) guztiak baina txikiagoa. Beraz, existitzen dira d eta r zenbaki osoak non:

 

{q_1\over p_1} = d+{r\over p_1}

 

Eta 0<r<p1<q1 (r-k ezin du 0 izan, bestela q1 p1 en multiploa izango litzatekeelako, konposatua izanik). Alde biak S/q1-rekin biderkatuz gero:  

 

p_2 \ldots p_m = \left ( d + {r\over p_1} \right ) q_2 \ldots q_n = d\cdot q_2 \ldots q_n + {r\cdot q_2 \ldots q_n \over p_1}.

 

Azken adierazpeneko bigarren terminoa zenbaki oso baten berdina izan behar du (beste terminoak ere osoak baitira), non k izena hartuko duen ; hau da,

 

k = {r\cdot q_2\ldots q_n\over p_1},

 

Lortzen den lekua,

 

p_1\cdot k = r\cdot q_2 \ldots q_n.

 

Ekuazioko bi aldeetako balioak S baina txikiagoak dira, baina oraindik ez da lehena, hau da, faktorizatu daiteke. R p1 baina txikiagoa denez bi aldeetan lortutako faktorizazioak k eta r zenbaki lehenen produktu gisa ezberdinak izan behar dute. Honek kontraesan batera eramaten gaitu, s ez da zenbaki oso txikiena modu bat baina gehiagotan faktoriza daitekeena. Hori dela eta, hasierako suposizioa gezurra da