«Funtzio harmoniko»: berrikuspenen arteko aldeak

ez dago edizio laburpenik
 
= Funtzio harmonikoa =
[[Matematika|Matematiketan]], n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio HONAKObaldin eta bi baldintza HAUEKhauek betetzen baditu:
 
# D-ren gainean lehengo eta bigarren ordenako [[Deribatu|deribatua]]<nowiki/>k jarraituak izatea .
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0 </math>
 
'''<u>Aurretik adierazitakoa ekuazioa (?)</u>''',zeina <math>\nabla^2 f = 0</math> edo <math>\ \Delta f = 0</math> bezala idatzi ohi da.
 
== Terminologia ==
 
"Funtzio harmoniko" termino'''<u>a</u>'''terminoak ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin'''<u>,</u>''' lotura ho'''RR'''en jatorria matematikaren bilakaera historikoarekin lotuta dagobaizik.
 
Harmoniko terminoa [[Mugimendu harmonikoa|mugimendu harmoniko]]<nowiki/>tik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioei deritz'''<u>o</u>'''. Mugimendu '''<u>honen</u>''' ekuazio diferentzialaren'''<u>tzako</u>''' soluzioa [[sinu|sinuEN]] eta [[kosinu]]<nowiki/>en funtzioekin idatz daiteke'''<u>,</u> (puntu eta koma)''' horren ondorioz '''(koma)''' funtzio '''<u>hauei</u>''' (sinu'''ARI''' eta kosinuari'''<u>)"</u>'''harmonikoak" deitzen zaie. Modu berdintsuan, baina dimentsio handiagoetan, hau da '''(?)''', '''<u><s>2 ordez 3 dimentsioetako</s></u>''' '''(2 dimentsioko ez baizik 3ko)''' uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak'''<u>,</u>''' [[harmoniko esferiko]]<nowiki/>en funtzioak izango dira. Harmoniko esferikoe'''<u>k,</u>''' funtzio harmonikoak definitzen dituzten bi baldintzak betetzen zituztela konturatu ziren '''(NOR?).''' Geroztik, baldintza '''<s>hauek</s>''' HORIEK betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.
 
 
 
 
 
 
 
 
''Harmoniko'' terminoa [[Mugimendu harmonikoa|mugimendu harmoniko]]<nowiki/>tik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioei deritz'''<u>o</u>'''deritze. Mugimendu '''<u>honen</u>'''harmonikoaren ekuazio diferentzialaren'''<u>tzako</u>''' soluzioa [[sinu|sinuEN]]<nowiki/>en eta [[kosinu]]<nowiki/>en funtzioekin idatz daiteke'''<u>,</u> (puntu eta koma)'''; horren ondorioz, '''(koma)''' [[funtzio '''<u>hauei</u>'''trigonometriko]] (sinu'''ARI'''horiei eta kosinuari'''<u>)"</u>'''harmonikoak" deitzen zaie. Modu berdintsuan, baina dimentsio handiagoetan, (hau da '''(?)''', '''<u><s>2 ordez 3 dimentsioetako</s></u>''' '''(2 dimentsiokodimentsiotan ez baizik 3ko3tan)''', uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak'''<u>,</u>''' [[harmoniko esferiko]]<nowiki/>en funtzioak izango dira. Harmoniko esferikoe'''<u>k,</u>'''esferikoak funtzio harmonikoakharmonikoek definitzen dituzten bi baldintzak betetzen zituztela konturatu ziren '''(NOR?).''' Geroztikdituztenez, baldintza '''<s>hauek</s>''' HORIEKhoriek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.
[[Fitxategi:Rotating spherical harmonics.gif|thumb|Harmoniko esferikoen irudikapena.]]
 
== Adibideak ==
[[Zenbaki erreal|Aldagai erreal]] batekin lan egiten '''<s>badugu</s> BADA'''bada, Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinu'''EN'''sinuen eta kosinuen arteko konbinazio linealak. Dimentsio handiagoetan eta [[Zenbaki konplexu|aldagai konplexuekin]] lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke. '''<s>Hemen</s>'''Hona HONA HEMENhemen zenbait adibide '''<s>aurkezten</s>''' dira:
 
=== Bi aldagaiko funtzio harmonikoak ===
 
* Edozein [[Funtzio holomorfo|funtzio holomorforen]] parte erreal'''A'''erreala eta '''PARTE'''parte irudikaria funtzio harmonikoak dira.
* <math>R^2-{0}</math> eremuan definituta dagoen <math>f(x,y)=ln(x^2 + y^2)^{1/2}</math> funtzioa harmonikoa da.
 
=='''A'''nalisiAnalisi konplexuare'''kikokonplexuarekiko loturak'''==
(ikusi: [[analisi konplexua]])
 
Edozein funtzio holomorforen parte erreal'''A'''erreala eta '''PARTE'''parte irudikaria funtzio harmonikoak dira. Ho'''RR'''enHorren ondorio zuzena '''DA'''da edozein funtzio holomorfok'''<s>,</s>''' [[Cauchy-Riemann-en ekuazioak]] betetzen dituela '''<s>da</s>'''. Egoera ho'''RR'''etan '''(koma)'''horretan, harmoniko konjokatuak direla esaten da.
 
== Funtzio harmonikoen propietateak ==
Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondoriozta'''<s>tu</s>''' daitezke.
 
=== Funtzio harmonikoen erregulartasunARENerregulartasunaren teorema ===
Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera '''(koma)''', funtzio analitikoak dira.
 
=== Maximoaren printzipioa ===
Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:
 
Izan bitez <math>K</math> <math>D</math>-ren edozein azpimultzo trinko eta <math>f</math> edozein funtzio harmoniko. Orduan '''(KOMA)''', <math>f</math> funtzioak bere maximo eta minimoak <math>K</math>-ren mugan izango ditu.
 
Gainera '''(koma)''', <math>D</math> konexua bada, <math>f</math>-k ezin du maximo edo minimo lokalik eduki, <math>f</math> funtzio konstantea ez den bitartean.
 
=== Batez besteko aritmetikoaren teorema ===
Izan bitez <math>B(x,r)\subset D</math>,hau da, (zentroa <math>x</math>puntuan ETAeta erradioa <math>r</math>luzerakoa DITUENdituen eta <math>D</math>-n sartuta dagoen bola) eta f funtzio harmonikoa (EZ DA ULERTZEN). Orduan '''(KOMA)''', f(x) '''<u>funtzioaren balioafuntzioak bolaren zentroan hartzen duen balioa,</u>''' f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen '''<u>batez bestekotik</u>'''batezbestekotik abiatuta zehaztu '''<s>dezakegu</s> DAITEKE'''daiteke:
<math>
</math>
 
non <math>\omega_n</math>aldagaia unitate '''(?)'''bateko erradioa daukan bolaren azalera den.
=== Liouville-ren teorema ===
Baldin eta f funtzio harmonikoa '''R'''<sup>''n''</sup> osoan definituta eta bornatua badago, orduan funtzio konstantea da f.
 
=== Funtzio harmonikoak gainazaletan ===
Funtzio harmonikoak zorizko [[Riemannen gainazala|Riemann-en gainazal]] batean defini'''<s>tu</s>''' daitezke, [[Laplace-Beltrami-ren eragilea]] Δ erabiliz. Testuinguru ho'''RR'''etanhorretan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu: <math>\ \Delta f = 0.</math>
= Ikus, gainera =
[[Laplace-ren ekuazioa|'''Laplace-ren ekuazioa''']]
12

edits