«Bektore espazio»: berrikuspenen arteko aldeak

bektore ezpazio orriaren osaketa
t (Robota: Testu aldaketa automatikoa (-thumb|right +thumb))
(bektore ezpazio orriaren osaketa)
[[Matematika]]n eta zehazkiago [[aljebra lineal]]ean '''bektore espazioa''' hutsa ez den multzo batetik sorturiko [[egitura aljebraiko]] bat da, egitura hau aipatutako multzo ez hutsa horren eta [[bektore (fisika)|bektore]] batuketa batetik (barne operazioa) edota [[eskalar]] biderketa sortzen da.
 
== Definizioa: ==
{{commonskat}}
Izan bitez <math>(K,+,\cdot)</math>eta <math>V</math>multzoa, orduan <math>V K</math>-espazio bektoriala da baldin eta solik baldin:
 
# <math>(V,+)</math>Talde abeldarra da, hau da, multzoak gehiketa aplikazioa definituta du, taldearen elementu neutroa <math>0_V</math>denotatuko dugu.
# Kanpo aplikazioa (eragiketa) existitzen da:<math>\begin{align} \cdot:K\times V\to V \\(k,v)\to k\cdot v \\ \end{align}</math> (eskalar eta bektore arteko biderketa)
 
Gorputzeko elementuak eskalarrak deritze eta <math>V</math>-ko elementuak bektore, kanpo aplikazioak betetzen dituen propietateak hurrengoak dira:
 
* Banatze propietatea eskalarren gehiketarekiko: <math>\forall k_1,k_2\in K,\forall v\in V: (k_1+k_2)\cdot v=k_1\cdot v + k_2\cdot v</math>
* Banatze propietatea bektoreen gehiketarekiko:<math>\forall v_1,v_2\in V,\forall k\in K: (v_1+v_2)\cdot k=v_1\cdot k + v_2\cdot k</math>
* Elkartze propietatea: <math>\forall k_1,k_2\in K,\forall v\in V: k_1(k_2\cdot v)=(k_1\cdot k_2)\cdot v</math>
* Bektorea eta gorputzeko biderketarekiko elementu neutroaren arteko produktua bektore bera da: <math>\forall v\in V: v\cdot 1_K=v</math>
 
== Adibideak: ==
<math>\mathbb{Z}</math>ez da <math>\mathbb{Q}</math>-espazio bektoriala zeren, nahiz eta <math>(\mathbb{Z},+)</math>talde abeldarra izan, adibidez bektore moduan 3 zenbakia hartzen badugueta eskalar moduan 1/2, bektore bider eskalar produktua ez dago multzo barruan, hau da, 1.5 ez da zenbaki osoa.
 
Ostean, <math>\mathbb{Q}</math>-<math>\mathbb{Q}</math>-espazio bektoriala da, baita <math>\mathbb{Q}^2</math><math>\mathbb{Q}</math>espazio bektoriala da.
 
Beraz <math>(K,+,\cdot)</math>gorputza izanik, <math>K^n</math><math>K</math>espazio bektoriala da.
 
Espazio bektorialak: <math>\mathbb{Q}^n</math><math>\mathbb{Q}</math>espazio bektoriala da, <math>\mathbb{R}^n</math><math>\mathbb{R}</math>espazio bektoriala da, <math>\mathbb{C}^n</math><math>\mathbb{C}</math>espazio bektoriala da.
 
== Propietate gehiago: ==
<math>V</math><math>K</math>espazio bektoriala bada:
 
<math>(i)</math><math>\forall k\in K : k\cdot 0_V = 0_V</math>
 
Badakigu <math>0_V=0_V+0_V</math>orduan <math>k\cdot 0_V= k\cdot(0_V+0_V)=k\cdot0_V+k\cdot0_V\Longrightarrow k\cdot 0_V=k\cdot0_V+k\cdot0_V</math>eta adierazpena sinplifikatuz <math>0_V=k\cdot 0_V </math>
 
<math>(ii)</math><math>\forall v\in V : v\cdot 0_K = 0_V</math>
 
Badakigu <math>0_K=0_K+0_K</math>orduan <math>v\cdot 0_K=v\cdot(0_K+0_K)=v\cdot 0_K+v\cdot 0_K \Longrightarrow v\cdot 0_K=v\cdot 0_K+v\cdot 0_K</math>eta adierazpena sinplifikatuz <math>0_V=v\cdot 0_K </math>
 
<math>(iii)</math><math>k\cdot v=0_V \Longleftrightarrow k=0_K edo v=0_V</math>
 
<math>\Longrightarrow</math>
 
Demagun <math>k\in K-\{0_K\}</math>dela, orduan existitzen da eskalarraren alderantzizkoa <math>k^{-1}</math>, orduan <math>k\cdot v=0_V</math>adierazpenean biderkatuz:
 
<math>(k^{-1}\cdot k)\cdot v=k^{-1}\cdot 0_V \Longrightarrow 1_K\cdot v = 0_V \Longrightarrow v=0_V</math>
 
<math>\Longleftarrow</math>Frogatuta dago <math>(i)</math>eta <math>(ii)</math>-n.
 
<math>(iv)</math><math>-v=(-1_K)\cdot v , \forall v\in V</math>
 
Mugitu adierazpenean bektorea eskumara: <math>0_V=v+(-1_K)\cdot v</math>, badakigu <math>v=(1_K)\cdot v , \forall v\in V</math>, ordezkatu: <math>(1_K)\cdot v+(-1_K)\cdot v=0_V</math>banatze propietatea erabiliz:
 
<math>v\cdot(1_K-1_K)=0_V</math>eta badakigu <math>1_K-1_K=0_K</math>beraz <math>v\cdot(1_K-1_K)=v\cdot (0_k) = 0_V</math>
 
Orduan <math>(-1_K)\cdot v</math> edozein bektorearen alderantzizkoa da.{{commonskat}}
 
[[Kategoria:Bektoreak]]
6

edits