Talde abeldar

Aljebra abstraktuan $(A,\circledast )$talde abeldarra da $A$multzorako $\circledast$eragiketa elkartze eta trukatze propietateak eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen egitura aljebraikoa.

Definizioa

$A\neq \emptyset$ multzoa eta $\circledast$eragiketa (aplikazioa edo funtzioa) talde bat eratzen dute propietate hauek betetzen dituenean:

• $\circledast$eragiketa $A$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\forall a,b,c\in A:(a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)$
• $\circledast$Propietate trukakorra betetzen du, hau da: $\forall a,b\in A:a\circledast b=b\circledast a$
• Existitzen da $e\in A$non $\forall a\in A:a\circledast e=a=e\circledast a$. $e$$\circledast$eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
• $A$-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: $\forall a\in A,\exists a'\in A:a\circledast a'=e=a'\circledast a$

Lau propietate hauek betetzen dituzten multzoa eta eragiketa (edo aplikazio) talde abeldar bat eratzen dute.

Adibideak

$(\mathbb {Z} ,+)$taldea da, gainera talde abeldarra da ere trukatze propietatea betetzen delako.

Hartu $A=\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$(zenbaki arruntak) eta $\circledast =+$(batuketa):

$(i)$$\forall a,b,c\in \mathbb {N} :(a+b)+c=a+(b+c)$

$(ii)$$\forall a,b\in \mathbb {N} :a\circledast b=b\circledast a$

$(ii)$Batuketarekiko elementu neutroa, $0$ ez dago multzo barruan.

Batuketarekiko elementu neutroa ez denez existitzen multzo barruan, orduan $(\mathbb {N} ,+)$ez da taldea beraz ez da talde abeldarra.

Adibide gehiago $+$ (gehiketa) eta $\cdot$(biderketarekin):

Talde abeldarrak: $(\mathbb {Z} ,+),(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R^{n}} ,+),(M_{n}(\mathbb {R} ),+),(M_{mxn}(\mathbb {R} ),+),(\mathbb {C} ,+),(\mathbb {C^{n}} ,+),(M_{n}(\mathbb {C} ),+),(M_{mxn}(\mathbb {C} ),+)$

Ez-taldeak: $(\mathbb {Z} ,\cdot ),(\mathbb {Q} ,\cdot ),(\mathbb {R} ,\cdot ),(\mathbb {R^{n}} ,\cdot ),(M_{n}(\mathbb {R} ),\cdot ),(M_{mxn}(\mathbb {R} ),\cdot ),(\mathbb {C} ,\cdot ),(\mathbb {C^{n}} ,\cdot ),(M_{n}(\mathbb {C} ),\cdot ),(M_{mxn}(\mathbb {C} ),\cdot )$Zenbaki multzo gehienak ez dira biderkaketarekiko taldeak $0$-ren alderantzizkorik ez delako existitzen, hau da, $\nexists a^{-1}\in A:0\cdot a^{-1}=1$.