«Talde (matematika)»: berrikuspenen arteko aldeak

Artikuluaren osaketa
No edit summary
(Artikuluaren osaketa)
[[Aljebra abstraktu|Aljebra abstraktuan]] <math>(A,\circledast)</math>taldea da <math>A</math>multzorako <math>\circledast</math>eragiketa elkartze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen [[Egitura aljebraiko|egitura aljebraikoa]].
[[Aljebra abstraktu]]an, '''taldea''' ''(T,f,e)'' [[egitura aljebraiko]] bat da, non, ''T'' multzo ez-hutsa eta ''f:T×T→T'' funtzioa izanik, honako baldintza hauek betetzen diren:
* T-ren ''a,b'' eta ''c'' elementuetarako, ''(a∗b)∗c=a∗(b∗c)'', hau da, propietate elkarkorra betetzen den;
* bada eragiketa eta multzo horrekiko ''e'' [[elementu neutro]] bat, ''a'' elementu ororentzat hau betetzen duena, ''e∗a=a∗e=a'',
* bada eragiketa eta multzo horrekiko ''a<sup>-1</sup>'' [[alderantzizko elementu]] bat, ''a'' elementu ororentzat hau betetzen duena, ''a<sup>-1</sup>∗a=a∗a<sup>-1</sup>=e''.
 
== Definizioa ==
Talde baten adibide garbiena [[zenbaki oso]]ek baturarekiko osatzen dutena da, elementu neutroa 0 eta alderantzizko elementua -a izanik, a edozein elementurentzat.
<math>A\neq \empty</math> multzoa eta <math>\circledast</math>eragiketa (aplikazioa edo funtzioa) talde bat eratzen dute propietate hauek betetzen dituenean:
 
* <math>\circledast</math>eragiketa <math>A</math>-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: <math>\forall a,b,c \in A : (a\circledast b)\circledast c =a\circledast (b\circledast c)</math>
{{matematika zirriborroa}}
* Existitzen da <math>e\in A</math>non <math>\forall a \in A : a\circledast e = a = e\circledast a</math>. <math>e</math><math>\circledast </math>eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
* <math>A</math>-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: <math>\forall a \in A , \exists a'\in A : a\circledast a'=e=a'\circledast a</math>
 
Hiru propietate hauek betetzen dituzten multzoa eta eragiketa (edo aplikazio) taldea eratzen dute.
 
Propietate trukakorra betetzen duten taldeek izen berezi bat hartzen dute: Talde abeldarra (edo talde ). Talde abeldarra izateko lau propietateak bete behar dira.
 
* (Talde abeldarra izateko) <math>\circledast</math>Propietate trukakorra betetzen du: <math>\forall a,b \in A: a\circledast b=b\circledast a</math>
 
== Adibideak ==
Hartu <math>A = \mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}</math>([[Zenbaki oso|zenbaki osoak]]) eta <math>\circledast = +</math>(batuketa):
 
<math>(i)</math><math>\forall a,b,c \in A : (a+ b)+ c =a+ (b+ c)</math>Elkartze propietatea betetzen da.
 
<math>(ii)</math>Elementu neutroa existitzen da: <math>e=0</math>zeren <math>\forall a \in \mathbb{Z} : a+0=a</math>
 
<math>(iii)</math>Alderantziakoa existititzen da: <math>\forall a \in \mathbb{Z} , \exists a'\in \mathbb{Z} : a+a'=0 \rightarrow a'=-a</math>
 
Beraz <math>(\mathbb{Z},+)</math>taldea da, gainera talde abeldarra da ere trukatze propietatea betetzen delako.
 
Hartu <math>A = \mathbb{N} =\{1,2,3,...\}</math>(zenbaki arruntak) eta <math>\circledast = +</math>(batuketa):
 
<math>(i)</math><math>\forall a,b,c \in A : (a+ b)+ c =a+ (b+ c)</math>
 
<math>(ii)</math>Batuketarekiko elementu neutroa, <math>0</math> ez dago multzo barruan.
 
Batuketarekiko elementu neutroa ez denez existitzen multzo barruan, orduan <math>(\mathbb{N},+)</math>ez da taldea eta ez ditugu propietateak frogatzen segitu behar.
 
Adibide gehiago <math>+</math> (gehiketa) eta <math>\cdot</math>(biderketarekin):
 
Taldeak: <math>(\mathbb{Z},+),
(\mathbb{Q},+),
(\mathbb{R},+),(\mathbb{R^n},+),(M_{n}(\mathbb{R}),+),(M_{mxn}(\mathbb{R}),+),
(\mathbb{C},+),(\mathbb{C^n},+),(M_{n}(\mathbb{C}),+),(M_{mxn}(\mathbb{C}),+)</math>
 
Ez-taldeak: <math>(\mathbb{Z},\cdot),
(\mathbb{Q},\cdot),
(\mathbb{R},\cdot),(\mathbb{R^n},\cdot),(M_{n}(\mathbb{R}),\cdot),(M_{mxn}(\mathbb{R}),\cdot),
(\mathbb{C},\cdot),(\mathbb{C^n},\cdot),(M_{n}(\mathbb{C}),\cdot),(M_{mxn}(\mathbb{C}),\cdot)</math>Zenbaki multzo gehienak ez dira biderkaketarekiko taldeak <math>0</math>-ren alderantzizkorik ez delako existitzen, hau da, <math>\nexists a^{-1}\in A : 0\cdot a^{-1}=1</math>.
 
== Propietate gehiago ==
<math>(A,\circledast)</math>Taldea bada hurrengo propietateak betetzen dira:
 
<math>(i)</math><math>(a\circledast b)\circledast c =a\circledast (b\circledast c)</math>denez parentesiak kendu ditzakegu zentzua galdu gabe: <math>a\circledast b\circledast c</math>, orokorrean: <math>a_{1}\circledast a_{2}\circledast ...\circledast a_{n}</math>adierazpenak zentzua du.
 
<math>(ii)</math>Elementu neutroa bakarra da eta <math>e</math>adierazteko <math>0_{\circledast}</math>denotatuko dugu (<math>\circledast</math>eragiketarekiko elementu neutroa).
 
<math>(iii)</math>Elementu bakoitza alderantzizko bakarra du.
 
<math>(iv)</math><math>A</math>-ren elementuak sinplifikagarriak dira <math>\circledast</math>-rekiko: <math>\forall a,b,c\in A : a\circledast b = a\circledast c \Rightarrow b=c</math>
 
==== Froga: ====
<math>(ii)</math>Demagun <math>e</math>eta <math>e'</math>taldeko elementu neutroak direla eragiketarekiko, orduan definizioz:
 
<math>e\circledast e' =e</math>eta baita <math>e\circledast e' =e'</math>
 
Beraz <math>e =e'</math>, elementu neutroa bakarra da.
 
<math>(iii)</math>Demagun <math>a'</math>eta <math>a'</math><math>a</math>elementuaren alderantzizkoak direla, orduan definizioz:
 
<math>a\circledast a'=e</math>eta baita <math>a\circledast a''=e</math>, orduan <math>a'\circledast a\circledast a''=\begin{cases} e\circledast a''=a''\\ a'\circledast e=a'\end{cases}</math>beraz <math>a'=a''</math>, elementu alderantzizkoa bakarra da.
 
<math>(iv)</math><math>a\circledast b = a\circledast c </math>adierazpenaren bi aldeetan <math>a'</math>gaia gehitu eta alderantzizkoaren eta elementu neutroaren definizioak erabiliz:
 
<math>a'\circledast a\circledast b = a'\circledast a\circledast c \Rightarrow e\circledast b = e\circledast c \Rightarrow b=c </math>{{matematika zirriborroa}}
 
[[Kategoria:Aljebra abstraktua]]
6

edits