«Funtzio harmoniko»: berrikuspenen arteko aldeak

ez dago edizio laburpenik
"Funtzio harmoniko" terminoaren erabilera funtzio hauek izendatzeko ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, lotura honen jatorria, matematikaren bilakaera historikoarekin lotuta dago.
 
Harmoniko terminoa, mugimendu harmonikotik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioari deritzo. Mugimendu honen ekuazio diferentzialarentzako soluzioa, sinu eta kosinuen funtzioekin idatz daiteke, honen ondorioz funtzio hauei (sinu eta kosinuari)"harmonikoak" deitzen zaie. Modu berdintsuan baino dimentsioak igoz, harmoniko esferikoak definitu ahal ditugu. Funtzio hauek, funtzio harmonikoak defintizendefinitzen ditzuztendituzten bi baldintzak betetzen zituztela konturatu ziren. Geroztik, baldintza hauek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.
 
== Adibideak ==
Aldagai erreal batekin lan egiten badugu, Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinu eta kosinuen arteko konbinazioa linealak. Dimentsio handiagoetan eta aldagai konplexuekin lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke.Hemen zenbait adibide aurkezten dira:
 
=== Funtzio harmonikoak bi aldagaiekin ===
 
* Edozein funtzio holomorforen parte erreal eta irudikaria
* <math>R^2-{0}</math> eremuan definituta dagoen <math>f(x,y)=ln(x^2 + y^2)^{1/2}</math> funtzioa.
 
== Loturak analisi konplexuarekin ==
Edozein funtzio holomorforen parte erreal eta irudikaria funtzio harmonikoak dira. Honen ondorio zuzena edozein funtzio holomorfok, Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dituela da. Egoera honetan harmoniko konjokatuak direla esaten da.
 
== Funtzio harmonikoen propietateak ==
Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondorioztatu daitezke.
 
=== Funtzio harmonikoen erregulartasun teorema ===
Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera funtzio analitikoak dira.
 
=== Maximoaren printzipioa ===
Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:
 
Izan bitez <math>K</math> <math>D</math>-ren edozein azpimultzo trinko eta <math>f</math> edozein funtzio harmoniko. Orduan <math>f</math> funtzioak bere maximo eta minimoak <math>K</math>-ren mugan izango ditu.
=== Batez besteko aritmetikoaren teorema ===
 
Gainera <math>D</math> konexua bada, <math>f</math>-k ezin ditu maximo edo minimo lokalik eduki, <math>f</math> funtzio konstantea ez den bitartean.
 
=== Batez besteko aritmetikoaren teorema ===
Izan bedi <math>B(x,r)\subset D</math>,hau da, <math>D</math>-n sartuta dagoen, zentroa <math>x</math>-n eta erradioa <math>r</math>, dituen bola.
=== Harnack-en inekuazioa ===
 
12

edits