Axioma: berrikuspenen arteko aldeak

''[[Euklidesen Elementuak]]'' lanean era egokian islatzen da ikuspegi klasikoa, postulatu (gure esperientziatik jaiotako zentzu komuneko egitate geometrikoak) zerrenda bat eta ondoren ''nozio komunen'' (oinarrizko baieztapenak, bere baitan ebidenteak direnak) aurkezten direlarik:

 

1. Posible da edozein puntutatik beste edozein puntutara marra zuzen bat egin edo irudikatzea.

 

5. ("Postulatu paraleloa") Egia da lerro zuzen bat bi lerro zuzenen gainean ezartzen bada, alde bereko barne angeluak bi angelu zuzen baino gutxiago ematen dutela; bi lerro zuzenak etengabe luzatzen badira alde horretan angelu zuzena baino txikiagoak diren angeluekin gurutzatzen dira.

 

1. Gauza baten berdinak diren gauzak elkarren artean ere berdinak dira.

 

Hemen bi axioma mota bereizten dira, logikoak eta ez logikoak.

 

Hizkuntza formaleko formula batzuk dira, unibertsalki baliagarriak, hau da, edozein baliorekin zuzenak direna. Normalean gutxieneko tautologia multzo bat axioma logiko gisa hartua da, hizkera horretako tautologia guztiak frogatzen dituena; predikatuen logikaren kasuan, zentzu hertsian tautologiak ez diren egia logikoak baieztatzeko baino axioma logiko gehiago behar dira. Logika proposizionala eta lehen mailako ordenako logika dira pare bat adibide.

 

Axioma ez logikoek teoriaren suposizio espezifikoen papera betetzen dute. Bi egitura ezberdinen inguruko arrazoiketak, zenbaki naturalena eta osoena adibidez, axioma logiko berdinak inplika ditzake; axioma ez logikoek, aldiz, egitura bakoitzaren (edo egituren talde baten) berezitasunak bildu nahi dituzte. Hortaz, axioma ez logikoak ez dira tautologiak, logikoen antzera. Axioma ez logikoei ezartzen zaien beste izen bat ''postulatua'' da.