Fermaten azken teorema: berrikuspenen arteko aldeak

Benetako aurrerapena [[1844]]-47 bitartean heldu zen [[Ernst Kummer]]ren lanarekin. Honek zenbaki oso ziklotomikoak estudiatu zituen, hots, <math>a 0 + a 1w + ... + a n-1^{n-1}</math> erakoak, non a 0 , a 1 , ... , a n-1 osoak eta w = e^2þi/n (beraz, n = 1) diren. Zenbaki hauek, ohiko osoak bezala, [[zenbaki lehenetanlehen]]etan faktoriza daitezke, baina, ohikoekin ez bezala, kasu batzuetan faktorizazio bat baino gehiago egon daiteke zenbaki berarentzat. Ez zen hasieran arazo honetaz konturatu eta oker batzuk egin zituen, baina gero konpontzeko zenbaki idealen teoria sortu zuen alde batetik, eta klase gorputzak , bestetik. Faktorizazioa zein “txarra”''txarra'' izan daitekeen neurtzeko, klase-kopurua delako kontzeptua sartu zuen.<ref name="elhuyar"></ref>

Honekin lotuta, zenbaki lehen erregularrak definitu zituen eta hauentzat Fermaten azken teorema egia dela frogatu ere egin zuen. Zenbaki hauek ezagutzeko irizpide bat erakutsi zuen eta 100dik beherako zenbaki lehenetatik 37, 59 eta 67 bakarrik dira irregularrak. BapateanBat-batean ikaragarrizko aurrerapena eragin zuen Kummer-enKummerren berrikuntzak. 1850ean[[1850]]ean Frantziako Akademiak bigarrenez saria eskaini zuen arren, handik urte batzuetara kendu eta sari nagusiko urrezko domina Kummerri ematea erabaki zuten, Cauchy[[Augustin-kLouis Cauchy|Cauchyk]] proposatu bezala. Ehunen azpitik falta ziren kasuak aztertzeko metodoak garatu zituen gero Kummerrek, baina XX. mendearen hasieran [[Harry Vandiver-ek]]rek bete zituen hark utzitako zuloak.<ref name="elhuyar"></ref>