Wikipedia

Erlazio bitar: berrikuspenen arteko aldeak

Nabigazio historia interaktiboa
← Aurreko ezberdintasunaHurrengo ezberdintasuna →
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
IkusizkoaWikitestua
t →‎Propietateak: barne lotura zuzenketa: erlazio erreflexibo
No edit summary
1. lerroa:
<!--[[Matematika]]n, <math> R </math> '''erlazio bitarra''' [[matematika-erlazio]] bat da <math> A </math> eta <math> B </math> bi multzoen elementuen artean. Mota horretako erlazioa [[bikote ordenatu]]en bidez adierazten da, <math> (a,b)\in A \times B </math>:
: <math>
R =
\Big\{
(a,b): \; a \in A \quad \land \quad
b \in B \quad \land \quad
R(a,b) = \mbox{egiazkoa}
\Big\}
</math>
 
Ondorengo proposizioak zuzenak dira <math>R\,</math> erlazio bitarra adierazteko:
: <math>
a \mathcal{R} b
\qquad \mbox{edo} \qquad
R(a,b)
\qquad \mbox{edo baita ere} \qquad
(a,b) \in R
</math>
 
Honela ere adieraz daiteke:
: <math>
\mathcal{R} \; a \; b
</math>
 
[[Poloniar notazio]]an
 
== Adibidea ==
 
* [[Zenbaki erreal]]en multzoa <math> \mathbb{R} </math> emanda, planoko puntuen <math> P (x,y) </math> erlazio bitarra, non <math> y = 2 x^2 - 3x +5 </math> den, honela definitzen da:
: <math> P = \{ (x,y): \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \land \; y = 2 x^2 - 3x +5 \} </math>
 
== Ikus, gainera ==
 
{{Matematika-erlazioak}}
 
[[Kategoria:Matematika-erlazioak|Bitarra]]
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX-->
[[Matematika]]n, '''erlazio bitar''' bat <math>A</math> eta <math>B</math> [[multzo]]en [[elementu (multzo-teoria)|elementuen]] artean definitutako <math> \mathcal{R}</math> [[matematika-erlazio]] bat da.
 
119 ⟶ 82 lerroa:
 
=== Erlazio heterogeneoak ===
A eta B multzo biren arteko erlazioa heterogeneoa da A eta B multzoak multzo bera ez direnean:<ref>{{erreferentzia
|url= http://eneayudas.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=103&Itemid=132
|izenburua= RELACIÓN BINARIA
|añoacceso= 2010
|urtea= 2007
|hilabetea= 11
|hizkuntza= espainiera
}}</ref>
 
: <math>
228 ⟶ 184 lerroa:
<math>
R \subset A \times B
</math>|
 
Hori dela eta, multzo biren artean izan litezkeen erlazio bitarren kopurua estimatu ahal da.
299 ⟶ 255 lerroa:
 
''Kontuan hartu ardatz horizontalean abiaburu-multzoa irudikatzen dela eta bertikalean helburu-multzoa.''
 
 
=== Erlazio bitar homogeneoen propietateak ===
386 ⟶ 341 lerroa:
a \ne b
</math>
 
Adibidez, <math>\ge</math> (''baino txikiago edo berdin'') erlazioa antisimetrikoa da, eta baita <math>></math> (''baino txikiago'') erlazioa, baina bigarren kasu honetan definizioaren baldintza inoiz betetzen ez delako, hau da <math>( a > b \quad \land \quad b > a )</math> inoiz ez delako egia.
 
==== Propietate asimetrikoa ====
{{sakontzeko|Erlazio asimetriko}}
 
Erlazio bitar batek propietate asimetrikoa du <math>(a,b)</math> eta <math>(b,a)</math> bikote ordenatuak ezin direnean aldi berean erlaziokoak izan.
: <math>
\forall a,b \in A : \;
(a,b) \in R
\quad \longrightarrow \quad
(b,a) \notin R
</math>
 
Erlazio bitar batek bakarrik du propietate asimetrikoa aldi berean propietate antisimetrikoa eta irreflexiboa dituenean.<ref>{{erreferentzia|izena=Yves|abizena=Nievergelt|izenburua=Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography|argitaletxea=Springer-Verlag|urtea=2002|hizkuntza=en|orrialdea=[http://books.google.com/books?id=_H_nJdagqL8C&pg=PA158 158]}}.</ref>
Esate baterako, <math>></math> (''baino txikiago'') erlazioa asimetrikoa da, baina <math>\ge</math> (''baino txikiago edo berdin'') erlazioa ez.
 
==== Propietate iragankorra ====
430 ⟶ 401 lerroa:
 
Hau da <math>A</math> multzoaren <math>B</math> azpimultzo guztietan azpimultzo horien elementu txikiena den <math>m</math> elementu bat dago.
 
 
=== Erlazio bitar homogeneoen motak ===
{{Erlazio homogeneoen motak}}
Erlazio bitar homogeneoek izan ditzaketen propietateak kontuan hartuta, sailka daitezke erlazio horiek. Hemen nahiko interesgarriak diren batzuk aurkezten dira:
 
Erlazio bitar homogeneoek izan ditzaketen propietateen arabera sailka daitezke; sailkapena egiteko propietate bakar bat kontuan hatuz gero hurrengo motak dira gehien erabilitakoak:
<br clear=all>
{|
| [[Erlazio simetriko]]a
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio antisimetriko]]a
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; a \neq b \Rightarrow (b,a) \notin R </math>
|-
| [[Erlazio asimetriko]]a
|<math>
\forall a,b \in A : \;
(a,b) \in R
\quad \Rightarrow \quad
(b,a) \notin R
</math>
|-
| [[Erlazio erreflexibo]]a
| <math> \forall a\in A,\; (a,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio irreflexibo]]a
| <math> \forall a\in A,\; (a,a)\notin R </math>
|-
| [[Erlazio iragankor]]ra
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R </math>
|-
| [[Erlazio iragangaitz]]a
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\notin R </math>
|-
| [[Erlazio zirkular]]ra
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (c,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio oso]]a
| <math> \forall a, b \in A: \quad a R b \quad \or \quad b R a </math>
|}
 
Propietate bat baino gehiago kontuan hartuz gero sailkapen zehatzagoa egin daiteke, beste mota batzuk ere erabiliz.
 
Jarraian sailkapen zabalagoaren edo zehatzagoaren nahiko interesgarriak diren erlazio mota batzuei buruzko informazio gehigarria a agertzen da:
<!--<br clear=all>-->
 
==== Erlazio erreflexiboak ====
471 ⟶ 478 lerroa:
<!--[[Fitxategi:RelaRef 11.svg|120px|right]]-->
[[Fitxategi:RelaRef 21.svg|120px|right]]
<math>R</math> erlazioa [[koordenatu kartesiar|koordenatu cartesiar]]ren bidez ere, irudikatu ahal da.
 
Horretarako, ardatz horizontalean (abszisena) ezkerretik eskuinera abiaburu-multzoaren elementuak, ardatz bertikalean (ordenatuena) behetik gora helburu-multzoenak ''(kontuan izan erlazio homogeneotan abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa multzo berbera direla)'' eta bikote ordenatu bat erlazioarena bada koordenatu biak gurutzatzen diren gelaxkan gurutze bat jarriz ''(kontuan izanda bikotearen lehengo terminoa ardatz horizontalari dagokiola eta bigarrena ardatz bertikalari)''.
518 ⟶ 525 lerroa:
 
<math>A</math> multzoan ez dago bere buruarekin erlazionatuta dagoen edozein <math>a</math> elementurik.
 
 
[[Fitxategi:RelaRef 05.svg|200px|right]]
539 ⟶ 545 lerroa:
 
eta erlazioa irreflexiboa da.
 
 
[[Fitxategi:RelaRef 25.svg|120px|right]]
768 ⟶ 773 lerroa:
}}
 
<!--oojp-o->
Tomando un conjunto '''A''', formado, por ejemplo, por los elementos:
: <math>
A = \{ a, b, c \} \;
</math>
 
<math>A</math> multzoaren <math>P (A)</math> [[potentzia-multzo]]a edo <math>A</math> multzoaren '''parteen multzoa''' <math>A</math> multzoak dituen azpimultzo guztiez osatutako multzoa da:
: <math>
P (A) =
\Big\{
\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\},
\{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c \}
\Big\}
</math>
 
A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:
: <math>
A_1 = \{ \} \;
</math>
: <math>
A_2 = \{a\} \;
</math>
: <math>
A_3 = \{b\} \;
</math>
: <math>
A_4 = \{c\} \;
</math>
: <math>
A_5 = \{a, b\} \;
</math>
: <math>
A_6 = \{a, c\} \;
</math>
: <math>
A_7 = \{b, c\} \;
</math>
: <math>
A_8 = \{a, b, c\} \;
</math>
 
Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es [[Subconjunto]] del segundo:
: <math>
R =
\Big\{
(A_i , A_j )\in \; P (A)
: \quad
A_i \subseteq A_j
\Big\}
</math>
 
La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente ordenado, al ser reflexiva:
: <math>
\forall A_i \in P (A) : \;
A_i \subseteq A_i
</math>
 
Transitiva:
: <math>
\forall A_i, A_j, A_k \in P (A) : \;
\Big (
A_i \subseteq A_j
\quad \land \quad
A_j \subseteq A_k
\Big )
\longrightarrow \quad
A_i \subseteq A_k
</math>
 
Antisimetrica:
: <math>
\forall A_i, A_j \in P (A) : \;
\Big (
A_i \subseteq A_j
\quad \land \quad
A_j \subseteq A_i
\Big )
\longrightarrow \quad
A_i = A_j
</math>
Por lo que el '''conjunto de las partes de A''', respecto a la relación binaria '''pertenencia''' es un '''conjunto parcialmente ordenado'''.
 
Esta relación no es total dado que:
: <math>
\neg\forall (A_i, A_j) \in P (A) : \;
A_i \subseteq A_j
\quad \lor \quad
A_j \subseteq A_i
</math>
 
Que se denominan ''no comparables'', los pares de conjuntos no comparables son:
[[Fitxategi:OrdenParcial.svg|200px|right]]
: <math>
1. \;
\Big(\{a\}, \{b\} \Big) \notin R
\; : \quad
\{a\} \nsubseteq \{b\}
\; \land \;
\{b\} \nsubseteq \{a\}
</math>
: <math>
2. \;
\Big( \{a\}, \{c\} \Big) \notin R
\; :\quad
\{a\} \nsubseteq \{c\}
\; \land \;
\{c\} \nsubseteq \{a\}
</math>
: <math>
3. \;
\Big( \{b\}, \{c\} \Big) \notin R
\; :\quad
\{b\} \nsubseteq \{c\}
\; \land \;
\{c\} \nsubseteq \{b\}
</math>
: <math>
4. \;
\Big( \{a\}, \{b, c\} \Big) \notin R
\; : \quad
\{a\} \nsubseteq \{b, c\}
\; \land \;
\{b, c\} \nsubseteq \{a\}
</math>
: <math>
5. \;
\Big( \{b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
\; : \quad
\{b\} \nsubseteq \{a, c\}
\; \land \;
\{a, c\} \nsubseteq \{b\}
</math>
: <math>
6. \;
\Big( \{c\}, \{a, b\} \Big) \notin R
\; : \quad
\{c\} \nsubseteq \{a, b\}
\; \land \;
\{a, b\} \nsubseteq \{c\}
</math>
: <math>
7. \;
\Big( \{a, b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
\; : \quad
\{a, b\} \nsubseteq \{a, c\}
\; \land \;
\{a, c\} \nsubseteq \{a, b\}
</math>
: <math>
8. \;
\Big( \{a, b\}, \{b, c\} \Big) \notin R
\; : \quad
\{a, b\} \nsubseteq \{b, c\}
\; \land \;
\{b, c\} \nsubseteq \{a, b\}
</math>
: <math>
9. \;
\Big( \{a, c\}, \{b, c\} \Big) \notin R
\; : \quad
\{a, c\} \nsubseteq \{b, c\}
\; \land \;
\{b, c\} \nsubseteq \{a, c\}
</math>
 
A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial.<!-o-oojp-->
 
==== Ordena osoak ====
{{sakontzeko| Ordena osoa}}
 
<math>R</math> erlazio batek <math>A</math> multzo batean ordena-osoa sortzen du erlazioa erreflexibo, iragankor, antisimetriko eta osoa bada:
Partzialki ordenatua dagoen <math>A</math> multzo bat guztiz ordenatuta dago haren elementuen arteko erlazioak propietate erreflexiboa, iragankorra eta antisimetrikoa izateaz gain, osotasun-propietatea ere duenean.
 
{{teorema|<math>A</math> multzoaren elementuen arteko <math> R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}</math> erlazio bitar homogeneoak <math>A</math> multzoari '''ordena osoko'''ko egitura ematen dio hurrengo propietateak dituenean:
791 ⟶ 961 lerroa:
: <math> \forall a, b, c \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le c \Big ) \longrightarrow \quad a \le c</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(propietate iragankorra)
 
: <math> \forall a, b \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le a \Big ) \longrightarrow \quad a = b</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(propietate antisimetrikoa)
 
: <math> \forall a, b \in \Z : \; a \le b \quad \lor \quad b \le a</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(osotasun-propietatea)
797 ⟶ 967 lerroa:
==== Multzo ondo ordenatuak ====
{{sakontzeko|Multzo ondo ordenatua}}
Ordena osoko <math>A</math> multzo bat '''multzo ondo ordenatua''' da haren elementuen arteko erlazioa propietate erreflexibo, iragankor, antisimetriko eta osotasunekoaz hornitua izateaz gain, erlazio ondo sortua denean.
 
 
{{teorema|
861 ⟶ 1.030 lerroa:
[[Fitxategi:Correspon 0102.svg|180px|right]]
 
<math>A</math> eta <math>B</math> multzoen arteko erlazio bitar bat heterogeneo dela esaten da <math>A</math> eta <math>B</math> multzoak ezberdinak direnean:
: <math>
R (a,b): \;
872 ⟶ 1.041 lerroa:
|url= http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf
|izenburua= ÁLGEBRA Curso 2008/09
|sartze-datasartzedata= 2010
|egilea= José Juan Carreño Carreño
|urtea= 2008
881 ⟶ 1.050 lerroa:
}}</ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Notas de álgebra|editor=1|argitaletxea=Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones|urtea=2004|hizkuntza=es|isbn=978-84-9705-623-6|orrialdeak=18}}</ref>
 
Eskuinaldeko irudia erlazio bitar heterogeneo baten '''gezi-diagrama''' da, bertan haien elementuek erlazionatuta dituzten bi multzoak agertzen dira, erlazionatuta dauden elementuak aurreirudietatik irudietara doazen geziez lotuta daudela. <math>P</math> multzoan margo batzuekin hornitutako pintzelak agertzen dira eta <math>C</math> multzoan margo horiekin margotutako aurpegiak, eta aurpegi bakoitza bera margotzeko erabili daitezkeen pintzelekin lotuta dago.
: [[Fitxategi:Correspon 32.svg|120px]]
 
Baliteke margo bereko pintzelak edo aurpegiak egotea, baina multzoaren elementu desberdintzat hartu behar dira; pintzel edo aurpegi batzuk margo berekoak badira ezaugarri bera duten pintzel edo aurpegia ezberdinak dira.
=== Erlazio bitar heterogeneoen motak ===
 
Diagraman erlazioa definituta dagoen pintzelen <math>P</math> '''abiaburu-multzo'''a ikus dezakegu:
:{|
| <math> P = \{ \, </math>
| [[Fitxategi:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon P4.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon P1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
 
'''Abiaburu-multzo'''ko elementu guztiak ez daude erlazionatuta aurpegien multzoaren elementurekin. Erlazionatuta dauden elementuez osatuta dagoen multzoari '''aurreirudi-multzo''' deitzen zaio:
:{|
| <math> O = \{ \, </math>
| [[Fitxategi:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon P2.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon P1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
 
eta margotuta dauden aurpegien <math>C</math> '''helburu-multzo'''a:
:{|
| <math> C = \{ \, </math>
| [[Fitxategi:Correspon C0.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon C1.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
 
Erlazioan partaideak diren '''helburu-multzo'''ko elementuez osatutako multzoari '''irudi-multzo''' deitzen zaio.
:{|
| <math> I = \{ \, </math>
| [[Fitxategi:Correspon C2.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon C1.svg|30px]],
| [[Fitxategi:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
 
Erlazio bitarra hurrengo bikote ordenatuek osatzen dute:
:{|
| <math> R =\, \{( </math>
| [[Fitxategi:Correspon P2.svg|30px]], [[Fitxategi:Correspon C2.svg|30px]]
| <math> ) , \, ( </math>
| [[Fitxategi:Correspon P2.svg|30px]], [[Fitxategi:Correspon C2.svg|30px]]
| <math> ) , \, ( </math>
| [[Fitxategi:Correspon P1.svg|30px]], [[Fitxategi:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> ) , \, ( </math>
| [[Fitxategi:Correspon P1.svg|30px]], [[Fitxategi:Correspon C1.svg|30px]]
| <math> ) \}\, </math>
|}
 
: <math>
R (a,b): \;
(a,b)\in A \times A
</math> bezalako erlazio bitar homogeneo bat erlazio heterogeneo baten moduan ere aztertu ahal da, abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa ezberdinak izango balira legez. Beraz, erlazio homogeneoak bi modutara azter daitezke.
 
 
=== Erlazio bitar heterogeneoen propietateak ===
{{Korrespondentzia matematikoen motak}}
 
: <math>
R: A \rightarrow B
</math> erako erlazio bitar heterogeneo edo korrespondentzien azpimota batzuk aztertzeko daukaten garrantziagatik komeni da aurretik hurrengo propietateak (edo baldintzak) ikustea:
 
<br clear=all>
 
==== Irudien existentziaren baldintza ====
[[Fitxategi:Correspon 1002.svg|180px|right]]
 
Irudien existentziaren baldintza betetzen da <math>A</math> multzoaren <math>a</math> elementu guztiek <math>B</math> multzoan <math>b</math> irudi bat behintzat dutenean. Ez da nahikoa <math>B</math> multzoan irudi batzuk egotea, beharrezkoa <math>A</math> multzoaren elementu guztiek irudi bat gutxienez izatea:
: <math>
\forall a \in A: \;
\exists b \in B
\quad \land \quad
(a,b)\in R.
</math>
 
Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, <math>P</math> multzoaren pintzel guztiek irudi bat gutxienez daukatelako aurpegien <math>C</math> multzoan.
 
==== Aurreirudien existentziaren baldintza ====
[[Fitxategi:Correspon 0702.svg|180px|right]]
 
Aurreirudien existentziaren baldintza betetzen da <math>B</math> multzoaren <math>b</math> elementu guztiek <math>A</math> multzoan <math>a</math> aurreirudi bat behintzat dutenean. Ez da nahikoa <math>A</math> multzoan aurreirudi batzuk egotea, beharrezkoa <math>B</math> multzoaren elementu guztiek aurreirudi bat gutxienez izatea.:
: <math>
\forall b \in B: \;
\exists a \in A
\quad \land \quad
(a,b)\in R.
</math>
 
Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, <math>C</math> multzoaren aurpegi guztiek aurreirudi bat gutxienez daukatelako pintzelen <math>P</math> multzoan.
 
 
==== Irudi bakarreko baldintza ====
[[Fitxategi:Correspon 0502.svg|180px|right]]
 
Irudi bakarreko baldintza betetzen da <math>B</math> multzoan <math>b</math> irudia duten <math>A</math> multzoaren <math>a</math> elementu guztiek irudi bakar bat dutenean. Baldintza ez da irudi bakar bat egotea, irudia duten aurreirudiek irudi bakar bat edukitzea baino:
: <math>
\Big (
(a,b_1)\in R
\quad \and \quad
(a,b_2) \in R
\Big )
\longrightarrow \quad
b_1 = b_2.
</math>
 
Irudi bakarreko baldintzak irudia duten <math>A</math> multzoaren elementuek irudi bakarra dutela ziurtatzen du, baina ez <math>A</math> multzoaren elementu guztiek irudia dutenik.
 
Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, irudia duten <math>P</math> multzoaren pintzel guztiek irudi bakarra dutelako aurpegien <math>C</math> multzoan.
 
 
==== Aurreirudi bakarreko baldintza ====
[[Fitxategi:Correspon 0202.svg|180px|right]]
 
Aurreirudi bakarreko baldintza betetzen da <math>A</math> multzoan <math>a</math> aurreirudia duten <math>B</math> multzoaren <math>b</math> elementu guztiek aurreirudi bakar bat dutenean. Baldintza ez da aurreirudi bakar bat egotea, aurreirudia duten irudiek aurreirudi bakar bat edukitzea baino:
: <math>
\Big (
(a_1,b)\in R
\quad \and \quad
(a_2,b) \in R
\Big )
\longrightarrow \quad
a_1 = a_2.
</math>
 
Aurreirudi bakarreko baldintzak aurreirudia duten <math>B</math> multzoaren elementuek aurreirudi bakarra dutela ziurtatzen du, baina ez <math>B</math> multzoaren elementu guztiek aurreirudia dutenik.
 
Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, aurreirudia duten <math>C</math> multzoaren aurpegi guztiek aurreiirudi bakarra dutelako pintzelen <math>P</math> multzoan.
 
 
==== Eredu-galeria ====
Elkarrengandik independenteak diren lau baldintza horien arabera agertu ahal diren kasuen eredu batzuk ikusiko ditugu.
 
'''Abiaburu-multzo'''ak margo-tuturen <math>T</math> multzoak izango dira, '''helburu-multzo'''ak pintzelen <math>P</math> multzoak; eta erlazioak margoak bat etortzean oinarrituta egongo dira.
{| align="center"
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0101.svg|140px]]
|-
| align=center | Korrespondentzia
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| ez
|-
| Irudi bakarrak:|| ez
|-
| Aurreirudien existentzia:|| ez
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| ez
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0301.svg|140px]]
|-
| align=center | Korrespondentzia
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| bai
|-
| Irudi bakarrak:|| ez
|-
| Aurreirudien existentzia:|| ez
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| ez
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0201.svg|140px]]
|-
| align=center | K. uníbokoa
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| ez
|-
| Irudi bakarrak:|| bai
|-
| Aurreirudien existentzia:|| ez
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| ez
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0401.svg|140px]]
|-
| align=center | Aplikazioa
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| bai
|-
| Irudi bakarrak:|| bai
|-
| Aurreirudien existentzia:|| ez
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| ez
|}
|}
|-
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0901.svg|140px]]
|-
| align=center | Korrespondentzia
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| ez
|-
| Irudi bakarrak:|| ez
|-
| Aurreirudien existentzia:|| bai
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| ez
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 1101.svg|140px]]
|-
| align=center | Korrespondentzia
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| bai
|-
| Irudi bakarrak:|| ez
|-
| Aurreirudien existentzia:|| bai
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| ez
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 1001.svg|140px]]
|-
| align=center | K. unibokoa.
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| ez
|-
| Irudi bakarrak:|| bai
|-
| Aurreirudien existentzia:|| bai
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| ez
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 1201.svg|140px]]
|-
| align=center | A. Supraiektiboa
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| bai
|-
| Irudi bakarrak:|| bai
|-
| Aurreirudien existentzia:|| bai
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| ez
|}
|}
|-
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0501.svg|140px]]
|-
| align=center | Korrespondentzia
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| ez
|-
| Irudi bakarrak:|| ez
|-
| Aurreirudien existentzia:|| ez
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| bai
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0701.svg|140px]]
|-
| align=center | Korrespondentzia
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| bai
|-
| Irudi bakarrak:|| ez
|-
| Aurreirudien existentzia:|| ez
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| bai
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0601.svg|140px]]
|-
| align=center | K. biunibokoa
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| ez
|-
| Irudi bakarrak:|| bai
|-
| Aurreirudien existentzia:|| ez
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| bai
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 0801.svg|140px]]
|-
| align=center | A. Injektiboa
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| bai
|-
| Irudi bakarrak:|| bai
|-
| Aurreirudien existentzia:|| ez
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| bai
|}
|}
|-
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 1301.svg|140px]]
|-
| align=center | Korrespondentzia
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| ez
|-
| Irudi bakarrak:|| ez
|-
| Aurreirudien existentzia:|| bai
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| bai
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 1501.svg|140px]]
|-
| align=center | Korrespondentzia
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| bai
|-
| Irudi bakarrak:|| ez
|-
| Aurreirudien existentzia:|| bai
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| bai
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 1401.svg|140px]]
|-
| align=center | K. biunibokoa
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| ez
|-
| Irudi bakarrak:|| bai
|-
| Aurreirudien existentzia:|| bai
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| bai
|}
|}
|
{| border="1" cellspacing="0"
| [[Fitxategi:Correspon 1601.svg|140px]]
|-
| align=center | A. Bijektiboa
|-
|
{| align="center"
| Irudien existentzia:|| bai
|-
| Irudi bakarrak:|| bai
|-
| Aurreirudien existentzia:|| bai
|-
| Aurreirudi bakarrak:|| bai
|}
|}
|}
 
=== Erlazio bitar heterogeneoen motak ===
{{Korrespondentzia matematikoren motak}}
Erlazio bitar heterogeneoen artean hurrengo motak bereiz ditzakegu:
 
891 ⟶ 1.477 lerroa:
{{sakontzeko|korrespondentzia uníboko}}
 
Korrespondentzia bat unibokoa da irudi bakarreko baldintza betetzen denean:
{{teorema|
<math>
R: A \rightarrow B
</math> erlazio bitar heterogeneoa '''korrespondentzia unibokoa''' da hurrengo baldintza betetzen bada:
 
1.- Irudi bakarreko baldintza:
: <math>
\Big (
(a,b_1)\in R
\quad \and \quad
(a,b_2) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
b_1 = b_2.
</math>
}}
 
Baldintza hau beharrezkoa eta nahikoa da korrespondentzia unibokoa izan dadin.
 
==== Korrespondentzia biuníbokoak ====
896 ⟶ 1.501 lerroa:
 
Korrespondentzia bat biuníbokoa da (edo bana-banakoa) irudi bakarreko eta aurreirudi bakarreko baldintzak betetzen direnean:
{{teorema|
<math>
R: A \rightarrow B
</math> erlazio bitar heterogeneoa '''korrespondentzia biunibokoa''' da hurrengo baldintzak betetzen badira:
 
1.- Irudi bakarreko baldintza:
: <math>
\Big (
(a,b_1)\in R
\quad \and \quad
(a,b_2) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
b_1 = b_2.
</math>
 
2.- Aurreirudi bakarreko baldintza:
: <math>
\Big (
(a_1,b)\in R
\quad \and \quad
(a_2,b) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
a_1 = a_2.
</math>
}}
 
==== Aplikazioak ====
903 ⟶ 1.534 lerroa:
<math>A</math> eta <math>B</math> multzoen arteko <math>
R: A \rightarrow B
</math> korrespondentzia bati '''aplikazioa''' deitzen zaio <math>A</math>ren <math>a</math> elementu guztiek <math>b</math> irudi bakar bat badute <math>B</math> irudi-multzoan,<ref> {{erreferentzia |url= http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf |título= ÁLGEBRA Curso 2008/09 |añoacceso= 2010 |autor= José Juan Carreño Carreño |año= 2008 |mes= 10 |formato= pdf |páginas= 13 |idioma= español }}</ref><ref> {{erreferentzia |url= http://dmaii.etsii.upm.es/~mlopez/pdfs/a1tema1-0506.pdf |izenburua= Algebra I |sartze.data= 2013 |egilea= Mario López Gómez |urtea= 2005 |mes= 9 |formatua= pdf |orrialdeak= 5 |hizkuntza= es }} </ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Notas de álgebra|editor=1|argitaletxea=Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones|urtea=2004|hizkuntza=es|isbn=978-84-9705-623-6|orrialdeak=18}}</ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Matemática discreta|abizena=Gregori Gregori|izena=Valentín|abizena2=Ferrando|izena2=J. C.|argitaletxea=Editorial Reverté, S.A.|urtea=2011|edizioa=8|hizkuntza=es|isbn=978-84-291-5179-4|orrialdeak=48}}</ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Problemas de matemática discreta|abizena=Alegre Gil|izena=Carmen|abizena22=Martínez Pastor|izena2=Ana|abizena3=Pedraza Aguilera|izena3=M Carmen|argitaletxea=Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones.|urtea=1997|edizioa=1|hizkuntza=es|isbn=978-84-7721-495-3|orrialdeak=189}}</ref><ref>{{erreferentzia|izenburua=Álgebra moderna|abizena=Ayres|izena=Frank|argitaletxea=McGraw-Hill|urtea=1992|edizioa=1|hizkuntza=es|isbn=968-422-917-8|orrialde=6}}</ref> hau da irudi bakarreko baldintza eta irudien existentziaren baldintza betetzen badira.
 
: <math>
\begin{array}{rcl}
R : \; A & \to & B \\
a & \mapsto & b = R(a)
\end{array}
</math>
 
Aurreko lerro bietan agertzen den moduan irudikatuta dagoen erlazio bat aplikazio bat izan dadin <math>A</math> multzoaren <math>a</math> elementu guztiak <math>B</math> multzoaren <math>b</math> elementu bakar batekin egon behar dira erlazionatuta; eta notazioa matematikoa erabiliz honela adierazi ahal da:
: <math>
\forall a \in A
\, : \quad
\exists ! b \in B
\; / \quad
b = R(a)
</math>
 
: ''Abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa zenbakidunak direnean aplikazioei '''aplikazio''' deitu ordez askotan '''funtzio''' izena ematen zaie.''<ref>
{{erreferentzia|abizena=Gutiérrez Gómez|izena=Andrés|coautores=García Castro, Fernando|izenburua=Álgebra lineal|edición=1|urtea=1981|argitaletxea=Ediciones Pirámide, S.A.|hizkuntza=es|isbn=978-84-368-0174-3|capítulo=3.2. Aplicaciones o funciones|orrialdeak=131}}
</ref>
 
: ''Kopuru bi edo gehiagoren arteko erlazio edo korrespondentzia bati normalean '''funtzioa''' esaten zaio ''<ref>
{{erreferentzia
|url= http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
|izenburua= Monografias.com: Ayuda Matemáticas ESO.
|añoacceso= 2010
|egilea= Alejandro Carreiras
|orrialdeak= 2. Funciones
|hizkuntza= es
}}</ref>
 
: ''Ingelesez aplikazio bati'' '''mapping''' ''deitzen zaio, normalean'' '''map'''-''era laburbilduta.''<ref>
{{erreferentzia|abizena=Maravall Casesnoves|izena=Dario|izenburua=Diccionario de matematicas modernas|edición=2|urtea=1982|argitaletxea=Editorial nacional|hizkuntza=esisbn=84-276-1235-4}}
</ref>
 
{{teorema|
<math>
R: A \rightarrow B
</math> erlazio bitar heterogeneoa '''aplikazio''' bat da hurrengo baldintzak betetzen badira:
 
1.- Irudi bakarreko baldintza:
: <math>
\Big (
(a,b_1)\in R
\quad \and \quad
(a,b_2) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
b_1 = b_2.
</math>
 
2.- Irudien existentziaren baldintza:
: <math>
\forall a \in A: \;
\exists b \in B
\quad \land \quad
(a,b)\in R.
</math>
}}
 
==== Aplikazio injektiboak ====
{{sakontzeko|Aplikazio injektibo}}
 
Aplikazio bat injektiboa da aurreirudi bakarreko baldintza betetzen duen aplikazioa bada; beraz Aplikazio injektiboak irudi bakarreko, irudien existentziaren eta aurreirudi bakarreko baldintzak betetzen dituzten korrespondentziak dira.
{{teorema|
<math>
R: A \rightarrow B
</math> erlazio bitar heterogeneo bat '''aplikazio injektibo'''a da hurrengo baldintzak betetzen badira:
 
1.- Irudi bakarreko baldintza:
: <math>
\Big (
(a,b_1)\in R
\quad \and \quad
(a,b_2) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
b_1 = b_2.
</math>
 
2.- Irudien existentziaren baldintza:
: <math>
\forall a \in A: \;
\exists b \in B
\quad \land \quad
(a,b)\in R.
</math>
 
3.- Aurreirudi bakarreko baldintza:
: <math>
\Big (
(a_1,b)\in R
\quad \and \quad
(a_2,b) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
a_1 = a_2.
</math>
}}
 
Beraz, Aplikazio injektiboa aurreirudi bakarreko baldintza betetzen duen aplikazioa dela esan dezakegu; baina, baita ere, irudien existentziaren baldintza betetzen duen korrespondentzia biunibokoa.
 
==== Aplikazio supraiektiboak ====
{{sakontzeko|Aplikazio supraiektibo}}
 
Aplikazio bat supraiektiboa da aurreirudien existentziaren baldintza betetzen duen aplikazioa bada; beraz Aplikazio injektiboak irudi bakarreko, irudien existentziaren eta aurreirudien existentziaren baldintzak betetzen dituzten korrespondentziak dira.
 
{{teorema|
<math>
R: A \rightarrow B
</math> erlazio bitar heterogeneo bat '''aplikazio supraiektibo'''a da hurrengo baldintzak betetzen badira:
 
1.- Irudi bakarreko baldintza:
: <math>
\Big (
(a,b_1)\in R
\quad \and \quad
(a,b_2) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
b_1 = b_2.
</math>
 
2.- irudien existentziaren baldintza:
: <math>
\forall a \in A: \;
\exists b \in B
\quad \land \quad
(a,b)\in R.
</math>
 
3.- Aurreirudien existentziaren baldintza:
: <math>
\forall b \in B: \;
\exists a \in A
\quad \land \quad
(a,b)\in R.
</math>
}}
 
 
917 ⟶ 1.679 lerroa:
{{sakontzeko|Aplikazio bijektibo}}
 
KorrespondentziaAplikazio bat aplikazio bijektiboa da aldi berean aplikazio injektiboa eta supraiektiboa denean. Beraz, aplikazio bijektiboa irudi bakarreko, irudien existentziaren, aurreirudi bakarreko eta aurreirudien existentziaren baldintzak betetzen badira:dituen korrespondentzia da.
{{teorema|<math>A</math> eta <math>B</math> multzoen arteko <math>
R: A \rightarrow B
</math> erlazio bitar heterogeneo bat '''aplikazio bijektibo'''a da, hurrengo baldintzak betetzen direnean:
 
1.- Irudi bakarreko baldintza:
Aplikazio bat bijektiboa da aldi berean injektiboa eta supraiektiboa bada.
: <math>
\Big (
(a,b_1)\in R
\quad \and \quad
(a,b_2) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
b_1 = b_2.
</math>
 
2.- Irudien existentziaren baldintza:
: <math>
\forall a \in A: \;
\exists b \in B
\quad \land \quad
(a,b)\in R.
</math>
 
3.- Aurreirudi bakarreko baldintza:
: <math>
\Big (
(a_1,b)\in R
\quad \and \quad
(a_2,b) \in R
\Big )
\quad \longrightarrow \quad
a_1 = a_2.
</math>
 
4.- Aurreirudien existentziaren baldintza:
: <math>
\forall b \in B: \;
\exists a \in A
\quad \land \quad
(a,b)\in R.
</math>
}}
 
== Propietateak ==
Erlazio bitarrek hurrengo propietateak izan ditzakete, baina ez dituzte nahitaez izan behar. Dituzten propietateen arabera ''R'' erlazioak izan litezke:
{|
| [[Erlazio simetriko]]a
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio antisimetriko]]a
| <math> \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; a \neq b \Rightarrow (b,a) \notin R </math>
|-
| [[Erlazio erreflexibo]]a
| <math> \forall a\in A,\; (a,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio irreflexibo]]a
| <math> \forall a\in A,\; (a,a)\notin R </math>
|-
| [[Erlazio iragankor]]ra
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R </math>
|-
| [[Erlazio iragangaitz]]a
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\notin R </math>
|-
| [[Erlazio zirkular]]ra
| <math> \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (c,a)\in R </math>
|-
| [[Erlazio oso]]a
| <math> \forall a, b \in A: \quad a R b \quad \or \quad b R a </math>
|}
 
== Ikus, gainera ==
969 ⟶ 1.744 lerroa:
=== Kanpoko loturak ===
* [http://www.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/material/relaciones.pdf Relación]
 
 
 
"https://eu.wikipedia.org/wiki/Erlazio_bitar"(e)tik eskuratuta