|
[[Fitxategi:Binomial Distribution.PNG|thumb|400px|Hiru '''banakuntzabanaketa binomial''' desberdin irudikatzen dituen grafikoa. 20 pieza ekoiztuta, izandako pieza akastunen kopuruak (ardatz horizontalean) eta kopuru horri dagokion probabilitateak (zutabeen altuera) zehazten dira. Hiru banakuntzabanaketa binomialak pieza bakoitza akastun izateko ''p'' probabilitateaz bereizten dira: banakuntzabanaketa urdinean ''p'' probabilitate hori 0.1 da eta beraz 20×0.1=2 da probabilitate handieneko akastun kopurua; banakuntzabanaketa berdean ''p=0.5'' eta beraz 20×0.5=10 da akastun kopuru litekeena da; banakuntzabanaketa gorrian, azkenik, ''p=0.8'' betetzen da.]]
[[Probabilitate teoria]]n, '''banakuntzabanaketa binomiala''' ''bai'' edo ''ez'' motako emaitzak (''arrakasta'' edo ''porrota'' ere esaten da) izan ditzakeen segida batean, [[Bernoulli prozesu]] batean hain zuzen, suertatzen diren baiezko edo arrakastazko emaitzen kopuruaren [[probabilitate banakuntzabanaketa]] da. Adibidez, [[dado]] bat 8 aldiz botatzerakoan 2 zenbakia atera den aldi kopuruari, jaiotako 200 umeetatik mutiko kopuruari nahiz 20 piezetan pieza akastunen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzean banakuntzabanaketa binomiala erabiltzen da<ref group=ohar>Ohartarazi behar da ''arrakasta'' edo ''porrot'' izendapenek ez dutela zerikusirik praktikan gertakizun bat aldeko edo aurkako izatearekin. Adibidez, pieza segida batean akastun kopurua zenbatzen da, ''arraskata'' eta ondorioz ''p'' probabilitatea duen emaitza ''akastuna'' da, pieza akastuna kaltegarria izaten den arren.</ref>. Banakuntza binomiala erabiltzeko ezinbesteko baldintza saiakuntza ezberdinen arteko [[independentzia (probabilitatea)|independentzia]] da, saiakuntza guztietan ''bai'' izateko probabilitatea konstantea izatearekin batera. Banakuntza binomialak bi parametro ditu; izan ere, probabilitateak kalkulatzeko aski dira ''n'' saiakuntza kopurua eta ''p'' aldi bakoitzean ''arrakasta'' suertatzeko probabilitatea. Hain zuzen, ''B(n,p)'' adierazten da labur banakuntzabanaketa binomiala. Aplikazioei dagokienean, [[zorizko laginketa itzuleradun]]ean probabilitateak kalkulatzeko oinarria da. Halaber, banakuntzabanaketa binomiala [[froga binomial]]a burutzeko erabiltzen da.
== Definizioa eta ezaugarriak ==
[[Fitxategi:Galton board 0001.svg|thumb|right|280px|[[Galtonen taula]] batean, non aldi bakoitzean ezkerrera (Leon) edo eskubira (Kastillo) egiten den, pilota horia dagoen gelaskan bukatzeko lau ibilbide posibleak, kolore desberdinekin irudikatuta. '''Banakuntza binomialak''' gelaska jakin batean amaitzeko [[probabilitate]]a kalkulatzen du, aukerako ibilbide bakoitzaren probabilitateak batuz, triangeluen lerro kopuru (''n'' parametroa, alegia) eta triangelu bakoitzean leon edo kastillo egiteko probabilitate finko (''p'' parametroa) jakinetarako.]]
Banakuntza binomiala, labur <math>\scriptstyle B(n,p)</math> adierazten dena, [[probabilitate funtzio]] honi jarraiki banatzen den [[probabilitate banakuntzabanaketa]] da, ''n'' saiakuntzako [[Bernoulli prozesu]] batean, ''x'' arrakasta izateko probabilitatea ematen duena, ''p'' saiakuntza bakoitzean ''arrakasta'' izateko probabilitatea eta <math>\scriptstyle {n \choose x}</math> [[koefiziente binomial]]a izanik:<ref group=ohar>''Ez'' edo ''porrota'' suertatzeko probabilitatea ''q=1-p'' ere adierazi ohi da.</ref>:
::<math>P(X = x;n,p) = {n\choose x}p^xq^{n-x}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^x(1-p)^{n-x}\ \ ; \ \ x=0,1,2,\ldots,n</math>
=== Itxaropen matematikoa ===
''B(n,p)'' banakuntzabanaketa binomialaren [[itxaropen matematiko]]a edo batezbestekoa hau da:
::<math>E[X]=np</math>
|Frogapen sinplea
|ta2=left
|<math>\scriptstyle Y \sim B(n,p)</math> banakuntzabanaketa <math>\scriptstyle X_i \sim b(p)</math> motako ''n'' banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren itxaropena ''p'' denez (ikus [[Banakuntza binomial#Erlazioak beste banakuntzekin|Erlazioak beste banakuntzekin, 2. puntua)]]:
=== Bariantza ===
''B(n,p)'' banakuntzabanaketa binomialaren [[bariantza]] hau da:
::<math>var[X]=npq</math>
|Frogapen sinplea
|ta2=left
|<math>\scriptstyle Y \sim B(n,p)</math> banakuntzabanaketa <math>\scriptstyle X_i \sim B(n,p)</math> motako ''n'' [[Bernoulliren banakuntzabanaketa|Bernoulliren banakuntzen]] batura denez eta azken hauetako bakoitzaren bariantza ''pq'' denez:
== Erlazioak beste banakuntzekin ==
[[Fitxategi:Binomial bernoulli 001.svg|thumb|right|500px|'''''B(n,p)'' banakuntzabanaketa binomiala''' ''p'' parametriko ''n'' [[Bernoulliren banakuntzabanaketa]]ren batura: irudian ikus daitekeenez, Bernoulliren banakuntzarenbanaketaren 0/1 (zuri/beltza) emaitzen batura, 6 banakuntzatarakobanaketatarako, 1 (beltza) emaitza p probabilitateaz gertatzen delarik, 6 saiakuntzetan zenbat beltz agertzen diren adierazten du, zeina banakuntzabanaketa binomial bati jarraiki banatzen den.]]
* [[Bernoulliren banakuntzabanaketa]] banakuntzabanaketa binomial bat besterik ez da, ''n=1'' izanik:
::<math>b(p):=B\big(1,p\big)</math>
* ''B(n,p)'' banakuntzabanaketa binomiala ''p'' parametroko ''n'' Bernoulliren banakuntzen batura da:
::<math>B(n,p):=\underbrace{b(p)+b(p)+\ldots+b(p)}_n</math>
* Banakuntza binomiala batukortasunez egonkorra da, ''p'' parametroa konstantea bada; hots, ''p'' parametroko banakuntzabanaketa binomial bi edo gehiagoren batura ''p'' banakuntzabanaketa binomial bati jarraiki banatzen da:
::<math>X \sim B\big(m,p\big);\ Y \sim B(n,p) \rightarrow X+Y \sim B(m+n,p)</math>
* [[De Moivre-Laplace teorema]]ren arabera, ''n'' parametroa aski handia bada (''n>30'' ezarri ohi da), banakuntzabanaketa binomiala oso [[alborapen neurri|alboratua]] ez bada (horretarako, ''np'' eta ''n(1-p)'' balioak 5 baino handiagoak izatea ezarri ohi da) eta behar bezalako [[jarraitasun zuzenketa]] egiten bada, [[banakuntzabanaketa normal]]a erabil daiteke probabilitate binomialen hurbilketarako:
::<math>B(n,p)_{n \rightarrow \infty} \approx N\big(\mu=np,\ \sigma=\sqrt{np(1-p)}\big)</math>
* Banakuntza binomiala [[Poissonen banakuntzabanaketa]]ra hurbiltzen da, ''n'' saiakuntza kopurua infiniturantz doanean, ''np'' biderkadura konstante mantentzen bada. Zehatzago, ''B(n,p)'' banakuntzabanaketa bateko hurbilketa gisa ''λ=np'' parametroko Poissonen banakuntzabanaketa erabil daiteke, ''n'' aski handia eta ''p'' aski txikia bada:
::<math>B(n,p)_{(n \rightarrow \infty,\ p \rightarrow 0,\ np \rightarrow \lambda)} \approx P(\lambda=np)</math>
:''n ≥ 20'' eta ''p ≤ 0.05'' balioetarako zehaztasun onargarriko hurbilketatzat jo ohi da.
| 