«Banaketa binomial»: berrikuspenen arteko aldeak

ez dago edizio laburpenik
\end{align}
</math>
}}{{kaxa zabalkorra
|Frogapen luzea
|ta2=left
|Jarraian frogapen luzea egiten da bariantzaren definizioa eta [[Newtonen binomio]]a erabiliz.
 
Alde batetik,
::<math>\sigma^2=E[X^2]-E[X]^2=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2</math>
 
<math>\scriptstyle E[X(X-1)]</math> garatuko da orain:
 
 
::<math>\begin{align}
E[X(X-1)] & = \sum_{i=0}^nx(x-1)p(x)\\
& =\sum_{x=0}^nx(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\
& =\sum_{x=0}^nx(x-1)\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\
& =\sum_{x=2}^n\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\
& =n(n-1)p^2\sum_{x=2}^n\frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^{x-2}(1-p)^{n-x}\ \ \ (y=x-2;\ m=n-2)\\
& =n(n-1)p^2\sum_{y=0}^m\frac{m!}{y!(m-y)!}p^y(1-p)^{m-y}\\
& =n(n-1)p^2(p+(1-p))^m\\
& =n(n-1)p^2\\
\end{align}
</math>
 
Bariantzara itzuliz eta itaropena ''np'' dela kontuan hartuz:
 
::<math>\sigma^2=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2=n(n-1)p^2+np-(np)^2=np-np^2=np(1-p)=npq</math>
 
}}
 
48.195

edits