Königsbergeko zazpi zubietako ebazkizuna: berrikuspenen arteko aldeak

== Euler-enEulerren azterketa ==

Ibilbide bateko abiapuntuan eta helmugan ezik, erpin batera sartu ondoren, atera ere egin behar da. Beraz, ibilbide batean erpin batera heltzen den aldi kopurua bat dator, muturretako erpinetan ezik, erpin batetik ateratzen den aldi kopuruarekin. Beraz, zubiak edo ertzak behin bakarrik zeharkatu behar badira, erpin guztietako mailak bikoitiak izan behar dira, muturreko erpinetan ezik. Erpin berean hasi eta bukatu nahi bada, Euler-enEulerren zirkuitua osatu nahi bada alegia, abiapuntuko eta helmugako erpineko maila ere bikoitia izan beharko da.

Zazpi zubietako ebazkizunean, zazpi zubietako mapari dagokion grafoko lau erpinak maila bakoitikoak direnez, ezin da osatu Euler-enEulerren zirkuiturik, ez eta Euler-enEulerren ibilbiderik ere, hau da ezin dira zeharkatu zazpi zubiak zubirik errepikatu gabe.

Azterketa honetatik Euler-enEulerren teorema sortzen da. Ertzak behin bakarrik zeharkatzen dituen ibilbide bati '''ibilbide eulertar''' deritzo. Ibilbide eulertarra izateko, abiapuntuan eta helmugan ezik (bi erpinetan ezik, alegia), beste erpin guztietako mailak bikoitiak izan behar dira. Erpin berean hasi eta bukatzen bada, '''zirkuitu eulertarra''' dagoela esaten da, kasu honetan erpin guztietako mailak (abiapuntua eta helmuga barne) bikoitiak direlarik.