Zerrenda:Integralak: berrikuspenen arteko aldeak
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
No edit summary |
|||
106. lerroa:
* [[Alderantzizko funtzio hiperbolikoen integralen zerrenda]]
== Jatorrizko itxiak ez dituzten integral mugatuak ==
Hi ha funcions les primitives de les quals ''no es poden'' expressar en una forma tancada (no es poden expressar com a composicions, sumes i multiplicacions de funcions racionals, irracionals, exponencials, logarítmiques, trigonomètriques i inverses de les funcions trigonomètriques). En canvi, els valors de les integrals definides d'aquestes funcions sobre alguns intervals comuns, es poden calcular simbòlicament i obtenir-ne un valor exacte. Tot seguin se'n donen unes quantes d'utilitats.
:<math>\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> (ikusi [[Gamma funtzio]]a ere)
:<math>\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> ([[Gauss-en integral]]a)
:<math>\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}</math> (ikusi [[Bernoulli-ren zenbaki]]a ere)
:<math>\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}</math>
:<math>\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>
:<math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}</math> (si ''n'' és un enter senar i <math> \scriptstyle{n \ge 2}</math>)
:<math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}</math> (si <math> \scriptstyle{n} </math> és un enter parell i <math> \scriptstyle{n \ge 3} </math>)
:<math>\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)</math> (non <math>\Gamma(z)</math> [[Gamma funtzio]]a den)
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]</math> (non <math>\exp[u]</math> [[funtzio esponentzial]]a <math>e^u</math> den, eta <math>a>0</math>)
:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)</math> (non <math>I_{0}(x)</math> lehen klaseko [[Bessel-en funtzio]] aldatua den)
:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) </math>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,</math>, <math>\nu > 0\,</math>, aquesta integral està relacionada amb la [[funció densitat de probabilitat]] de la [[distribució t de Student]])
El [[mètode d'exhaustió]] subministra una fórmula per al cas general quan no existeix una primitiva:
:<math>\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} )</math>
: <math>
\int_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x =
\int_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm{d}x =
\int_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm{d}x =
\frac{a-b}{\ln a - \ln b}</math> <math>a > 0,\ b > 0,\ a \ne b</math> izanik, [[batez besteko logaritmiko]]a dena
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}</math>
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math> ([[Gauss-en integral]]a)
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{2bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)</math>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x=b \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)</math>
:<math>\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x =
\begin{cases}
\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\
\frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{zenbaki osoa}, a>0) \\
\frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{zenbaki osoa}, a>0)
\end{cases} </math> (!! [[Faktorial bikoitz]]a da)
:<math>\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x =
\begin{cases}
\frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\
\frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\
\end{cases}</math>
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)</math>
:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)</math>
:<math>\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)</math>
:<math>\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)</math>
=== "[[Sophomore-ren ametsa]]" ===
:<math>\begin{align}
\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} &&(= 1.291285997\dots)\\
\int_0^1 x^x \,dx &= \sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712\dots)
\end{align}</math>
Ustezko egilea [[Johann Bernoulli]] da.
[[Kategoria:Kalkulu integrala]]
| |||