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'''geometria aljebraikoa''' [[matematika]]ren adar bat da, eta bere izenak adierazten duen bezala, [[aljebra abstraktua]] eta bereziki [[aljebra trukakorra]], [[geometria]]rekin konbinatzen du. Nolabait esateko, '''ekuazio aljebraikoen''' sistemen [[emaitzen multzo|emaitzen multzoak]] aztertzen ditu. Aldagai bat baino gehiago dagoenean, gertakaria ulertzeko garrantzitsuak diren kontsiderazio geometrikoak agertzen dira. [[ekuazio|ekuazioen ebazpen]] soiletik harantzago joan nahi dugunean hasten dela hemen aztertu nahi dugun gaia esan dezakegu, eta ebazpen guztiak "ulertzearen" arazoa, ebazpenen bat aurkitzearena bezain garrantzitsu bilakatzen da. Horrek matematika munduaren "urik sakonenetara" eramango gaitu, kontzeptualki zein teknikoki.
== Kanpoko erreferentziak ==
=== Ceros de polinomios simultáneos ===
Liburu klasiko bat:
En la geometría algebraica clásica, el principal objeto de interés son los conjuntos donde se anula cierta colección de [[polinomio]]s, lo que quiere decir, el conjunto de todos los puntos que satisfacen simultáneamente una o más ecuaciones polinomiales. Por ejemplo, la [[esfera]] de dos dimensiones en el [[espacio euclídeo]] de tres dimensiones '''R'''³ se puede definir como el conjunto de todos los puntos (''x'', ''y'', ''z'') tales que
:<math>x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 </math>
Un círculo "inclinado" en '''R'''³ puede definirse como el conjunto de todos los puntos (''x'', ''y'', ''z'') que satisfacen las dos ecuaciones polinomiales siguientes
:<math>x^{2}+ y^{2} + z^{2} - 1 = 0 </math>
:<math>x + y + z=0</math>
=== Variedades afines ===
Comenzamos en primer lugar con un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] ''k''. En geometría algebraica clásica, este cuerpo fue siempre '''C''', los números complejos, pero muchos de los resultados son también ciertos si sólo asumimos que ''k'' es [[cuerpo algebraicamente cerrado|algebraicamente cerrado]]. Definimos <math>{\mathbb A}^n_k</math>, llamado '''n-espacio afín sobre k''', como ''k<sup>n</sup>''. Esto puede parecer una notación inútil, pero su propósito es olvidar la estructura vectorial que porta ''k<sup>n</sup>''. Abstractamente hablando, <math>{\mathbb A}^n_k</math> es, de momento, solamente una colección de puntos.
Por tanto, en adelante eliminaremos la ''k'' en <math>{\mathbb A}^n_k</math> y escribiremos <math>{\mathbb A}^n</math>.
Diremos que una función <math>f:{\mathbb A}^n\to{\mathbb A}^1</math> es '''regular''' si puede escribirse mediante un polinomio, esto es, si existe un polinomio p sobre k [x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>] tal que para cada punto (t<sub>1</sub>,...,t<sub>n</sub>) de <math>{\mathbb A}^n</math>, f(t<sub>1</sub>,...,t<sub>n</sub>)=p(t<sub>1</sub>,...,t<sub>n</sub>). Las funciones regulares sobre el n-espacio afín son de esta manera lo mismo que los polinomios sobre ''k'' en n variables. Escribiremos las funciones regulares sobre <math>{\mathbb A}^n</math> como <math>k[{\mathbb A}^n]</math>.
Diremos que un polinomio ''se anula'' en un punto si al evaluarlo en él el resultado es cero. Sea S un conjunto de polinomios en <math>k[{\mathbb A}^n]</math>. El ''conjunto anulador de S'' (o ''locus anulador'') es el conjunto V(S) de todos los puntos en <math>\mathbb{A}^n</math> donde cada polinomio de S se anule. En otras palabras,
:<math>V(S)=\{u \in {\mathbb A}^n| \forall P \in S, P(u)=0\}</math>
Un subconjunto de <math>{\mathbb A}^n</math> que es un V(S) para algún S se llama '''conjunto algebraico afin'''. La V se refiere a la inicial de ''variedad''. En muchos textos no existe diferencia entre '''variedad algebraica afin''' y conjunto algebraico afin, sin embargo es usual referirse a V(S) como variedad algebraica afin cuando no se puede expresar como unión de dos subconjuntos algebraicos afines propios (contenidos en el sentido estricto). En cualquier caso, esta última definición coincide con la de '''conjunto algebraico afin irreducible'''. De forma que, en determinados textos, las nociones de ''variedad'' e ''irreducibilidad'' son equivalentes.
Dado un conjunto V de <math>{\mathbb A}^n</math> del que sepamos que es una variedad, sería deseable determinar el conjunto de polinomios que lo genera, aunque haremos una definición para un caso más general: si V es cualquier subconjunto de <math>{\mathbb A}^n</math> (no necesariamente una variedad), definimos I(V) como el conjunto de todos los polinomios cuyo conjunto anulador contiene a V. La I esta vez es por [[Ideal]]: si tengo dos polinomios ''f'' y ''g'' y los dos se anulan en V, entonces ''f''+''g'' también se anula en V, y si ''h'' es cualquier polinomio, entonces ''hf'' se anula en V, así que I(V) es siempre un ideal de <math>k[{\mathbb A}^n]</math>.
Dos cuestiones que se plantean ahora son: si tenemos un subconjunto V de <math>{\mathbb A}^n</math>, ¿cuándo es V=V(I(V))? Y, si tenemos un conjunto de polinomios, S, ¿cuándo es S=I(V(S))? La respuesta a la primera cuestión la provee la introducción de la [[topología de Zariski]], una topología en <math>{\mathbb A}^n</math> que refleja directamente la estructura algebraica de <math>k[{\mathbb A}^n]</math>. Entonces V=V(I(V)) [[si y sólo si]] V es un conjunto Zariski-cerrado. La respuesta a la segunda cuestión viende dada por la ''[[Hilbert Nullstellensatz]]''. En una de sus formas, dice que S=I(V(S)) es el [[ideal radical]] del ideal generado por S.
Por varias razones no siempre queremos trabajar con todo el ideal correspondiente a un conjunto algebraico V. El [[teorema de la base de Hilbert]] implica que los ideales en <math>k[{\mathbb A}^n]</math> siempre se generan finitamente.
Entonces se tiene que un conjunto algebraico es una ''irreducible'' (o en algunos casos simplemente ''variedad'') si y sólo si los polinomios que lo definen generan un [[ideal primo]] del anillo de polinomios.
=== Funciones regulares ===
Al igual que las [[función continua|funciones continuas]] son las aplicaciones naturales en los [[Espacio Topológico|espacios topológicos]] y las [[función suave|funciones suaves]] son las aplicaciones (morfismos) naturales en las [[Variedad Diferenciable|variedades diferenciables]], existe una clase natural de funciones sobre un conjunto algebraico, llamadas ''regulares''. Una '''función regular''' sobre un conjunto algebraico V contenido en <math>{\mathbb A}^n</math> está definida como la restricción de una función regular en <math>{\mathbb A}^n</math>, en el sentido definido arriba.
Puede parecer antinaturalmente restrictivo el requerir que una función regular siempre se extienda al espacio ambiente, pero esta situación es muy similar a la que se da en un [[Espacio Normal|espacio topológico normal]], donde el [[teorema de extensión de Tietze]] garantiza que una función continua en un subconjunto cerrado siempre puede extenderse al espacio topológico ambiente.
Al igual que las funciones regulares en un espacio afín, las funciones regulares en V forman un anillo, que denotamos como k[V]. A este anillo se le llama el '''anillo coordenado de V'''.
Ya que las funciones regulares en V provienen de las funciones regulares en <math>{\mathbb A}^n</math>, debería haber una relación entre sus anillos coordenados. Específicamente, cogiendo una función de k[V] lo estamos haciendo en <math>k[{\mathbb A}^n]</math>, y dijimos que era la misma que otra función si daban los mismos valores cuando las evaluávamos en V. Esto es lo mismo que decir que su diferencia es cero en V. De esto podemos ver que k[V] es el cociente <math>k[{\mathbb A}^n]/I(V)</math>.
=== La categoría de las variedades afines ===
Usando las funciones regulares desde una variedad afín a <math>{\mathbb A}^1</math>, podemos definir las funciones regulares de una variedad afín a otra. Primero definiremos una función regular de una variedad a un espacio afín: sea V una variedad contenida en <math>{\mathbb A}^n</math>. Elige ''m'' funciones regulares en V, y llámalas f<sub>1</sub>,...,f<sub>m</sub>. Definimos una '''función regular''' f de V a <math>{\mathbb A}^m</math> mediante f(t<sub>1</sub>,...,t<sub>n</sub>)=(f<sub>1</sub>,...,f<sub>m</sub>). En otras palabras, cada f<sub>i</sub> determina una coordenada del [[Rango de un Función|rango]] de f.
Si V es una variedad contenida en <math>{\mathbb A}^m</math>, decimos que f es una '''función regular''' de V a V' si el rango de f está contenido en V.
Esto convierte a la colección de todas las variedades afines en una [[Teoría de categorías|categoría]], cuyos objetos son variedades afines y cuyos [[morfismo]]s son las aplicaciones regulares. El teorema siguiente caracteriza esta categoría:
: La categoría de variedades afines es la [[Dual (Teoría de categorías)|dual]] de la categoría de las k-[[Álgebra sobre un cuerpo|álgebras]] [[Reducido (Teoría de anillos)|reducidas]] y finitamente generadas, y sus homomorfismos.
=== Espacio proyectivo ===
Considérese la variedad V(y=x²). Si la dibujamos obtenemos una [[parábola (matemática)|parábola]]. Según x crece, vemos que la pendiente de la línea que va desde el origen hasta el punto (x,x²) se hace más y más grande. Según x decrece, la pendiente de la misma se hace más y más pequeña.
Comparemos esto con la variedad V(y=x³). Ésta es una [[ecuación cúbica]]. Según x crece, la pendiente de la línea desde el origen hasta el punto (x,x³) se hace mayor, como antes. Pero, al contrario que en la anterior, según x decrece, la pendiente de la misma línea se hace mayor. Así que el comportamiento "al infinito" de V(y=x³) es diferente del de V(y=x²). Sin embargo, es difícil dar sentido al concepto de "al infinito", si nos restringimos al espacio afín.
El remedio a esto es trabajar en el [[espacio proyectivo]], que tiene propiedades análogas a las de un [[espacio de Hausdorff]] [[Espacio Compacto|compacto]]. Entre otras cosas, nos permite hacer precisa la noción de "al infinito" mediante la inclusión de puntos extra. El comportamiento de una variedad en aquellos puntos extra nos da más información sobre ella. Y se ve que V(y=x³) tiene una [[Singularidad Matemática|singularidad]] en uno de aquellos puntos extra, pero V(y=x²) es suave.
Los primeros geómetras algebraicos se dieron cuenta rápidamente de que el espacio proyectivo tiene propiedades mucho mejores que el afín ordinario. Por ejemplo, el [[Teorema de Bézout]] sobre el número de puntos de intersección entre dos variedades puede ser mostrado en su forma más afilada sólo en el espacio proyectivo. Por esta razón, este espacio tiene un papel fundamental en la geometría algebraica.
=== El punto de vista moderno ===
El estudio moderno de la geometría algebraica redefine los objetos básicos de su estudio. Las variedades quedan subsumidas en el concepto de [[Esquema (matemática)|esquema]], de [[Alexander Grothendieck]]. Éste viene de la observación de que si las k-álgebras reducidas finitamente generadas son objetos geométricos, entonces quizás cualquier anillo conmutativo podría serlo. Como se comprueba así, éste es un nuevo punto de vista muy fructífero, y es la base para toda la investigación moderna en geometría algebraica.
=== Notas e historia ===
Una clase importante de variedades son las [[Variedad Abeliana|variedades abelianas]], que son aquellas cuyos puntos forman un [[Teoría de grupos|grupo]].
Los ejemplos prototípicos son las [[curvas elípticas]], que fueron un instrumento fundamental para la prueba del [[último teorema de Fermat]] y se usan también en [[criptografía con curvas elípticas]].
Mientras que mucha de la geometría algebraica trata de proposiciones abstractas y generales sobre variedades, también se han desarrollado los métodos para la computación efectiva con polinomios concretos dados. La técnica más importante es la de las [[bases de Gröbner]], que se emplea en todos los sistemas de [[álgebra computacional]].
La geometría algebraica fue desarrollada enormemente por los [[Escuela italiana de geometría algebraica|geómetras italianos]] a principios del siglo XX. Enriques clasificó las [[Superficie Algebraica|superficies algebraicas]] salvo [[isomorfismo biracional]]. El estilo de este grupo de matemáticos fue muy intuitivo y no tenía el rigor moderno.
Sobre los años [[años 1930|1930]] y [[años 1940|1940]], [[Oscar Zariski]], [[André Weil]] y otros se dieron cuenta de que esta disciplina necesitaba refundarse mediante el álgebra conmutativa. El álgebra conmutativa (como el estudio de los anillos conmutativos y sus ideales) había sido y fue desarrollada por [[David Hilbert]], [[Max Noether]], [[Emanuel Lasker]], [[Emmy Noether]], [[Wolfgang Krull]] y otros. Antes de ellos no existían fundamentos estándar para la geometría algebraica.
En los años [[años 1950|1950]] y [[años 1960|1960]], [[Jean-Pierre Serre]] y [[Alexander Grothendieck]] rehicieron la fundamentación haciendo uso de la [[teoría de haces]]. Más tarde, alrededor de 1960, se desarrolló la idea de los esquemas, conjuntamente con el refinado aparato del [[álgebra homológica]]. Tras una década de rápido desarrollo, el campo se estabilizó en los [[años 1970]], y surgieron aplicaciones en la [[teoría de números]] y en las más clásicas cuestiones geométricas de variedades algebraicas, singularidades y [[Espacios de módulos|módulos]].
== Referencias externas ==
Un libro clásico, con el lenguaje de esquemas:
* [[W. V. D. Hodge|Hodge, W. V. D.]], and Pedoe, Daniel, ''Methods of Algebraic Geometry: Volume 1'', Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46900-7
* Hodge, W. V. D., and Pedoe, Daniel, ''Methods of Algebraic Geometry: Volume 3'', Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46775-6
Testu modernoak:
Textos modernos sin el lenguaje de esquemas:
* Griffiths, Phillip, and Harris, Joe, ''Principles of Algebraic Geometry'', Wiley-Interscience, 1994, ISBN 0-471-05059-8
* Shafarevich, Igor, ''Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space'', Springer-Verlag, 2nd ed., 1995, ISBN 0-387-54812-2
Liburuak:
Libros y referencias para los esquemas:
* Eisenbud, David, and Harris, Joe, ''The Geometry of Schemes'', Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98637-5
* Shafarevich, Igor, ''Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds'', Springer-Verlag, 2nd ed., 1995, ISBN 0-387-54812-2
Interneten:
En Internet:
* Kevin R. Coombes: [http://odin.mdacc.tmc.edu/~krc/agathos/ ''Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System'']
{{structure}}
[[Kategoria:Geometria]]
[[Categoría:Geometría algebraica]] ▼
[[ar:هندسة جبرية]]
[[el:Αλγεβρική γεωμετρία]]
[[en:Algebraic geometry]]
▲[[ Categoríaes:Geometría algebraica]]
[[eo:Algebra geometrio]]
[[fa:هندسه جبری]]
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