Bayesen teorema
Probabilitate teorian, Bayes-en teoremak gertakizun baten inguruan jasotako informazioaz baliatuz, gertakizun horren probabilitatea nola aldatu behar diren azaltzen duen teorema da. Adibidez, Bayes-en teorema pertsona bat gaixotasun batek jota izateko probabilitatea zehazteko erabil daiteke pertsona horri diagnostiko froga baten emaitza jakin ondoren. Bayes-en teoremari esker, estatistika adar oso bat garatu da: estatistika bayestarra. Thomas Bayes zientzia gizonak asmatu zuen XVIII. mendean.
Teorema
aldatuBitez bi gertakizun:
a priori edo aurretiko probabilitatea da.
a posteriori edo ondorengo probabilitatea da, gertakizuna gauzatu dela jakinik. A posteriori probabilitateak a priori probabilitatea zehazten du, B gertakizunak ematen duen informazioari esker.
Probabilitate osoaren teoremari esker, Bayes-en teorema era honetan ere azal daiteke, izanik lagin espazioaren zatiketa bat eta bertako elementu bat, gertakizun bat alegia, hurrenez hurren:
Adibidea
aldatuGaixotasun bat diagnostikatzeko froga bat erabiltzen da. Froga ez da perfektua ordea: orain arte jasotako datuen arabera, pertsona gaixo baten kasuan, frogak baiezkoa emateko probabilitatea 0.95 da. Pertsona gaixorik ez badago berriz, frogak ezezkoa emateko probabilitatea 0.90 da. Oro har, pertsonen %1 gaixorik dagoela uste da. Pertsona bati emandako frogak baiezkoa eman badu, nola aldatzen dira gaixorik eta ez gaixorik izateko probabilitateak?
Bayes-en teorema taula honen bitartez gara daiteke, "B: frogak baiezkoa eman du" dela jakinik:
gaixo | 0.01 | 0.95 | 0.0095 | 0.0095/0.1085=0.087 |
ez gaixo | 0.99 | 0.10 | 0.099 | 0.099/0.1085=0.913 |
GUZTIZKO | 1 | 0.1085 | 1 |
Teoremaren formula erabiliz:
Gaixo izateko %1eko a priori probabilitatea %8.7eko a posteriori probabilitatera aldatzen da, frogak baiezko eman duela jakin ondoren.