Ireki menu nagusia

Estatistikan, bariantza datu-multzo batek nahiz probabilitate-banaketa batek duen sakabanatzearen neurri absolutu bat da. Hain zuzen, bariantzaren erro karratu positiboa desbideratze estandarra da, eta azken honek datu bakoitza batezbesteko aritmetiko sinpletik zenbat desbideratzen den adierazten du. Kalkuluaren aldetik, bariantza batezbestekoari buruzko bigarren mailako momentua ere bada. Aldakortasun edo sakabanatze neurri izateaz gainera, bere propietate matematikoak direla eta, maiz agertzen da azterketa estatistikoetan. Esate baterako, aldagai batek duen aldakortasun-maila bariantzaren bitartez neurtzen da eta bariantza oso hau beste aldagai edo faktore zenbaitek eragindako aldakortasun-mailetan zatitu daiteke, aldagai horren kausak hauteman eta kausa horien eragina zehazteko, bariantza-analisian eta karratu txikienen erregresioan egiten den bezala.

Kalkulua datuetarakoAldatu

Honela adierazi eta kalkulatzen da, datuak   izanik:

 

Aurreko formulari jarraiki, pauso hauek jarraitu behar dira kalkulurako:

  1. batezbesteko aritmetiko sinplea ( ) kalkulatu;
  2.  , datu bakoitzak batezbestekora duen distantzia alegia, kalkulatu;
  3. batuketa egitean konpentsa ez daitezen, distantzia karratuak kalkulatu;
  4. distantzia karratu horien batezbestekoa kalkulatzen da, zati n datu kopurua eginez.

Laburrago kalkulatzeko formula bat ere badago, aurreko formulatik erator daitekeena:

 

Desbideratze estandarra bariantzaren erro karratu positiboa da:

 

Adibidea datu bakanduetarakoAldatu

Kalkulurako adibide gisa, azterketa batean ikasle zenbaitek jasotako kalifikazio hauek hartuz (puntutan): 6-7-9-5-3.

Jatorrizko formula Formula laburtua
   
6 (6-6)2=0
7 (7-6)2=1
9 (9-6)2=9
5 (5-6)2=1
3 (3-6)2=9
30 20
Lehendabizi, batezbesteko aritmetiko sinplea kalkulatzen da:
 
Jarraian,
 
Bariantza 4 puntu2 izango da, beraz. Desbidazio estandarra emaitza horren erro karratua da: 2 puntu.
   
6 62=36
7 72=49
9 92=81
5 52=25
3 32=9
30 200
Lehendabizi, batezbesteko aritmetiko sinplea kalkulatzen da:
 
Jarraian,
 
Arestiko emaitza berdinak eskuratzen dira, baina kalkuluak erosoago eginez.

Adibidea maiztasun-tauletatarakoAldatu

Datuak maiztasun-taula batean bildu direnean, maiztasun-taulatik bertatik egin daiteke kalkulua. Aiseago egiten da formula laburtuarekin, hurrengo adibidean egiten den bezala.

xi(balioak) ni(maiztasunak) nixi nixi2
5 2 10 50
6 3 18 108
8 1 64 64
baturak 6 36 670
 

Adibidea tartetan bildutako datuetarakoAldatu

Datuak tartetan bildu direnean, tarte horietako erdipuntuak hartzen dira kalkuluetarako balio adierazgarri moduan.

Tarteak ni(maiztasunak) xi(balioak) nixi nixi2
0-40 5 20 100 2000
40-80 30 60 1800 108000
80-120 10 100 1000 100000
baturak 45 2900 210000
 

Tarte bakoitzean hartutako erdipuntuaren hurbilketak dakarren errorea zuzentzeko Shepparden zuzenketa delakoa erabiltzen da, datuak banaketa normalari jarraiki banatzen direnean eta tarte-zabalera konstantea denean soilik aplika daitekeena (b, tarte-zabalera):

 

Kalkulua probabilitate banakuntzetarakoAldatu

Honela definitzen da,   izanik itxaropen matematikoa:

 

Banakuntza jarraitua bada, honela kalkulatzen da, integralak X aldagaiaren balioen   eremuan ebaluatu behar direlarik:

 , non  

Banakuntza diskretua bada,   aldagaiaren balio eta beren probabilitateak izanik:

 , non  

Definizioaren formula garatuz, jatorriari buruzko momentuetan oinarritutako adierazpen batera heltzen da, kalkulurako erosoagoa dena:

 


Banakuntza diskretu baterako adibideaAldatu

0 eta 1 balioak 0.4 eta 0.6 probabilitateaz hartzen dituen probabilitate-banaketaren bariantza kalkulatu behar da.

Jatorrizko formula Formula laburtua
       
0 0.4 0 0.144
1 0.6 0.6 0.096
baturak 1    
Lehendabizi, itxaropen matematikoa kalkulatzen da, hirugarren zutabean egiten den bezala.
Jarraian, bariantza kalkulatzeko, bere formula aplikatzen da zuzenean laugarren zutabean.
       
0 0.4 0 0
1 0.6 0.6 0.6
baturak 1    
Itxaropen matematikoa hirugarren zutabean kalkulatzen da.
Jarraian, laugarren zutabean,   kalkulatzen da.
 

Banakuntza jarraitu baterako adibideaAldatu

  banaketaren bariantza kalkulatu behar da,

Jatorrizko formula Formula laburtua
Lehendabizi, itxaropen matematikoa kalkulatzen da:
 
Jarraian, bariantza kalkulatzeko:
 
Lehendabizi, itxaropen matematikoa kalkulatzen da:
 
Jarraian,   kalkulatzen da:
 
Azkenik, bariantza honela kalkulatzen da
 

Bariantzaren propietateakAldatu

Bariantza beti da ez-negatiboaAldatu

Bariantza ez da inongo kasutan negatiboa. 0 balioa ere har dezake, datu guztiak berdinak direnean nahiz 1 probabilitatea duen konstante baten kasuan.

Bigarren mailako momentu txikienaAldatu

Bariantza bigarren mailako momentu txikiena da:

  • datuetarako,   adierazpena minimotzen duen   balioa   da;
  • probabilitate banakuntzetarako,   minimiotzen duen   balioa   da.

Aldagai-aldaketa linealaAldatu

  •   aldagai-aldaketa lineala egiten bada,   konstanteak izanik,
    • datuen bariantzari buruz,  ,
    • probabilitate-banakuntzen bariantzari buruz,  

Hau da, datu guztiei (edo zorizko aldagaiari) konstante bat gehitu edo kentzeagatik, bariantzaren emaitza ez da aldatzen, baina konstante batez bidertzean, bariantza bider konstante hori karratura bidertzen da.

Aldagaien baturaren bariantzaAldatu

  aldagaiak elkarrekiko independenteak badira:

 

Aurreko berdintza aldagaiak elkarrekiko korrelazio linealik gabeak direnean ere betetzen da.

Oro har, independenteak ez badira, bariantzak eta aldagai-bikote guztien kobariantzak gehitu behar dira[1]:

 

Bi aldagaien kasurako, esate baterako:

 

Bariantza bi aldagai berdinen arteko kobariantza daAldatu

Bariantza kobariantza berezi bat besterik ez da, non kobariantzan parte hartzen duten bi aldagaiak berdinak diren:

 

ErreferentziakAldatu

  1. (Ingelesez) Feldman, Richard M.; Valdez Flores, Ciriaco (2010) Applied Probability and Stochastic Processes Springer 32 or...

Kanpo lotutakAldatu

Wikiztegian orri bat dago honi buruz: bariantza .