Baliokidetasun-klase

Baliokidetasun klase» orritik birbideratua)

Matematikan, multzo bateko elementuek baliokidetasun-erlazio bat definituta dutenean, multzoa baliokidetasun-klaseetan banatu daiteke. Baliokidetasun-klaseak eraikitzeko honakoa kontuan hartzen da: eta elementuak baliokidetasun-klase berekoak dira baldin eta soilik baldin baliokideak badira.

multzoa eta beraren gaineko baliokidetasun-erlazioa izanik, elementuaren baliokidetasun-klasea, adierazita,[1] multzo hau da:

[2]

AdibideakAldatu

  •   auto guztien multzoa bada, eta   "kolore bera du" baliokidetasun-erlazioa, orduan baliokidetasun-klase jakin bat auto berde guztiek osatuko lukete, eta   era naturalean identifikatu ahal izango litzateke autoen kolore guztien multzoarekin.
  •   plano bateko laukizuzen guztien multzoa, eta   "azalera bera du" baliokidetasun-erlazioa badira, orduan   zenbaki erreal positibo bakoitzeko   azalera duten laukizuzen guztien baliokidetasun-klase bat egongo da.[3]
  • Har dezagun 2 moduluko baliokidetasun-erlazioa   zenbaki osoen multzoan. Horrela,   baldin eta soilik baldin haien aldea   zenbaki bikoitia bada. Erlazio honek zehazki bi baliokidetasun-klase definitzen ditu: klase bat zenbaki bikoiti guztiek osatzen dute eta beste klasea zenbaki bakoiti guztiek osatzen dute. Erlazio honen pean baliokidetasun-klase bat adierazteko, klaseko kide baten inguruan kakotxak erabiliz,   eta  ,   -ren elementu bera adierazten dute.[4]
  • Izan bedi  ,   zenbaki osoen bikote ordenatuen multzoa non   zero ez den.   baliokidetasun-erlazio bat definituz   baldin eta soilik baldin   bete dadin,   bikotearen baliokidetasun klasea   zenbaki arrazionalarekin identifika daiteke, eta baliokidetasun-erlazio hau eta bere baliokidetasun-klaseak zenbaki arrazionalen multzoaren definizio formala emateko erabil daitezke.[5]
  •   plano Euklidearreko zuzen guztien multzoa bada eta  ,   eta   paraleloak direla esan nahi badu, elkarrekiko paraleloak diren zuzen guztien multzoak baliokidetasun-klase bat definitzen du, zuzen bat bere buruaren paraleloa dela kontsideratuz gero.

Definizioa eta notazioaAldatu

Baliokidetasun erlazio bat   multzo batean   erlazio bitarra da  -n ondoko hiru propietateak betetzen dituena[6][7]:

  •  ,   guztietarako (erreflexiboa),
  •   -k,   inplikatzen du   guztietarako (simetrikoa),
  •   eta   betetzen badira, orduan   izango da   guztietarako (trantsitiboa).

  elementuaren baliokidetasun-klasea,   adierazita,   multzoa da, hau da,  [2] erlazioaren bidez  -rekin erlazionatutako elementuen multzoa.

Baliokidetasun-klaseko elementu guztiek klasea karakterizatzen dute, eta klasea ordezkatzeko erabili daiteke. Elementu hori aukeratzean, klasearen ordezkari deritzo. Batzuetan aukeraketa "naturalagoa" dago beste posible batzuk baino. Hala nola, aritmetika modularrean,   zenbaki arrunta izanik, edozein zenbaki osorentzat   moduloko kongruentzia baliokidetasun-erlazio bat da non   eta   zenbaki osoak baliokideak diren (kongruenteak)  -k   zatitzen badu.   eran adierazten da. Kasu honetan, klase bakoitzean   baino txikiagoa den zenbaki oso ez-negatibo bakarra dago, eta hori izango da klasearen ordezkari aukeratzen dena. Hauei ordezkari kanoniko deritze.

Klaseak irudikatzeko ordezkariak erabiltzeak klaseak multzo gisa esplizituki kontsideratzea saihesten du. Kasu honetan, elementu bat bere klasearekin lotzen duen funtzio supraiektibo kanonikoa elementu bat bere klaseko ordezkariarekin lotzen duen funtzioarekin ordezkatzen da. Aurreko adibidean, funtzio hau   adierazten da eta   zatiketa euklidearraren hondarra ematen du.

PropietateakAldatu

  multzoko edozein   elementu   baliokidetasun-klaseko elementua da. Edozein bi   eta   baliokidetasun-klase berdinak ala disjuntuak dira. Ondorioz,  -ko baliokidetasun-klase guztien familiak  -ren partiketa bat osatzen du:  -ko edozein elementu baliokidetasun-klase bateko eta bakarrik bateko elementua da[8]. Era berean,  -ren edozein partiketa baliokidetasun-erlazio batetik dator, zeinaren arabera   baldin eta soilik baldin   eta   partiketa bereko elementuak dira[9].

Hortaz,     multzoaren gaineko baliokidetasun-erlazioa bada eta   eta     multzoko bi elementu badira, ondokoak baliokideak dira:

  •  
  •  
  •  

InbarianteakAldatu

~  -n baliokidetasun-erlazio bat bada, eta P ( )  -ren elementuen propietate bat bada, halako moldez non   ~ eta P ( ) egiazkoa den P ( ) egiazkoa bada, orduan esaten da P jabetza ~ -ren inbariante bat dela, edo ~ erlazioaren barruan ondo definituta dagoela.


Kasu berezi bat maiz gertatzen da    -etik   beste multzo baterako funtzioa denean; baldin eta   ( ) =  ( ), baldin eta  ~   bada; orduan esaten da   klase baxuko inbariantea dela ~, edo, besterik gabe, ~ baxuko inbariantea. Hori gertatzen da, adibidez, talde finituen izaeraren teorian. Autore batzuek "~ bateragarria" erabiltzen dute, edo, besterik gabe, "~ errespetatua" erabiltzen dute, "Inbariante txikia ~" erabili beharrean.


Edozein funtzio   baliokidetasun-erlazio bat definitze du  -n, zeinaren arabera  ~   baldin eta soilik baldin  ( ) =  ( ).  baliokidetasun mota   -ri esleitzen zaizkion   elementu guztien multzoa da, hau da, [ ] mota  -ren alderantzizko irudia da. Baliokidetasun-erlazio horri  -ren nukleoa esaten zaio.


Orokorkiago, funtzio batek argumento baliokideak eman diezazkieke ( -n   baliokidetasun-erlazio baten pean) balio baliokideei ( -n   baliokidetasun-erlazio baten pean). Funtzio hori baliokidetasun-harremana duten taldeen morfismoa da.

ErreferentziakAldatu

  1. (Ingelesez) «7.3: Equivalence Classes» Mathematics LibreTexts 2017-09-20 (Noiz kontsultatua: 2021-11-19).
  2. a b (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Equivalence Class» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-11-19).
  3. (Avelsgaard 1989, p. 127)
  4. (Devlin 2004, p. 123)
  5. (Maddox 2002, pp. 77–78)
  6. Devlin, Keith J.. (2004). Sets, functions, and logic : an introduction to abstract mathematics. (3rd ed. argitaraldia) Chapman & Hall/CRC ISBN 1-58488-449-5. PMC 52813791. (Noiz kontsultatua: 2021-11-26).
  7. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Equivalence Relation» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-11-26).
  8. Maddox, Randall B.. (2002). Mathematical thinking and writing : a transition to abstract mathematics. Academic Press ISBN 978-0-08-049647-4. PMC 166269238. (Noiz kontsultatua: 2021-11-19).
  9. Avelsgaard, Carol. (1990). Foundations for advanced mathematics. Scott, Foresman/Little, Brown Higher Education ISBN 0-673-38152-8. PMC 19971223. (Noiz kontsultatua: 2021-11-19).

Kanpo estekakAldatu