Aljebra multilineala Matematikan aljebra linealeko metodoak orokortzen dituen azterketa-eremua da. Aztergaiak espazio bektorialen produktu tentsorialak eta espazioen arteko transformazio multilinealak dira.[1][2]

Notazioa aldatu

Aljebra multilinealak indize anitzeko notazioaren erabilera intentsiboa egiten du. Horrelako notazio baten bidez, konbinazio linealak bi indize edo gehiago errepikatuz adierazten dira.

  • Oinarrizko kasuan (1 mailako tensore, kontrabariantea), Einsteinen baturaren konbentzioa erabiliz:   Horrek adierazten du X objektua konbinazio lineala dela:

 

  oinarrizko bektoreen gainean, eta X-ren osagaiak deituriko  balioen gainean, non   hemen baita X "bizi" den espazioaren dimentsioa (aljebraikoa). Konbentzioz, 1-kontratensore deitzen zaie.
  • 1. mailan ere 1. tensorea dago, hau da, funtzio linealak aukeratutako espaziotik eskalarren gorputzera.   funtzio linealen konbinazio lineal gisa idazten dira,  betetzen duten   transformazio lineal gisa, non (klasikoki bezala) Kronecker-en delta erabiltzen ari den. Hala, edozein   kobektore honela idazten da:  Notazioa hori honela laburtu daitekeela:  
  • Bigarren mailako tentsoreak:
    • Kontrabarianteko bi heineko tentsore bat da hau: 
    • Kobarianteko bi heineko tensorea da.  
    • Eta bi heineko tensore misto bat da hau:   Horrek bi-indezedun konbinazio lineal bat adierazten du.
Adibidez:

 

espazioaren dimentsioa bi bada.
  • Aurrekoa orokortuz,   idazten da A tensore misto baten osagaiak irudikatzeko , p-kontrabariante eta q-kobariantea baita. Baina

 

indexatutako konbinazio lineal bat adierazten du.

Hori guztia kontuan hartzeko, kontuan hartu behar izan da bektore-espazioa n dimentsio finitua duela.

Produktu tentsoriala aldatu

V eta W bi bektore-espazio baditugu, dagozkien oinarriekin, haien produktu tentsoriala definitzen da  

 

hau da, sinbolo berriek sortutako espazio bektoriala

 

Eta, beraz,   espazioan bizi den (edo horren parte den) objektu bat, konbinazio lineal gisa adieraz daiteke.

 

eta honela laburtu daiteke

  s edo t indize errepikatuak, behin gora eta behin behera —batutze-hitzarmenaren arabera—, banan-banan.

Definizio hori guztiz abstraktua da, baina algebraren ikuspuntutik ez dago inolako arazorik produktu tensorialaren aukera guztiak aztertzean. Espazio pila bat (eta garrantzi handikoa) sortzen da V bektore-espazioa eta   bere espazio dual bat espazioak kontsideratzen direnean:

 
 
 
 
 

Horiek guztiak egunero erabiltzen dira geometria diferentzialean, geometria aljebraikoan, aljebra konmutatiboan, erlatibitatean eta kuantikoan, QFT teorian, TQFT teorian eta beste batzuetan.

Tensoreak eta formak aldatu

Bedi   espazio bat  -ekin sortua. Sinboliza dezagun  -rekin   oinarri duala,   multiespazioko edozein elementu honela idazten da:  . Adierazpen hori funtzio bilineal gisa ikus daiteke

 

jakinik  dela, non   Kronecker-en delta.

Garatutako kontzeptu batzuk (zerrenda guztiz osatu gabea) aldatu

Erreferentziak aldatu

  1. Ramírez Alzola, Txomin; Mª Asunción, García Sánchez. (2012). «Aljebra linealerako sarrera [2012/05 [eus»] OCW (UPV/EHU - OCW) (Noiz kontsultatua: 2022-12-24).
  2. «Aljebra lineala -- ZT Hiztegi Berria» zthiztegia.elhuyar.eus (Noiz kontsultatua: 2022-12-24).

Bibliografia aldatu

  • Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Extension Theory [Die Ausdehnungslehre]. Translated by Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9049-3.
  • Fleming, Wendell H. (1977). "Exterior algebra and differential calculus". Functions of several variables. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. pp. 275–320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7_7. ISBN 978-1-4684-9461-7. OCLC 2401829.
  • Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54 (1): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.
  • Shaw, Ronald (1983). Multilinear algebra and group representations. Linear Algebra and Group Representations. Vol. 2. Academic Press. ISBN 978-0-12-639202-9. OCLC 59106339.

Ikus, gainera aldatu

Kanpo estekak aldatu