Alderantzizko funtzio trigonometriko

Funtzio trigonometriko baten alderantzizkoa den funtzioa. Dagokion funtzio trigonometrikoaren izenaren aurretik arku hitza eta haren ikurraren aurretik arc ikurra jarrita adierazten dira.

Matematikan, alderantzizko funtzio trigonometrikoak (batzuetan, arku funtzioak, funtzio antitrigonometrikoak edo funtzio ziklometrikoak ere esaten zaie) funtzio trigonometrikoen alderantzizko funtzioak dira (eremu mugatuekin, noski). Hain zuzen ere, sinu, kosinu, tangente, kotangente, sekante eta kosekante funtzioen alderantzizkoak dira, eta angeluaren erlazio trigonometrikoak jakinda angelu bera lortzeko erabiltzen dira.[1] Alderantzizko funtzio trigonometrikoak asko erabiltzen dira ingeniaritzan, nabigazioan, fisikan eta geometrian.

Adierazpena aldatu

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak adierazteko, zenbait modu ezberdin daude. Hitzarmen ohikoena arc aurrizkia erabiliz izendatzea da: arcsin(x), arccos(x), arctg(x), etab. (Hau da artikulu honetan zehar erabiliko dugun konbentzioa.) Notazio hau θ radianeko angelu bat -ko luzera duen arkua baitu delako, non r zirkuluaren erradioa da. Beraz, zirkulu unitarioan hitz egiten ari bagara, "x kosinua duen arkua" "x kosinua duen angelua"ren berdina da, zirkuluaren arkuaren luzera eta angeluaren neurria radianetan berdinak baitira. Ordenagailuen programazio hizkuntzetan, alderantzizko funtzio trigonometrikoei asin, acos edota atan forma laburtuak deritze maiz.[2]

John Herschelek 1813an aurkeztu zituen notazioak —sin−1(x), cos−1(x) eta tan−1(x)— ingelesezko testuetan ere erabiltzen dira maiz, sin[−1](x), cos[−1](x) eta tan[−1](x) adierazpenak baino askoz gehiago. Izan ere, lehenak askoz koherenteagoak dira alderantzizko funtzioen adierazpenekin, f−1(x) Beraz, funtzio trigonometrikoen alderantzizkoa lortzea paralelismo bat egitearen bezain erraza izan behar liteke. Handik datozte sin−1(x) direlakoak. Izan ere, oso erabilgarria da funtzio hauek emaitz anitzdunak bihurtzeko. Hala, arkutangentea emaitza guztiak ematea nahi badugu, horrela adieraziko genuke: 

Hala ere, horrek kontraesaten du beste oso adierazpen orokor bat: sin2(x). Honek ez dagokio funtzioaren konposizioari, berreketari baino (funtzioaren konposizioari balegokio,   esan nahiko luke); beraz, alderantzizko funtzioa alderantzizko biderkagaiarekin nahas daiteke.[3] Nahaste hori zertxobait izkutatzen da funtzio trigonometrikoen alderantzizko biderkagaiak berezko izena baitute:  .

Zenbait idazlek, ordea, horiek ez erabiltzea gomendatzen dute anbiguotasunagatik. Autore-kopuru txiki batek erabiltzen duen beste konbentzio dudagarria lehen letra larria erabiltzea da, –1 indizearekin batera: Sin−1(x), Cos−1(x), etab. Asmoa alderantzizko biderkagaiarekin nahastea saihestea bada ere —hau da,  -rekin nahastea, eta abar, horrek beste arazo eta anbiguetate sortzen ditu. Goi-mailako programazio hizkuntza famatu askok, hala nola Wolframen Mathematikak eta Sidneyko Unibertsitateko MAGMAk, letra larridun adierazpen horiek erabiltzen dituzte funtzio trigonometriko basikoentzat. Beste batzuk, ordea, minuskula erabiltzen dute, adibidez, Python (SymPy eta NumPy), Matlab, MAPLE eta abar.

Hortaz, 2009an, ISO 80000-2 arauak alderantzizko funtzioetarako aurrizkia "arku" izatea agindu zuen.

Oinarrizko kontzeptuak aldatu

Balio nagusiak aldatu

Sei funtzio trigonometrikoetakik, ez dago bat bera ere ez bijektiboa dena. Horrek esan nahi du balio asko "errepikatuta" daudela. sin(90º)=0, baina sin(270º)=0, eta sin(440º)=0 ere. Beraz, zein da sin(x)=0-ren emaitza? 90º? 270º?

Ziurtasun eza hori saihesteko, funtzioaren eremua mugatu behar dugu. Alderantzizko funtzioak definitzean, sinu funtzioaren zati txiki bat besterik ez dugu erabiltzen, bijektiboa izan dadin. Beraz, alderantzizko funtzioen ibilbidearen (eta, beraz, jatorrizko funtzioen domeinuaren) azpimultzo arbitrario bat erabiltzen: adar nagusia. Lortzen dugun balioari, hortaz, balio nagusi deritzo.


Alderantzizko funtzioen adar nagusiak taula honetan ageri dira:

Izena Ohiko adierazpena Definizioa Eremu erreala Balio nagusi ohikoenak (radianak)



Balio nagusi ohikoenak (graduak)



arkosinua   x = sin(y)      
arkokosinua   x = cos(y)      
arkotangentea   x = tg(y) zenbaki errealak    
arkokotangentea   x = cot(y) zenbaki errealak    
arkosekantea   x = sec(y)      
arkokosekantea   x = csc(y)      

Oharra: Zenbait autorek arkusekantearen ibilbidea   bezala definitzen dute, tangente funtzioa ez baita negatiboa tarte honetan. Honek kalkulu batzuk sendoagoak egiten ditu. Adibidez, ibilbide hori erabiliz,  ; eta   ibilbidearekin, ordea,   idatzi egin beharko genuke, tangentea positiboa baita  -n baina negatiboa  -n. Antzera, autore batzuk arkukosekantearen ibilbidea   eta   hartzen dute.

  zenbaki konplexua izan badaiteke,  -ren ibilbide mugatua zati errealari soilik aplikatzen zaio.


Izena



Ikurra Eremua Irudia Alderantzizko funtzioa Eremua Balio nagusien ibilbidea
sine                    
cosine                    
tangent                    
cotangent                    
secant                    
cosecant                    

  ikurrak zenbaki erreal guztien multzoa adierazten du, eta  -k, zenbaki oso guztiena. Antzera,   zenbakiaren multiplo guztien multzoa (hots, pi oso batez biderkatuta) honela adierazten da:

 

  ikurrak multzo kendura esan nahi du; hau da, adibidez,   adierazpenak   (hau da, zenbaki errealak) multzoan dauden baina   tartean EZ dauden zenbakien multzoa da.

Minkowskiren batura adierazpena erabili da ere. Goian,   eta   erabiltzen da  -ren eremuak azaltzeko:

Kotangentearen ( ) eta kosekantearen ( ) eremuak: Biak berdinak dira.   betetzen duten   angelu guztien multzoa dira; hau da,   bezala adieraz ez daitekeen,   zenbaki oso bat izanda, zenbaki errealen multzoa dira.

 

Tangentearen ( ) eta sekantearen ( ) eremuak: Biak berdinak dira.   betetzen duten   angelu guztien multzoa dira; hau da,   bezala adieraz ez daitekeen,   zenbaki oso bat izanda, zenbaki errealen multzoa dira.

 

Oinarrizko ekuazio trigonometrikoen emaitza aldatu

Funtzio trigonometriko bakoitza periodikoa da balioaren zati errealean, eta bere balio guztiak bi aldiz zeharkatzen ditu   luzerakotarte bakoitzean.

  • Sinu eta kosekantearen periodoa  n hasten da (non   zenbaki oso bat den),  n amaitu, eta gero alderantzizko ibilbidea egiten dute  tik  ra.
  • Kosinu eta sekantearen periodoa  n hasten da,  n amaitu, eta gero alderantzizko ibilbidea egiten dute  tik  ra.
  • Tangentearen periodoa  tik  ra doa; eta gero, bere periodoa   besterik ez denez, berdina errepikatzen du  tik  ra. Antzera, kotangenteak periodoa  n hasten du eta  n amaitzen du, eta berdina egiten du  tik  ra.

Periodikotasun hori alderantzizkoen orokortzeetan ikusten da, non   zenbaki oso bat da.

Hurrengo taulan, funtzio trigonometriko estandarrak dituzten ekuazioak ebazteko bere alderantzizkoak nola erabil daitezkeen erakusten da. Taula osoan,      eta  ren emandako balio guztiak eremu egokian daudela asumitu dugu, guztiak ondo definituta egon daitezen.Kontuan izan "  batentzat" "  zenbaki oso batentzat" esateko beste modu bat dela.

 ikurrak berdintasun logikoa adierazten du.   adierazpenak A eta B egia direla adli berean, edo A eta B gezurra direla esan nahi du. A ezin da gertatu b gertatu barik, eta aldrebes. Berez, adierazpen horrek "A baldin eta soilik baldin B" esan nahi du, eta A gertatzeko B gertatzea beharrezkoa eta nahikoa dela adierazten du.

Ekuazioa Baldin eta soilik baldin Konponbidea Irtenbide modu zabaldua non:..
  <span about="#mwt510" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;\\iff&quot;}}" id="mwATc" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">⟺</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \iff }</annotation> </semantics> </math></span><img alt="\iff" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff942842a50b24e7585cc42c5b50c34650e3aa99" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.607ex; height:1.843ex;"></span>           gutxi batzuk              edo 



 
gutxi batzuk 
              gutxi batzuk              edo 



 
gutxi batzuk 
bitartean                 askerako                  edo 



 
gutxi batzuk 
bitartean                 Hau da:                  edo 



 
gutxi batzuk 
 

+ -rentzat  

              “’’’’’ denean, k= denean                    edo 



 
gutxi batzuk 
                gutxi batzuk             edo 



 
gutxi batzuk 
            gutxi batzuk 
            gutxi batzuk 

Adibidez,   bada, orduan   betetzen da   batentzat. Aldiz,   bada, orduan   betetzen da   bateren batentzat.   bikoitia izango da   kasuan, eta bakoitia   bada. Gainera,   eta   ekuazioek   eta   ekuazioen emaitza berdinak dituzte, hurrenez hurren. Goian agertzen diren beste kasu guztietan, hau da, guztiak  /  eta  /  izan ezik,  k besterik ez du zehazten   zenbaki osoa (  eta   finkoak izanda).

Plus/minus   ikurraren azalpen eta adibide zehaztua:

  eta   ekuazioen emaitzak plus/minus ikurra erabiltzen dute. Lehenaren kasuan, ematen diguten   tarte batean ( ) dago, eta badakigu  ren bat dagoela   betetzen duena. Hori da aurkitu nahi duguna. Emaitza, taularen arabera, hau da:

 
Azken hori honako baieztapen hauetako bat (gutxienez) egia dela esateko modu laburtua da:
  1.   zenbaki oso jakin batentzat,  

    edo

  2.   zenbaki oso jakin batentzat  

Lehen aipatu den bezala,   gertatzen bada (definizioz,   kasuan besterik ezin da gertatu), goiko bi adierazpenak, (1) eta (2), egiak dira, nahiz eta   zenbaki osoaren balio desberdinekin:   (1) berdintasunaren zenbakia bada (hau da,   horrek   betetzen duela), orduan (2) berdintasunaren zenbakia   da, zeren eta  .

Hala ere,   bada,   zenbaki oso bakar eta berdina da,  ren araberakoa:

  bada (definizioz,   denean besterik ez dena gertatzen), orduan   gertatzen da,   delako. Hortaz, (1) eta (2) berdinak dira, eta biak egiak.

Bi kasu berezi horiek aztertu ondoren, beste guztiak ikusiko ditugu. Hortaz, hemendik aurrera   eta   asumituko dugu.  ren emaitza, halere, oraindik honako forma orokor hau da:

 
Lehen bezala, (1) edo (2), baten bat, egia dela esateko beste forma bat da. Oraingoan, halere,   eta   direnez, (1) eta (2) ez dira berdinal, eta bat besterik ez da gertatzen (biak ez). Zein den jakiteko,  ri buruz gehiago jakin behar dugu.

Adibidez, esan   eta  z dakigun guztia   dela. Hortaz:

 
Gainera,   da kasu berezi honetan (bai   kasuan, bai   kasuan), eta, beraz,
 
Honek  ren balioa   edo   izan daitekela esan nahi du. Ezer gehiago jakin gabe, ezin da baieztatu   horietako zein den. Jakin daitekeen zerbait angelua   ardatzaren gainetik dagoela da (orduan   litzateke), edota ardatz berdinaren behetik (beraz,  .

Ekuazio transformatzaileak

Aurreko ekuazioak islapen eta aldaketa identitateak erabiliz aldatu egin daitezke :[4]

Argudioa:              non  
                     
                     
                   
                   
                       
                       

Formula horiek hau egia izatea egiten dute, bereziki:

 
non     eta   trukatzeak   funtzioentzako ekuazioak ematen dizkigun, hurrenez hurren.

Adibidez,   berdintza erabiliz,   ekuazioa   bihur daiteke. Horrek  ren emaitza erabiltzea ahalbidetzen digu (non  ); izan ere, emaitza hori   da. Hori hau bihur daiteke:

Txantiloi:EqualOrNegativeIdenticalTrigonometricFunctionsSolutions

Erlazioa Baldin eta bakarrik baldin Erantzuna Asunzioa Honetarako ere da emaitza:
                    batzuentzat  
                      batzuentzat  
                  batzuentzat  
                    batzuentzat  
                        batzuentzat  
                    batzuentzat  
                    batzuentzat  
     

 
Honetaz konturatzean lortzen da: 
 
  ordezkapena aurreko formularen eskuinaldea   ren arabera adierazteko baliogarria izan daiteke,  ren ordez.

Funtzio trigonometrikoen berdintasunak aldatu

Taula honek bi angelu   eta   erlazionatutak egon behar direla adierazten du, bere balio trigonometrikoak elkarren berdinak edo aurkakoak badira.

Equation Baldin eta bakarrik baldin Emaitza non... Hau ere bai betetzen du
                    batzuentzat  
                      batzuentzat  
                  batzuentzat  
                    batzuentzat  
                        batzuentzat  
                    batzuentzat  
                    batzuentzat  
     

Alderantzizko funtzio trigonometriko eta funtzio trigonometriko estandarren arteko erlazioak aldatu

Hona hemen alderantzizko funtzio trigonometrikoak, funtzio trigonometrikoen arabera. Erlazio hauek lortzeko modu azkar bat eskuin-triangelu baten geometria da: 1 luzera duen alde batekin eta   luzerako beste alde batekin, Pitagorasen teorema eta erlazio trigonometrikoen definizioak erraz aplika daitezke. Deribazio algebraiko hutsak, ordea, luzeagoak dira.

Esan beharra da, arkusekante eta arkukosekantean, diagramak  positiboa dela hartzen du; beraz, emaitza zuzendu egin behar dela balio absolutuak eta signu funtzioa (sgn) erabiliz.

        Grafikoki
         
         
         
         
         
         

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen elkarren arteko erlazioak aldatu

 
Arctan(x) eta arccot(x) funtzioen ohiko balio nagusiak, plano kartesiarrean.
 
Arcsec(x) eta arccsc(x) funtzioen balio nagusiak, plano kartesiarrean.
 
Arcsec(x) eta arccsc(x) funtzioen balio nagusiak, plano kartesiarrean.

Angelu osagarriak:

 

Argudio negatiboak:

 

Alderantzizko argudioak:

 

Gure taula trigonometrikoan sinuak besterik ez baditugu:

 

Zenbaki konplexu baten erro karratua erabiltzean, zati erreal positiboa duen erroa aukeratzen dugu (edo zati irudikari positiboa, karratua erreal negatiboa bazen).

Aurreko formuletatik zuzenean lor daitekeen forma erabilgarri bat hau da:

. 

Erraz lor daiteke azken hau baldin badakigu:

 

Angelu erdiaren formulatik,  , abiatuta, hau lortzen dugu:

 

Arkutangentearen batuketaren formula aldatu

 

Hau lortzeko, batuketaren tangentearen formulan

 
 

bi ordezkatze hauek ezar daitezke.

Kalkuluan aldatu

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen deribatuak aldatu

z-ren balio konplexuetarako deribatuak hauek dira:

 

Aldiz, x-ren balio errealetarako besterik ez:

 

Adibidez,   bada, hau lortzen dugu:

 

Integral definitu gisa adieraztea aldatu

Deribatua integratu eta balioa puntu batean finkatzen, alderantzizko funtzio trigonometrikorako adierazpena lor dezakegu, integral definitu gisa:

 

x=1 denean, eremu mugatuak dituzten integralak integral inpropioak dira, baina hala eta guztiz ere ongi definituak daude.

Serie infinituak aldatu

Sinu eta kosinu funtzioen antzera, alderantzizko funtzio trigonometrikoak berretura-serieak erabiliz kalkulatu daitezke. Arkosinuaren kasuan, bere deribatua   erabiliz serie binomial bat bezala handituz, eta gero batugai bakoitza integratuz, lor daiteke adierazpena. Arkutangentearen kasuan,   deribatua serie geometriko bihur daiteke, eta handik ere integratu (ikus Leibnizen serieak).  erabiliz

 
 

Beste alderantzizko funtzio trigonometrikoen serieak bi funtzio horien arabera eman daitezke, aurrez emandako erlazioen arabera. Adibidez,  ,  ,  , eta abar. Beste serie bat da:

 

Leonhard Eulerrek arctangenterako beste serie bat aurkitu zuen, Taylorrena baino azkarrago konbergitzen egiten duena:

 [5]

(n = 0 denean, batuketaren emaitza biderkagai hutsa da, hau da, 1.)

Bestela, honela adieraz daiteke:

 

Arkutangente funtziorako beste serie bat hau izan daiteke:

 

non  , unitate irudikaria, den.[6]

Arkutangentearen zatiki jarraituak aldatu

Arkutangentearen berreture seriearen alternatiba bi honako hauek dira:

 

Bigarrenak ebakitako plano konplexuan balio du. Bi ebakidura daude: -i-tik eta puntu infinitu bateraino, ardatz irudikaritik behera joaten, eta i-tik puntu infinituraino, ardatz berdinetik gora joanez. -1 eta 1 bitarteko zenbaki errealetan hobeto funtzionatzen du. Izendatzaile partzialak zenbaki natural arrotzak besterik ez dira, eta zenbakitzaile partzialak (lehenengoaren ondoren) (nz)2 gaiak baino ez dira, non karratu perfektu bakoitza soilik behin agertzen den. Lehena Leonhard Eulerrek garatu zuen; bigarrena, Carl Friedrich Gaussek, serie hipergeometriko gaussiarra erabiliz.

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen integral mugagabeak aldatu

z-ren balio erreal eta konplexuetarako:

 

x ≥ 1 betetzen duten erreal guztientzat:

 

x erreal guztientzat, -1 eta 1 artean dauedenak izan ezin:

 

Balio absolutua ezinbestekoa da arkusekante eta arkukosekante funtzioen balio negatiboak eta positiboak direla eta. Zeinu funtzioa ere da beharrezkoa bi funtzioen deribatuek dituzten balio absolutuengatik, x-ren balio positibo eta negatiboetarako bi iemaitza desberdin sortzen baitituzte. Horiek alderantzizko funtzio hiperbolikoen definizio logaritmikoen bidez sinplifikatu egin daitezke:

 

Arcosh funtzioaren argumentuaren balio absolutuak bere grafikoaren erdia negatibo izatea eragiten du, eta lehen erakutsitako zeinu-funtzio logaritmikoaren berdina egiten du.

Antideribatu guzti horiek zatikako integrazioa eta arestian azaldutako deribazio-forma sinpleak konbinatuz lor daitezke.

Adibidea aldatu

Zatikazko integrazioaren   formula erabiliz:

 

Beraz,

 

Zeinek   ordezkapen bakunaren bidez azken emaitza ematen duen:

 

Plano konplexura zabaltzea aldatu

 
tan z = x erlazioaren Riemannen gainazala. Erdiko orri laranjak arctan x adierazten du. Goiko orri urdina eta beheko berdea 2π eta –2π mugituta daude, hurrenez hurren.

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak funtzio analitikoak direnez, lerro errealetik plano konplexura zabal daitezke. Horri esker, orri eta adar-puntu anitzeko funtzioetan. Luzapena definitzeko modu bat honako hau da:

 

non −i eta +i adar puntuen artean ez dagoen ardatz irudikariaren zatiak orrien arteko adar ebaketak diren. Integralaren bideak ezin du adar ebaketarik ebaki. Integralaren bide bat 0tik adar ebaketan ez dagoen edozein z-ra doan edozein lerro zuzen da. z adar ebaketan egotekotan, bidea Re[x] > 0tik hurbildu behar da goiko ebaketa bada, eta Re[x] < 0tik, behekoa bada.

Orduan, arkosinu funtzioa honela defini daiteke:

 

non erro karratu funtzioa ardatz negatibo errealaren zehar mozten duen eta −1 eta +1en artean ez dagoen ardatz errealaren zatia adar ebaketa den arkusinuaren orri nagusiaren eta beste orrien artean;

 

arkosinuaren ebaketa bera duena;

 

arkutangentearen ebaketa bera duena;

 

non ardatz errealaren −1 eta +1 arteko zatia, biak barne, arkusekantearen orri nagusiaren eta beste orrien arteko ebakidura den;

 

Arkusekantearen ebaketa bera duena.

Era logaritmikoak aldatu

Funtzio hauek logaritmo konplexuak erabiliz adieraz daiteke ere. Honek bere eremuak plano konplexura zabaltzen ditu era natural batean. Hurrengo berdintzak, funtzioen balio nagusientzat, beti dira egia (baldin eta definituta badaude), bere adar ebaketetan ere.

 

Alderantzizko funtzio trigonometriko guztiek triangelu pitagoriko baten angelu bat ematen dutenez, Eulerren formula erabiliz orokortu daitezke, triangelu angeluzuzen bat osa dezaten plano konplexuan. Algebraikoki, horrek hau esan nahi du:

 

edo

 

edo

non   alboko katetoa da,   kontrakoa, eta   hipotenusa. Nori izanda,   bakan dezakegu:

 
 

Parte irudikaria hartzeak balio erreal   eta