Abel-Planaren formula

Matematikan, Abel-Planaren formula Abelek (1823) eta Planak (1820) formula bereizia da, eta zenbait integralen arabera serie baten emaitza adierazten du. Zehazki:

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1}}\,dy.$

Formula hori baliagarria da plano konplexuko eskualdean holomorfoak diren eta eskualde horretan hazkunde-baldintza egokia betetzen duten funtzioetarako.$f(z)$${\text{Re}}(z)\geq 0$ Adibidez, nahikoa da onartzea eskualde horretan konstante baterako mugatuta dagoela, nahiz eta formulak balio izaten jarraitzen duen kota ez hain zorrotzetarako.$|f(z)|$$C/|z|^{1+\epsilon }$$C>0$ . Adibidez, honela adieraz daiteke Hurwitzen zeta funtzioarekiko:

$\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right)}{(y^{2}+\alpha ^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},$

formula baliagarria.$\forall s\in \mathbb {C}$ Kasu partikularrean, Riemann-en zeta funtzioa dugu, eta honela idatz daiteke:$\alpha =1$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left(y\right)\right)}{(y^{2}+1)^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},$

formula horrek ere balio du $\forall s\in \mathbb {C}$ bada. Abelek, halaber, formula hau garatu zuen serie txandakatuetarako:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{2\sinh(\pi y)}}\,dy.$

Kanpo estekak

• Datuak: Q4666730