Proportzio baterako konfiantza-tarte

Inferentzia estatistikoan, proportzio baterako konfiantza-tarteak populazio bateko proportzioaren zenbatespena egiten du konfiantza-tarte baten bitartez eta lagin batetik jasotako datuetan oinarrituz eta konfiantza maila jakin baterako. Adibidez, proportzio baterako konfiantza-tarte batek makina batek ekoizten dituen osagaietan dauden akastunen proportzioa %99ko konfiantzaz %8-%12 tartean dagoela ezar dezake. Proportzio baterako konfiantza tarteak aplikazio zabalak ditu praktikan: industrian, piezen kalitatea kuantifikatzeko erabil daiteke, pieza akastunak edo akasgabeak bereiziz; medikuntzan, gaixotasun batek erasaten dune populazioaren proportzioa zenbatesteko eta soziologian, hauteskundeen aurretik botu jakin bat eman behar dutenen pertsonen portzentaia estimatzeko. Ohikoa da konfiantza tartea eratu aurretik, konfiantza eta tarte-zabalera jakin baterako beharrezko lagin tamaina kalkulatzea. Lagin hori jaso eta bertako proportzioa kalkulatu eta gero, tartea zehaztuko da.

Proportzioaren tarte-zenbatespena banaketa binomialean oinarritzen da, laginean suertatzen diren baiezko edo ezezko kopurua banaketa binomialari jarraiki banatzen baita, non elementu bakoitzak aurkako bi ezaugarri izango dituen: bai edo ez, arrakasta edo porrot, akastun edo akasgabe. Gehienetan, lagin-tamaina handia izaten denez, banaketa binomialaren ordez, banaketa normala erabiltzen da hurbilketa moduan. Tarte zehatzaren eta gutxi gorabeherako tarteen arteko aldea bidez kalkula daiteke "ebcic" ((Ingelesez) Exact Binomial Confidence Interval Calculator: Konfiantza binomialaren kalkulagailu zehatza).

Proportzio baterako konfiantza-tartearen eraketa

Lagin-proportzioa honela banatzen da, n lagin-tamaina handietarako: ${\hat {p}}\sim N(p,{\sqrt {\frac {pq}{n}}})$.

Estandartuz: $z={\frac {{\hat {p}}-p}{\sqrt {\frac {pq}{n}}}}\sim N(0,1)$.

Aurrez erabakitako $1-\alpha \,$ konfiantza-maila baterako:

$P{\Bigg [}-z_{\frac {\alpha }{2}}<{\frac {{\hat {p}}-p}{\sqrt {\frac {pq}{n}}}}<z_{\frac {\alpha }{2}}{\Bigg ]}$;

eta $p\,$ bakanduz:

$P{\Bigg [}{\hat {p}}-z_{\frac {\alpha }{2}}{\sqrt {\frac {pq}{n}}}<p<{\hat {p}}+z_{\frac {\alpha }{2}}{\sqrt {\frac {pq}{n}}}{\Bigg ]}$.

Tartea osatzean $p\,$ eta $q\,$ ezagunak ez direnez, ${\hat {p}}\,$ eta ${\hat {q}}\,$ zenbatesleak erabiltzen dira. Beraz, tartea honela geratzen da:

${\hat {p}}-z_{\frac {\alpha }{2}}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}{\hat {q}}}{n}}}<p<{\hat {p}}+z_{\frac {\alpha }{2}}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}{\hat {q}}}{n}}}\ :\ {\hat {p}}\pm z_{\frac {\alpha }{2}}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}{\hat {q}}}{n}}}$;

non $z_{\frac {\alpha }{2}}$ bere gainetik $Z\,$ normal estandarrean ${\frac {\alpha }{2}}$ probabilitatea uzten duen balioa den.

Adibidez, makina batek ekoizten dituen osagaia akastunen proportzioa zenbatesteko 200 osagai independenteko lagin bat aukeratu eta 30 akastunak direla hauteman da. Makinako akastun-proportzioari buruzko %90eko konfiantza-tartea eratu behar da:

$1-\alpha =0.9\,$

$z_{0.05}=1.64\,$

${\hat {p}}={\frac {30}{200}}=0.15\,$

${\hat {q}}=1-0.15=0.85\,$

Tartea honela geratzen da, beraz:

$p\in 0.15\pm 1.64{\sqrt {\frac {0.15\times 0.85}{200}}}:0.15\pm 0.0414:(0.1086,0.1914)$.

Beraz, makinak ekoizten dituen osagai guztien populazioan akastun kopurua %15±%4.14 edo %10.86-%19.14 tartean kokatzen da %90eko konfiantzaz.

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Konfiantza binomialaren kalkulagailu zehatza
• (Ingelesez) Proportzio baterako konfiantza-tartea eratzeko applet bat

• Datuak: Q1781424