Probabilitatearen interpretazio klasiko

Probabilitatearen interpretazio klasikoa Jacob Bernoulli eta Pierre-Simon Laplaceren lanetan dago definituta. Laplaceren Theorie Analytique des Probabilités lanean honela definitzen da: "Gertakizun baten probabilitatea aldeko kasu kopuru eta kasu posible guztien arteko zatidura moduan adierazi daiteke; gertakizun guztiek gertatzeko aukera berdinak dituzten kasuetan, hau da, gertakariak guztiz zorizkoak direnean." (Laplace, 1812) Horregatik, probabilitatearen interpretazio klasikoari Laplaceren erregela ere esaten zaio.

Emaitza bikoitia ateratzeko probabilitatea kalkulatzeko; aldeko emaitz kopurua, emaitza posible guztien kopuruarekin zatitu behar dugu: 3/6 edo erdia (1/2).

Interpretazio honen arabera A gertakizun baten probabilitatea honela kalkulatzen da:

$P[A]={\frac {n_{A}}{N}}\,$

non N zorizko emaitza posible guztien kopurua den; eta n_A, A gertatzen deneko emaitza kopurua.

Adibidez, dado bat botatzen bada, emaitza bikoitia ateratzeko probabilitatea 3/6 izango litzateke; (2,4,6) aldeko emaitzen kopurua, (1,2,3,4,5,6) emaitza posible guztien kopuruarekin zatituta.

Definizio hau indiferentzia printzipioarekin zuzenean erlazionatuta dago. Printzipio honek zera adierazten du, zorizko gertakizun edo emaitza posible guztien multzoan, gertakizun bakoitzari probabilitate berdina esleitzen zaiola. Horrela, zorizko saiakuntza batean n emaitza posible badaude, elkarrekiko bateraezinak, gertakizun bakoitzaren probabilitatea 1/n izango litzateke printzipio horren arabera; eta gertakizun guztiek, gertatzeko aukera berdina izango lukete.

Historia

Probabilitatea, geometria bezalako matematikako beste adar batzuekin konparatuz, berandu hasi zen jakintzagai moduan ikertzen. 1654. urtetik aurrera hasi ziren zenbait autore probabilitatearen inguruko jakinduria garatzen. Probabilitatearen inguruan idatzi zuen lehenengo autoreetako bat Gerolamo Cardano izan zen.

Garai horretan Blaise Pascalek, bere aitaren laguna zen Pierre de Fermat matematikariarekin zenbait eztabaida izan zituen Méréko zalduna bezala ezaguna zen idazle frantziarrak planteaturiko bi problemen inguruan. Bien artean atera zituzten problemen ebazpenak, probabilitatearen kalkulu matematikoaren oinarri garrantzitsu izan ziren.

Hona hemen bi problemen enuntziatuak:

• A eta B jokalariak txanpon bat jaurtitzen dute, jokalari bakoitzak txanponaren alde baten aldeko apustua eginez. Jaurtiketaren emaitza asmatzen duen jokalariak puntu bat irabazten du. Bost puntura heltzen den lehenengo jokalariak irabazten du jokoa. Baina jokoa A jokalariak 4 puntu dituenean, eta B jokalariak 3 puntu dituenean gelditzen bada, nola banatu beharko dute jokoan jarritako dirua momentu horretan?
• Bigarren probleman, Méréko zaldunak bazekien dadoa lau aldiz jaurtiz gero sei zenbakia gutxienez behin agertuko zela apustu eginda, jokoa irabazteko aukera handiagoak zituela kontrakoaren aldeko apustua eginda baino. Orduan, hiruko erregelan oinarrituta, zera arrazoitu zuen; bi dado aldi berean botata hogeita lau jaurtiketetan sei bikoitza agertzeko probabilitatea eta jaurtiketa bakarrean sei zenbakia behin agertzeko probabilitatea berdina izan behar zela. Baina esperientziak ez zuen hori erakutsi.

Horregatik Méréko zaldunaren ustez, matematika errealitatetik oso urrun zegoen, eta arriskutsua zen bizitza errealeko arazoetan aplikatzea.

Pascal ez zetorren bat Méréko zaldunak zeukan matematikaren inguruko ikuspegiarekin, eta berak planteatutako problemak matematikoki ebaztea erabaki zuen idazle frantziarra oker zegoela frogatzeko.

Fermatek eta berak problemak ebatzi zituzten, bakoitzak bere kabuz, eta ebazpen berera heldu ziren. Emaitza garaiko beste akademiko batzuen belarrietara heldu zen. Christian Huygens zientzialari holandarra izan zen horietako bat eta 1657. urtean De Ratiociniis in Ludo Aleae liburua plazaratu zuen, aipaturiko ebazkizunaren eta beste zenbaiten azterketa eginez. Momentu horretatik aurrera zori-jokoek garai hartan herritarren artean sortzen zuten jakin-mina zela eta, jakintsuen arreta erakarri eta probabilitateen kalkuluari buruzko lehenengo erregelak frogatzen hasi ziren, nahiz eta oraindik probabilitate kontzeptua bera ez erabili.

Mende erdi beranduago, Jacob Bernoullik probabilitatea ulertzeko modu sofistikatuago bat azaldu zuen. Konbinazioetan sakondu zuen, probabilitatearen kontzeptua eztabaidatu zuen definizio klasikotik haratago joanez eta adibide praktikoak erabiliz (erabaki judizial eta finantzarioen inguruko adibideak, besteak beste); eta frogatu zuen probabilitateak entseguen errepikapenen bidez balioetsi daitezkeela, ziurgabetasuna txikitzeko entsegu kopurua handituz.

Probabilitatearen definizio argiena eta iraunkorrena Pierre-Simon Laplacek eman zuen 1814. urtean. Definizio horrek probabilitatearen ikuspegi klasikoa deskribatzen du, eta horregatik probabilitatearen interpretazio klasikoari Laplaceren erregela ere esaten zaio sarritan.

Kritikak

Probabilitate klasikoaren matematika definizio sinplifikatuetatik abiatuz garatu zen, eta hainbat gabezia ditu: abstrakzioak, mugak, konplexutasun filosofikoak...Horregatik, kritika asko jaso izan ditu historian zehar.

Hemeretzigarren mendeko autore askok eztabaidatu zuten ikuspegi klasikoa. Horien artean daude garai horretako John Venn eta George Boole idazleak, adibidez. Idazle horiek egindako kritiken ondorioz, probabilitatearen ikuspegi klasikoa ahuldu egin zen, eta horren ordez, ikuspegi frekuentziala nabarmendu zen. Hala ere, ikuspegi klasikoak berpizkundea izan zuen beranduago, bayestar probabilitatearen inguruan sortutako interes orokorraren ondorioz. Bayestar metodoetan a priori motako probabilitate banaketa erabiltzen da, eta banaketa mota horrek indiferentzia-printzipioa du oinarri, probabilitate klasikoaren oinarri ere badena.

Ikuspegi klasikoak probabilitate berdinak esleitzen dizkie gertakariei. Horren adibide dira txanponen, karten edo dadoen kasuak. Kasu horietan, simetria fisikoan dago oinarria indiferentzia printzipioa aplikatu, eta probabilitate berdinak esleitzeko. Errealitateko problema gehienetan simetria fisiko hori bilatzea, ordea, ez da batere erraza. Beraz, ikuspegi klasikoa oso kasu gutxitara mugatuta dagoen ikuspegia dela esan daiteke. Gainera, ez du metodo sistematikorik proposatzen probabilitate ezberdineko gertaerei probabilitateak esleitzeko.

Interpretazio klasikoaren beste muga bat azaltzen da problemaren emaitza kopurua finitua ez denean. Txanpona jaurtitzearen kasuan adibidez, emaitza kopurua bakarra da (txanponaren alde bat, edo bestea izan behar da emaitza, emaitza bakar bat dago). Baina garaje batera ordu tarte batean hiru auto baino gehiago heltzeko probabilitatea kalkulatzerako orduan, garajera hiru, lau, bost, sei...auto hel daitezke. Kasu horretan, probabilitatearen interpretazio klasikoan oinarrituta ezingo litzateke probabilitate hori kalkulatu.

Horrez gain, matematikari batzuen ustez probabilitatearen ikuspegi klasikoan definizio zirkularrak daude; hau da, zenbait kontzeptu definitzerako orduan, kontzeptua bera erabiltzen da.

Bibliografia

Pierre-Simon Laplace. (1812). Theorie Analytique des Probabilités.

Ikus, gainera

• Probabilitate

Kanpo estekak

• http://matematicasentumundo.es/HISTORIA/historia_Pascal.htm
• https://www.uv.es/rmartine/empresariales/Tema8_concepciones_probabilidad.pdf

• Datuak: Q908596