Pareto banaketa

Estatistikan eta probabilitate teorian, Pareto banaketa gehienetan tamaina bat adierazten duten aldagaien eredu gisa erabiltzen den probabilitate banaketa jarraitu bat da. Vilfredo Pareto ekonomialaria izan zen XIX. mendean banaketa hau proposatu, garatu eta aztertu zuen lehena, aberastasunaren banaketari buruz egin zituen ikerketetan. Banakuntza "askok gutxi eta gutxik asko" erregelari jarraitu edo eskuinera nabarmen alboratuta dauden aldagaiei aplikatzen zaie: besteak beste, hirien tamaina (herri txiki asko eta hiri handi gutxi), lurrikaren magnitudea (magnitude txikiko lurrikara asko eta lurrikara indartsu gutxi), abizenen maiztasuna (gutxi agertzen diren abizen asko eta asko agertzen diren abizen gutxi) eta pertsona eta familien errenta-mailan (errenta txikiko familia asko, errenta handiko pertsona gutxi, Paretok berak bere garaian aztertu zuenez). Matematikoki, Pareto banaketak tamaina baten eta tamaina horri dagokion probabilitatearen arteko erlazioa logaritmikoa dela ezartzen du: tamainaren logaritmoa eta tamaina horren probabilitatearen logaritmoa linealki loturik daude, zehatzago. Erlazio logaritmiko honetatik, Pareto banaketa matematikoki definitu eta bere propietate guztiak eratortzen dira.

Pareto banaketan tamainari buruzko aldagaietarako erabiltzen da: tamaina txikiek (x txikiek) probabilitate edo maiztasun handia dute, tamaina gero eta handiagoa (x handiagoa), berriz, probabilitatea gero eta txikiagoa da, irudiko trinkotasun funtzioetan ikus daitekeen bezala. Irudian, x edo tamaina txikiena 1 da.

Pareto banaketaren definizio matematikoa eta propietateak

Pareto banaketari dagokion banaketa-funtzioa hau da:

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {min} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {min} },\\0&x<x_{\mathrm {min} }.\end{cases}}$

Trinkotasun funtzioa deribatuz eratortzen da:

$f_{X}(x)={\begin{cases}\alpha \,{\dfrac {x_{\mathrm {min} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x>x_{\mathrm {min} },\\[12pt]0&x<x_{\mathrm {min} }.\end{cases}}$

Banakuntza bi parametroren mendean dago: $x_{\mathrm {min} }$, banaketari jarraitzen dion tamaina minimoa dena; eta $\alpha$, probabilitatearen bilakaera adierazten duena: zenbat eta handiagoa izan, orduan eta azkarrago jaitsiko da probabilitatea tamaina txikietatik (x txikia) tamaina handietara (x handia).

Itxaropena eta bariantza hauek ditu:

$E(X)={\frac {\alpha x_{\mathrm {min} }}{\alpha -1}}\,$ (α ≤ 1, balioetarako itxaropena ez da existitzen).

$\mathrm {var} (X)=\left({\frac {x_{\mathrm {min} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}.$

Kanpo estekak

• Datuak: Q837683
• Multimedia: Pareto distribution / Q837683