Mercatorren serie

Matematikan, Mercator seriea edo Newton–Mercator seriea logaritmo naturalen Taylorren seriea da:

$\ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .$

Idazkera batukaria erabiliz idatzia,

$\ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.$

Serieak logaritmo naturalarekin bat egiten du (aldagaia 1 mugitua) −1 < x ≤ 1 denean.

Historia

Nicholas Mercator, Isaac Newton eta Gregory Saint-Vincentek aurkitu zuten seriea, bakoitzak bere aldetik. Mercator-ek lehen aldiz argitaratu zuen 1668ko Logarithmo-technica tratatuan.

Deribazioa

Seriea Taylorren teorema aplikatuz lor daiteke, ln x funtzioaren n. deribatua indukzioaren bidez kalkulatua x = 1 puntuan,

${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}$ baldintzatik hasiz.

Bestela

$1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}$

serie geometriko finituarekin has daiteke (t ≠ −1) eta hau lortzen da:

${\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.$

Beraz:

$\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt$

eta gaiz gai integratuz,

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.$

Baldin eta −1 < x ≤1 bada, hondarrak 0-ra jotzen du, $n\to \infty$ doanean.

Adierazpen hori k aldiz gehiago integra daiteke iterazioz, hau lortzeko:

$-xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},$

non

$A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}$

eta

$B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}$

x-ren polinomioak diren.

Kanpo estekak

• Datuak: Q677568