Lankide:Enekointxa/Proba orria

Sarrera

Zenbaki errealen multzoa deritzo lerro zuzen amaigabe bateko puntuekiko erlazio bijektiboa duten zenbakien multzoari, eta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ hizkiaren bidez adierazten da. Multzo hori bi azpimultzo disjuntuz osatuta dago: zenbaki arrazionalak eta zenbaki irrazionalak.

Zenbaki positiboen erroak arrazionalen multzotik kanpo geratzen zirenez, horiek definitzeko beharra ikusi zen; horrela, zenbaki irrazionalak sortu ziren. Beraz, zenbaki arrazional guztiak errealak dira (baieztapen honetatik ondoriozta dezakegu zenbaki arrunt eta zenbaki oso guztiak arrazionalak direnez errealak ere direla).

Zenbaki errealen arteko batuketaren, kenketaren, biderketaren eta zatiketaren emaitza zenbaki erreal bat da, baina badaude multzo horretan definituta ez dauden eragiketa batzuk; adibidez, ${\sqrt {-1}}$. Arazo hori konpontzeko, zenbaki konplexuak definitu ziren.

Historia

Zenbaki errealen kontzeptuak Egipton du jatorria. Han, K.a. 1000. urtetik zatiki arruntak erabiltzen zituzten problema praktikoak ebazteko. Baina, matematika grekoaren garapenarekin batera, zenbakiaren aspektu filosofikoa hasi zen hartzen kontuan. Izan ere, pitagorikoak ohartu ziren nota musikalen arteko erlazio harmonikoak bat zetozela zenbaki osoen zatidurekin, eta horrek beste gauza guztien arteko zenbakizko proportzioak bilatzera bultzatu zituen.

Horrez gain, K.a. 500. urtearen inguruan, Pitagorasek gidatutako matematikari grekoen talde bat zenbaki irrazionalen beharraz ohartu zen. Izan ere, 1 neurriko katetoak dituen triangelu angeluzuzen baten hipotenusaren balioa kalkulatzen saiatu zirenean, ikusi zuten hori ezin zela zatiki arrunt moduan adierazi. Egun, badakigu (Pitagorasen teoremagatik) neurri hori erro bi dela (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) eta hori ez dela zenbaki arrazional bat.

Frogapena
Demagun ${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$zenbaki arrazional bat dela ($p$ eta $q$ elkarrekiko lehenak izanik). Orduan, $2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$, eta beraz, $2q^{2}=p^{2}$(1).

Ondorioz, $p$zenbaki bikoiti bat izango da: $p=2z$, eta karratura eginez, $p^{2}=4z^{2}$(2) berdintza lortzen da.

Beraz, (1) eta (2) berdintzak kontuan hartuz, $2q^{2}=4z^{2}$ lortzen da, eta hemendik $q^{2}=2z^{2}$dela ondorioztatzen da; hau da, $q^{2}$ bikoitia dela, eta beraz, $q$ere.

Hemendik, $p$ eta $q$ bikoitiak direla ondorioztatzen da, eta hau absurdoa da, hipotesiz $p$ eta $q$ elkarrekiko lehenak direlako.

Geroago, 600. urtearen inguruan, Indiako matematikariak zenbaki negatiboak erabiltzen hasi ziren, baina horiek ez ziren Europan ezagutu XVII. mendera arte.

Zenbaki errealen definizio zehatza Georg Cantor-ek eman zuen 1871. urtean. Definizio hori lehenago ez ematearen arrazoia izan zen logika matematiko eta multzo teoriaren kontzeptu zabalak ez ezagutzea. Aurrerapen horrek XIX. mendean zenbaki errealen egituraketa ahalbidetu zuen, Europako matematikari garrantzitsu batzuen eskutik, bide desberdinak erabiliz; besteak beste, Georg Cantorren multzoen teoria eta Richard Dedekind-en analisi matematikoa.

Zenbaki errealen motak

Zenbaki errealak bi talde nagusitan sailkatzen dira: Zenbaki arrazionalak ( ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ) eta irrazionalak ( ${\displaystyle \mathbb {I} }$ ).

Zenbaki arrazionalak

Bi zenbaki osoren zatidura gisa adieraz daitezkeen zenbakiak dira. Horiek, hamartarren kopuru finitu bat izango dute, edo bestela, zifra hamartarrek formula periodikoren bat beteko dute (zenbaki hamartar periodikoak dira).

Adibideak

• Zenbaki osoak, eta multzo honen barruan, zenbaki arruntak
• 1/3 = 0,333...
• 1/2 = 0,5

Zenbaki irrazionalak

Gainerako zenbaki erreal guztiak dira. Hauek infinitu zifra dezimal dituzte, formula errepikaririk betetzen ez dutenak.

Adibideak

• e zenbakia: $e$
• pi zenbakia: $\pi$
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Zenbaki errealen propietateak

1. Zenbaki errealen multzoa, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, multzo guztiz ordenatu bat da eta orden horrek ondorengo propietateak betetzen ditu:
   1. $x,y$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, hiru aukera baztertzaile horietatik bat ematen da: $x$ > $y$, $x$ < $y$ edo $x$ =$y$. Bereziki,$x$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bada, $x$ > 0, $x$< 0 edo $x$ = 0 da.
   2. Baldin $x$ > $y$ eta $y$ > $z$ badira, orduan $x$ > $z$.
   3. Baldin $x$ > $y$ eta c $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ badira, orduan $x$+ c > $y$+ c.
   4. Baldin $x$ > $y$ bada eta a > 0, orduan a$x$ > a$y$
   5. Baldin $x$ > $y$ bada eta b < 0, orduan b$x$ < b$y$. Bereziki, $x$ > $y$ bada, −$x$ < −$y$.
   6. Baldin $x$> 0 eta $y$> 0 badira, orduan $xy$ > 0.
   7. Baldin 0 < $x$ < $y$ badira, orduan $x^{2}$< $xy$ < $y^{2}$ eta p$x$ < p$y$
2. Zenbaki errealen arteko batuketak eta biderketak hurrengo propietateak betetzen dituzte:
   1. $x,y$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, $x+y$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   2. Batuketaren propietate trukakorra: $x,y$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, $x+y=y+x$
   3. Batuketaren propietate elkarkorra: $x,y,z$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, $(x+y)+z=x+(y+z)$
   4. Zeroa batuketaren elementu neutroa da; hau da, $x$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ edozein izanik, $x+0=0+x=x$
   5. Batuketarekiko alderantzizkoa: $x$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ edozein izanik, existitzen da $-x$ elementua non $-x+x=0$ den.
   6. $x,y$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, $xy$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   7. Biderketaren propietate trukakorra: $x,y$ $\in$${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, $xy$= $yx$
   8. Biderketaren propietate elkarkorra: $x,y,z$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, $(xy)z=x(yz)$
   9. Bat biderketaren elementu neutroa da; hau da, $x$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ edozein izanik, $1x=x1=x$
   10. Biderketarekiko alderantzizkoa: $x$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, $x\neq 0$ izanik, existitzen da $x^{-1}$$\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ non $x^{-1}x=1$ betetzen den.
   11. Banatze propietatea: $x,y,z$ $\in$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ guztietarako, $x(y+z)=xy+xz$
3. Zenbaki errealen multzoan, ezin da zenbaki negatibo baten erro bikoiti bat kalkulatu. Zenbaki konplexuen multzoan, ordea, eragiketa hori definituta dago.
4. $0$ zenbakiak ez du biderketarekiko alderantzizkorik; hau da, ez da existitzen $0x=1$ betetzen duen zenbaki errealik. Ondorioz, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ multzoan, zerorekin zatitzea ez dago definituta.