Higidura zuzen

Fisikan, higidura zuzena deritzo ibilbide osoa lerro zuzen batean duenari. Partikularen posizioa, r(t), ardatz koordenatu bakarrean dago kokaturik une oro. Hortaz, dimentsio bakarrean gertatzen da, norabide bakarrean alegia, nahiz eta bi noranzkoetan gerta daitekeen, aurrerantz eta atzerantz; hortaz, abiadura bektoreak etengabe du Ox ardatzaren norabidea. Matematikoki aztertzean, abiadura bektorearen modulua kontsideratzen da soilik, baina noranzko bat (Ox ardatzarena) positibotzat hartzen da eta aurkako noranzkoa, negatibotzat.  Hori dela eta, higidura zuzenaren azterketa matematikoa egitean, ekuazio eskalarrak erabil ditzakegu.

a) Higidura zuzeneko partikularen posizioa. b) Partikularen abiadura (positiboa) eta azelerazioa (negatiboa).

Higidura zuzena higidura sinpleenetakoa da. Hain zuzen, Newtonen lehenengo legearen arabera, indarrik jasaten ez duten objektuak lerro zuzenean higitzen dira abiadura konstantez; hau da, higidura zuzena dute. Abiadura konstantez gertatzen den higidura zuzenari higidura zuzen uniformea deritzo. Bestalde, partikula indar baten eraginpean badago, azelerazioa jasango du, indarraren norabide berekoa. Hortaz, indarrak abiaduraren norabide berbera badu, azelerazioa ere abiaduraren norabide berekoa izango da, eta higidura zuzena izango da. Esate baterako, grabitatearen eraginpean bertikalki erortzen ari den gorputzak higidura zuzena izango du, nahiz azeleratua izan. Kasu horretan higidura zuzen uniformeki azeleratua izango dugu.

Zinematikan higidura zuzena deskribatzeko erabiltzen diren kontzeptuak eta magnitudeak

Partikularen higidura zuzena era matematikoan aztertzeko, zenbait magnitude fisiko eta kontzeptu berezi erabili ohi dira. Dakigunez, higiduraren deskribapenerako erabiltzen diren magnitude fisiko batzuk bektoreak dira; hortaz, bektore modura tratatu beharko lirateke, norabidea ere adieraziz. Dena den, higidura zuzenaren kasuan ibilbidearen norabidea beti berbera eta bakarra denez, bektore horiek guztiok norabide berekoak dira; horregatik, higidura zuzenaren azterketarako nahikoa da bektore horien modulua kontsideratzea soilik; horrelaxe egingo dugu artikulu honetan. Dena den, moduluarekin batera, balio positiboak eta negatiboak ere kontsideratuko ditugu, bi noranzkoak desberdintzeko.

Higidura zuzena deskribatzeko kontzeptuen azalpen grafikoa.

Ibilbidearen adierazpen grafikoa

Partikula puntual baten kasuan, ibilbidea esaten zaio partikularen higidura bere osotasunean kontsideratzean erabiltzen den lehenengo  kontzeptu geometrikoari. Definizioz, ibilbidea da partikulak bere higiduran pasatzen dituen puntu guztien leku geometrikoa. Oro har, edozein higidura kontuan izanik, ibilbidea grafikoki marraztu daitekeen lerro kurbadun bat izango da. Baina higidura zuzenaren kasuan, beraren ibilbidea lerro zuzen batez irudikatuko dugu modu grafikoan: lerroko puntu bakoitza da, izatez, partikulak aldiune jakin batean izan duen toki zehatza da. Ohitura dago erreferentziako "jatorria" edo jatorri-puntu bat hartzeko ibilbidean, eta, ohituraz, higidura aztertzen hasten garen aldiunean ($t=0$aldiunean) partikulak duen posizioa hartzen da jatorri-puntutzat. Beraz, ibilbidea lerro zuzen batez adieraziko dugu grafikoki, eta bertan $t=0$ aldiunean partikularen posizioa lerroko $P_{0}$ puntuan markatuko dugu:horixe zango da jatorria. Beste edozein $t$ aldiunetan duen posizioa $P$ puntu generikoa izango da, edo zehatzago idatzirik, $P(t).$

Desplazamendua

Jatorri-puntutik partikula edozein aldiunetan dagoen $P$ punturainoko distantziari desplazamendua deritzo. Normalean, desplazamendua $s$ sinboloaz adierazi ohi da. Agerikoa denez, desplazamendua denboraren funtzioa da: $s(t)$; koordenatu modura adierazi nahi denean, $x(t)$idazten da.

Abiadura

Magnitude honek desplazamenduak denbora-unitatean duen aldakuntza adierazten du; alegia, desplazamenduaren eboluzio denborala nolakoa den. Oro har, abiadura aldatuz doa higiduran zehar, eta horregatik denboraren funtzio modura adierazten da matematikoki: $v(t)$. Praktikan, bi abiadura desberdin definitu ohi dira: batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura.

Batez besteko abiadura

Batez besteko abiadura, $v_{\text{m}}$, bi aldiuneren artean, $t_{1}$ eta $t_{2}$, izandako desplazamenduari dagokio. Definizioz, honelaxe adierazten da matematikoki:

$$v_{\text{m}}={\frac {s(t_{2})-s(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.$$

Izatez, denbora-tarte horretan partikularen abiadurak balio desberdinak izan ditzake puntu bakoitzean, eta izenak dioenez, batez besteko abiadurak balio horien guztien batez besteko balioa adierazten du.

Aldiuneko abiadura

Aldiuneko abiadura, $v$, batez besteko abiaduraren limite modura definitzen da. Hain zuzen ere, aurreko definizioan $\Delta t$ denbora-tartea zerorantz jotzean lortzen den limitea da:

$$v=\lim _{\Delta t\to 0}v_{\text{m}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}.$$

Hortaz, aldiuneko abiadura desplazamenduaren denborarekiko deribatua da. Zehazki, horixe da ibilbideko puntu bakoitzean partikulak daukan abiadura.

Azelerazioa

Matematikoki definituz, aldiuneko azelerazio, $a$, aldiuneko abiaduraren denborarekiko deribatua da:

$$a={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.$$

Azelerazioak adierazten du, beraz, aldiune bakoitzean abiadura zein neurritan aldatzen den. Abiadura handiagotzen ari bada, azelerazioa positibo dela esango dugu; txikiagotzen ari bada, negatiboa dela. Azelerazio negatiboari dezelerazio ere esaten zaio.

Higidura zuzena mekanika klasikoan

Newtonen bigarren legea aplikatuz, honako hau da higidura zuzenaren oinarrizko ekuazioa:

$$F(t,x(t))=m{\frac {{\text{d}}^{2}x(t)}{{\text{d}}t^{2}}},$$

Oro har, indarra denboraren eta posizioaren funtzioa izan daiteke. Agerikoa denez, bigarren ordenako ekuazio diferentziala da, kasuan kasuko baldintzak aplikatuz integratu beharko dena. Nolanahi ere, indarra nolakoa den kontuan harturik, higidura zuzen bereziak sortzen dira, praktikan oso interesgarriak direnak. Adibidez:

• Higidura zuzen uniformea indarra nulua denean, $F(t,x)=0$
• Higidura zuzen uninformeki azeleratua, indarra konstantea denean, $F(t,x)=F_{0}$.
• Higidura harmoniko sinplea, indarra $F(t,x)=-kx$motakoa denean.

Bestalde, higidura zuzena autonomoa dela esaten da, indarrak denboraren menpekotasunik ez duenean: $F(t,x)=\phi (x)$. Kasu horretan, higiduraren magnitude konstante bat defini daiteke: energia.

Higiduraren ekuazioak

Ibilbidearen norabidean $Ox$ ardatza hartuz gero, abiaduraren eta azelerazioaren ekuazioak ondoko hauek dira, hurrenez hurren:

$$v={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}},$$

$$a={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}.$$

Hortaz, $x=x(t)$ezagutuz gero, posizioa bi aldiz deribatuz denborarekiko, partikularen abiadura eta azelerazioa lor ditzakegu denboraren funtzioan: $v=v(t)$eta $a=a(t)$. Beste batzuetan alderantzizko problema ebatzi beharko da. Hau da, datu modura ezaguna izango dugu zein den azelerazioa, $a=a(t)$. Orduan, denborarekiko integrazioa eginez lortu ahal izango dugu zein diren edozein aldiunetako abiadura eta azelerazioa, baldin eta hasierako baldintzak, $v_{0}$ eta $a_{0}$, zein diren badakigu. Honelaxe:

$$\int _{v_{0}}^{v(t)}{\text{d}}v=\int _{t_{0}}^{t}a(t){\text{d}}t\longrightarrow v(t)=v_{0}+\int _{t_{0}}^{t}a(t){\text{d}}t,$$

$$\int _{x_{0}}^{x(t)}{\text{d}}x=\int _{t_{0}}^{t}v(t){\text{d}}t\longrightarrow x(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}v(t){\text{d}}t.$$

Horrez gain, beste erlazio zinematiko garrantzitsu bat ere lor dezakegu, azelerazioaren definizioan deribazioaren erregela ezagun bat aplikatuz, hain zuzen ere, funtzio baten funtzioari dagokiona:

$$a={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}x}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=v{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}x}}.$$

Erlazio hori oso baliagarria izango da $v(x)$ edo $a(x)$ ezagutzen ditugunean.

Mota desberdinetako higidura zuzenak

Higidura zuzen uniformeko desplazamendu, abiadura eta azelerazioaren eboluzio denboralen adierazpen grafikoa.

Higidura zuzen uniformea

Higidura zuzen uniformea zer den ikasteko bideoa.

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Horrela esaten zaio abiadura konstantez gertatzen den higidura zuzenari. Beraz, $v={\text{kte}}$ denez, honelaxe kalkulatu ahal izango dugu desplazamendua:

$$v={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\rightarrow {\text{d}}x=v{\text{d}}t,$$

eta hasierako $t=0$ aldiunetik $t$ aldiunera bitartean integratuz,

$$\int _{s(0)}^{s(t)}{\text{d}}s=s(t)-s(0)=\int _{0}^{t}v{\text{d}}t=v\int _{0}^{t}{\text{d}}t=vt.$$

$$s(t)=s_{0}+vt.$$

Bestalde, azelerazioaren definizioa aplikatuz ikus daitekeenez,

$$a={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=0.$$

Alegia, azelerazioa nulua da, logikoa den bezala, abiadura konstantea baita. Alboko irudian erakusten da hiru emaitza horien adierazpen grafikoa, hasierako posizioa jatorri puntuz dela kontuan harturik, hau da, $s(0)=0$ eginik. Horiek guztiak grafikoki adierazita daude alboko irudian.

Higidura zuzen uniformeko adierazpen matematikoak

Jarraian datorren taulan, ikasgelako problema teorikoetan erabili behar izaten diren zenbait formula eta adierazpen matematiko erakusten dira.

Datu ezaguna	Deribatutik abiaturik	Integrala lortuz	Azken funtzioa
$a=a(t)$	$a={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\longrightarrow {\text{d}}v=a{\text{ d}}t$	$v=v_{0}+\int _{t_{0}}^{t}a{\text{ d}}t$	$v=v(t)$
$v=v(t)$	$v={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\longrightarrow {\text{d}}x=v{\text{ d}}t$	$x=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}v{\text{ d}}t$	$x=x(t)$
$a=a(x)$	$v{\text{ d}}v=a{\text{ d}}x$	$v^{2}=v_{0}^{2}+2\int _{x_{0}}^{x}a{\text{ d}}x$	$v=v(x)$
$v=v(x)$	${\text{d}}t={\frac {{\text{d}}x}{v}}$	$t=t_{0}+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{v}}{\text{ d}}x$	$t=t(x)$
$a=a(v)$	${\text{d}}x={\frac {v}{a}}{\text{ d}}v$	$x=x_{0}+\int _{v_{0}}^{v}{\frac {v}{a}}{\text{ d}}v$	$x=x(v)$
	$dt={\frac {{\text{d}}v}{a}}$	$t=t_{0}+\int _{v_{0}}^{v}{\frac {1}{a}}{\text{ d}}v$	$t=t(v)$

Higidura zuzen uniformeki azeleratua

Higidura zuzen uniformeki azeleratua zer den ikasteko bideoa.

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Kasu honetan azelerazioa konstantea da, hots, $a={\text{kte}}.$ Balio hori kontuan izanik, azalerazioaren definizioko adierazpen matematikoa $t=0$ eta $t$aldiuneen artean integratuz, abiadurak $t$ aldiunean duen abiadura kalkula daiteke:

Higidura zuzen uniformeki azeleratuaren desplazamendu, abiadura eta azelerazioaren eboluzio denboralen adierazpen grafikoa.

$$a={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\rightarrow {\text{d}}v=a{\text{d}}t,$$

$$\int _{v(0)}^{v(t)}{\text{d}}v=\int _{0}^{t}a{\text{d}}t{\text{ }}\rightarrow {\text{ }}v(t)-v(0)=at,$$

$$v(t)=v_{0}+at.$$

Bestalde, lorturiko emaitza hori abiaduraren definizioan sartuz, eta muga denboral berberen artean integratuz, desplazamenduak denboraren funtzioan duen balioa lor dezakegu: 

$$v={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}\rightarrow {\text{d}}s=v{\text{d}}t,$$

$$\int _{s(0)}^{s(t)}{\text{d}}s=\int _{0}^{t}v{\text{d}}t,$$

$$s(t)=s_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}.$$

Emaitza horiek guztiak modu grafikoan erakusten dira alboko irudian, hasierako posizioa eta abiadurak nuluak diren kasuan. Nabaria denez, abiaduraren kasuan adierazpen grafikoa malda konstanteko lerro zuzen bat da, eta azelerazioarena, parabola bat.

Higidura zuzen kontserbakorra

Partikulak higidura zuzen autonomoa duenean,

$$m{\frac {{\text{d}}^{2}x(t)}{{\text{d}}t^{2}}}=\phi (x)$$

da, eta orduan sistema fisiko horren energia mekanikoa kontserbatu egiten da

$$E={\frac {1}{2}}mv^{2}-\int _{x_{0}}^{x}\phi (x){\text{d}}x$$

Ikus daitekeenez, energia mekanikoak bi osagai ditu. Lehena energia zinetikoa da:

$$E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2},$$

eta bigarrena, energia potentziala:

$$E_{\text{p}}=-\int _{x_{0}}^{x}\phi (x){\text{d}}x.$$

Higidura zuzen harmonikoa

Higidura harmoniko sinplea higidura zuzen kontserbakor bat da, zeinean $\phi (x)=-kx$ den, $k$ konstantea izanik. Kasu horretan higiduraren ekuazioak erraz integratzen dira, eta horrela partikularen posizioaren balio hau lortzen da:

Malguki baten eraginez ($\phi (x)=-kx$indarra) marruskadurarik gabe higitzen ari den gorputzak higidura harmoniko sinplea du.

$$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi ).$$

Hori da higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Higidura hau $x=0$ posizioaren inguruko joan-etorriko oszilazioa da, behin eta berriro errepikatzen dena, etengabe, $A$ anplitudearekin. Bestalde, $x(t)$ balioari aldiuneko elongazioa deritzo, $\omega$ higiduraren maiztasun angeluarra da, eta $\varphi$ hasierako fasea ($t_{0}$ aldiuneari dagokiona). Anplitudea da elongazio maximoa. Kasu honetan, partikularen energia potentzialak

$$E_{\text{p}}={\frac {1}{2}}kx^{2}$$

balio du, eta sistema kontserbakor honen energia mekanikoak:

$$E=E_{\text{k}}+E_{\text{p}}={\frac {1}{2}}k(A^{2}-x^{2})+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}={\text{ktea.}}$$

Hau da, energia mekaniko osoa konstante da higiduran zehar; horrela behar zuen sistema autonomo kontserbakorra baita, marruskadurarik egon ezean.

Higidura zuzena mekanika erlatibistan

Indar konstanteak eragindako higidura zuzenaren grafikoa: desplazamendua (gorriz), abiadura (berdez) eta azelerazioa (urdinez).

Erlatibitatearen teorian, higidura zuzenaren ekuazioak mekanika newtondarrean baino konplexuagoak dira, zeren indarraren eta azelerazioaren arteko erlazioan abiadura ere eduki behar baita kontuan:

$$F={\frac {m_{0}a}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}},$$

non $m_{0}$ pausaguneko masa den. Izan ere, ekuazio horretan kontuan hartzen da abiadura handitzean masa ere handitzen dela,

$$m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$$

izanik. Horregatik, erlatibitatearen teoriaren arabera, indar konstantez higitzen ari den partikularen azelerazioa gero eta txikiagoa da. Izan ere, abiadura handiagotzean, masa gero eta handiagoa egiten da, eta horrek muga bat jartzen dio partikularen abiadurari: argiaren abiadura, $c$, hain zuzen. Masadun partikulak ezin dezake inoiz izan agiaren abiadura, zeren, horrela balitz, partikulak masa infinitua izango bailuke.
Alboko grafikoan erakusten denez, $F$ indar konstante batek $m$ masadun partikula puntual batean eragindako higidura zuzenaren kasuan, partikularen posizioak, abiadurak eta azelerazioak eboluzio denboral bereziak dituzte.

Ariketak

• Higidura zuzena
• Higidura zuzen uniformeki azeleratua lantzeko ariketa
• Higidura zuzen uniformea lantzeko ariketa

Erreferentziak

• Higidura zuzena. Fisika. Euskal Herriko Unibertsitatea

Bibliografia

• Fisika Orokorra, UEU, 2003, ISBN 84-8438-045-9
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.

Ikus gainera

• abiadura
• azelerazio
• deribatu
• energia mekanikoa

Kanpo estekak

• Datuak: Q2035846
• Multimedia: Linear movement / Q2035846