Bolzanoren teorema
Bolzanoren teorema kalkuluko batezbesteko balioaren teoremaren kasu konkretu bat adierazten duen teorema bat da. Bernard Bolzanok proposatu zuen 1817an.
Teorema aldatu
Izan bedi funtzioa tartean jarraitua. Baldin eta eta balioen zeinuak desberdinak badira, orduan existitzen da den.
Edo errazago esanda, funtzio bat jarraitua den tarte batean positibotik negatibora (edo kontrara) badoa zerotik pasatzen da.
Froga aldatu
Kontsideratuko dugu eta direla eta izan bedi tartea. Kontsidera dezagun tarte honen erdiko puntua, .
- bada, izango da, beraz, frogatuta geratzen da.
- bada, izan bitez eta .
- bada, izan bitez eta .
tartearekin prozesua errepikatuz tartea lortuko dugu, eta hainbat aldiz errepikatuz tarteen familia non . Beraz, .
jarraitua dela kontsideratuko dugunez, eta .
Beraz, , eta Bolzanoren teorema demostratuta geratzen da.
Adierazpen grafikoa aldatu
Irudi honetan ikus dezakegun bezala, teoremaren baldintza guztiak betetzen dira, hau da, eta dira eta funtzioa jarraia da tartean. Beraz, ikusi dezakegunez, badago non den.
Hala ere,ez da soilik puntu bakar bat egon behar eta posible da bat baino gehiago egotea.